2024（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联盟高三下学期5月联考数学试题含答案

这是一份2024（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联盟高三下学期5月联考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知不共线的平面向量，满足，则正数（ ）
A．1B．C．D．2
4．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号，其中干扰信号为服从正态分布的随机变量，令累积信号，则Y服从正态分布，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如的信噪比为，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（ ）倍
A．B．mC．D．
5．已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ）
A．或B．－1或－6C．或D．－2或－7
7．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
8．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增B．的最小值为
C．方程的解有2个D．导函数的极值点为－3
10．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵
B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加
C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降
D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡
11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（ ）
A．曲线C关于直线和都对称
B．曲线C上的点到和到直线的距离相等
C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是
D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若展开式中的常数项为－160，则实数______．
13．已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第______项．
14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列．
（1）若a，b，c是等比数列，求；
（2）若，求．
16．（15分）已知椭圆的左焦点为F，椭圆上的点到点F距离的最大值和最小值分别为和．
（1）求该椭圆的方程；
（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P，其关于y轴的对称点记为，求；
（3）过点作直线交椭圆于不同的两点A，B，求面积的最大值．
17．（15分）如图，已知三棱台，，，点O为线段的中点，点D为线段的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成线面角的大小.
18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N．
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计．
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时．
（1）当，时，求条件概率；
（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值．当，时，求随机变量M的分布列和均值；
（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断与N的大小关系，并给出证明．
19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．
（1）若，，，求，，，；
（2）对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；
（3）若，，证明：当时，．
2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案
命题：温州中学 审题：金华一中
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
第8题解析：设点，则可取，故，得，解得，故离心率．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第11题解析：A．曲线C不关于直线对称；
B．设C上一点，则，而，成立；
C．，，成立；
D．到点的距离，故曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于．
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
注：第14题区间开闭写错不扣分．
第13题解析：，故的最小项是第2项．
第14题解析：
．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）由得，
，
故．
（2）若，则，
又由得，
故．
注：第二问直接利用积化和差公式，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分．
16．（15分）
（1）记，则，，
解得，，故椭圆的方程为．
（2）记椭圆的右焦点为，则．
（3）设，，直线AB的方程为，
联立，得，
故，，
令，则，当时取到等号．
17．（15分）
（1）取AB中点M，则，故O，M，C，共面，
由AM与OD平行且相等得平行四边形ODAM，故，
故平面．
（2）法1（建系）：以O为原点，，为x，y轴正方向，垂直于平面向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．
设，表示出平面的法向量，
由对称性得平面的法向量，
故，解得，
故，，，
记所求线面角为，则，故．
法2（综合法）：连接，，取中点N，则，故，
由平面平面，平面平面，故平面，
故，又由，得，
延长，，交于点V，则所求线面角即，而，故直线与平面所成线面角的大小为．
法3（三余弦定理）：延长，，交于点V，则，，
由平面平面，用三余弦定理得，
因此，故直线与平面所成线面角即为．
18．（17分）
（1）时，最大编号为5，另2辆坦克编号有种可能，故，
由，有，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2，
仅1种可能，故，
因此．
（2）分布列如下：
故．
（3）直观上可判断，
证明：．
19．（17分）
（1），，，．
（2），对一般的，．
（3）法1：记的前n项和为，由卷积运算的交换律有，
故…①，因此…②，②－①得，故当时，．
法2：记的前n项和为，常数列，注意
……（Ⅰ）
易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得，注意
……（Ⅱ）
注意是对所有对应项相加所得的数列，是对所有对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得的通项即为，故当时，．
注：以上论证可用符号语言说明如下：
定义数列加法：，其中．
容易验证卷积运算满足结合律：，
数列加法关于卷积满足分配律：．
因此．1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
B
B
A
C
B
A
9
10
11
ABD
BCD
BCD
12
13
14
1
2
M
4
5
6
7
8
P