2024壮族自治区贵港高三下学期最后一卷数学含解析

这是一份2024壮族自治区贵港高三下学期最后一卷数学含解析，共15页。试卷主要包含了已知圆C等内容，欢迎下载使用。
准考证号________
姓名________
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A．[-2，3] B．（-2，3] C．（-2，4] D．[3，4]
2．已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
3．下列说法中错误的是
A．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异
B．两个变量x，y的相关系数为r，若|r|越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强
C．若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.98
D．由一组样本数据（）求得的回归直线方程为，设，则
4．在四棱锥P-ABCD中，，四边形ABCD是矩形，且，点E是棱BC上的动点（包括端点），则满足的E点有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为
A．4047 B．4046 C．2024 D．4048
6．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
7．2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有
A．732种 B．2260种 C．4320种 D．8640种
8．已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则
A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得
C．三棱锥Q-APD的体积是定值 D．二面角的余弦值为
10．已知复数，，，则下列说法中正确的有
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则
A． B．的图象关于直线对称
C．在区间上为增函数 D．方程仅有4个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，若，，则________．
13．若直线是函数的图象的切线，则的最小值为________．
14．已知点P是双曲线C：（，）上一点，，分别是C的左、右焦点，设，若的重心和内心的连线垂直于x轴，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥E-PAB的表面积
16．（15分）
如图，四边形ABCD内接于圆O，圆O的半径，，．
（Ⅰ）求的大小以及线段AB的长；
（Ⅱ）求四边形ABCD面积的取值范围．
17．（15分）
某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为．
（Ⅰ）若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；
（Ⅱ）该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明．
18．（17分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
（Ⅱ）若恒成立，求实数a的取值范围．
19．（17分）
已知两条抛物线，．
（Ⅰ）求与在第一象限的交点的坐标．
（Ⅱ）已知点A，B，C都在曲线上，直线AB和AC均与相切．
（ⅰ）求证：直线BC也与相切．
（ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线相切于D，E，F三点，记的面积为，的面积为．试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
高三年级
数学•答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 B
解析 由题意知，，所以，所以．
2．答案 C
解析 设正方形的边长为2，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（），则，，所以离心率．
3．答案 C
解析 易知A，B，D项正确，C项中相关系数．
4．答案 B
解析 如图，连接AE．由已知可得，，又，所以，所以，所以点E在以AD为直径的圆上，又由几何关系可知，以AD为直径的圆与直线BC相切，故满足条件的点E只有1个．
5．答案 A
解析 不妨设，由题意知，所以，因为公差，且，所以，所以，所以．
6．答案 B
解析 ，所以，即为偶函数，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以等价于，所以，所以，所以或．
7．答案 D
解析 根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中．先确定“3男1女”这一排，排列方法有种，再确定“2男2女”这一排，排列方法有种，因此，不同的排列方法总数为．
8．答案 D
解析 圆C：的圆心为C（2，2），半径为2，直线l的方程可化为，所以l过定点（2，2），所以，．因为，所以，又，所以．设，，结合图形可知|．所以，其中，当时等号成立，此时，，符合条件，即的最大值为．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案 BD
解析 对于A，若，因为，所以，矛盾，故A错误．
对于B，易知，当Q为的中点时，，此时，故B正确．
对于C，Q在线段上运动，若三棱锥Q-APD的体积为定值，则，显然不成立，故C错误．
对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD，则，，所以为所求二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则，，由余弦定理可得，故D正确．
10．答案 ABD
解析 对于A，或，故A正确．
对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，所以．
对于C，取，，则，此时，故C错误．
对于D，，，所以，故D正确．
11．答案 ACD
解析 因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称．可画出的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为）：
对于A，由图可知的最小正周期为，所以，故A正确．
对于B，的图象关于点中心对称，故B错误．
对于C，由图可知在区间上单调递增，故C正确．
对于D，，，，，由图可知，曲线与的图象有4个交点，所以方程仅有4个实数解，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案 -2
解析 由题知，，，，所以．
13．答案
解析 ，设切点为，则，切线方程为，所以，，所以，令，则，得，所以的最小值为．
14．答案
解析 设C的半焦距为c（），离心率为e．如图，设重心为Q，内心为I，则O，Q，P共线．因为轴，不妨设点P在第一象限，则，再由重心的性质知，由，可得．所以，所以，所以．，因为，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解析 （Ⅰ）由题可知，
，，
，，为等边三角形，，
，．
，．
（Ⅱ），，，
，
，
，
三棱锥E-PAB的表面积．
16．解析 （Ⅰ）由题易知．
由正弦定理得，．
，
，
．
（Ⅱ）方法一：延长AD，BC，交于点E．
，．
设，则．
四边形ABCD内接于圆O，，
．
，
，，
，即四边形ABCD面积的取值范围是．
方法二：连接OA，OB，OC，OD．
由已知可得，是等边三角形．
设，则，
，
，
，
，，
，即四边形ABCD面积的取值范围是．
方法三：设，，则．
由正弦定理得，
，
，
，
，，
，即四边形ABCD面积的取值范围为．
17．解析 （Ⅰ）设第i次射击时命中目标为事件，该运动员射击6次恰好命中3次为事件B．
，
，
．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，…，n．
，，，
．
随机变量X的分布列为
．
方法一：，
．
方法二：令，①
则，②
，得，
令，
则，
得
，
，．
．
18．解析 （Ⅰ）当时，，，，
令，则，
当时，，在上单调递增，
又，，存在唯一零点，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
有一个极小值点，无极大值点．
（Ⅱ）恒成立，
恒成立，恒成立．
令，则，恒成立．
设，由（Ⅰ）可知的最小值为．
又，．（﹡）
设，当时，，在上单调递增，
，，，
由（﹡）知，，即．
，
，，又，
a的取值范围为（0，1]．
19．解析 （Ⅰ）联立和（），可得，
故有，从而，代入得，
即两抛物线在第一象限的交点的坐标为（4，4）．
（Ⅱ）（ⅰ）设，，，由题可知，，均不为0且不相等，直线AB，AC的斜率均存在，
则直线AB：，即直线AB：，
同理可得BC：，AC：．
联立得，
由AB与相切，得，即．
同理由AC与相切，得．
所以，从而，
所以，所以，
即直线BC也与相切，证毕．
（ⅱ）不妨设，且A在B上方．
由于，在抛物线上，求导得，
所以点E，F处的切线方程为，，
得解得，即，
同理，．
过C作y轴的平行线CP交AB于P点，过D作y轴的平行线DQ交EF于Q点，
则，
，
由直线AB：，与联立，得，
所以，
同理由直线EF：，与联立，得，
所以，故，
所以．