2024阜阳皖江名校联盟高三下学期模拟联考最后一卷数学试题含解析

这是一份2024阜阳皖江名校联盟高三下学期模拟联考最后一卷数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，设正数数列的前项和为，且，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（ ）
A.B.C.D.
3.记，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知空间中不过同一点的三条直线，，.“，，共面”是“，，两两相交”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
6.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A.常数项为B.各项的系数和为64
C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为
7.在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（ ）
A.是一条垂直于轴的直线B.是两条平行直线
C.是一个半径为1的圆D.是椭圆
8.设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A.是等差数列B.是等差数列C.单调递增D.单调递增
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ）
A.B.，
C.，D.，
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（ ）
A.
B.点是曲线的一个对称中心
C.直线是曲线的一条对称轴
D.函数在区间内单调递减
11.抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（ ）
A.点在直线上B.点在直线上的投影是定点
C.以为直径的圆与直线相切D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为______.
13.已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______.
14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数，为的所有正因数之和，如，则______；______.
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数的最小正周期为，且函数的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数.
（1）求函数的解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；
（2）在锐角中，，，分别是角，，的对边，若，求的值域.
16.（15分）
篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.
附：.
17.（15分）
如图，在圆台中，，分别为上、下底面的直径，且，，为异于，的一条母线.
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；
（2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数.
19.（17分）
如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
（1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；
（2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；
（3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
数学参考答案及评分标准
一、二、选择题：
【解析】
1.依题意，，因此，选项A正确
2.因为双曲线的焦距为4，所以，解得，所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为，选项B正确.
3.显然，，，故选项C正确.
4.依题意，直线，，不过同一点，因此，若“，，两两相交”则必有“，，共面（由三个交点确定的平面）”，但若“，，共面”，有可能有两条直线平行，与第三条之间分别相交，但此时，“，，两两相交”结论错误，故选项B正确.
5.因为，所以，从而，选项D正确.
6.的展开式通项为，当时，常数项为，选项A正确；令，得各项的系数和为，选项B错误；展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.
7.不妨设点的坐标为，，，由可得，即，故选项C正确.
8.依题意，令，解得，从而，，，易知选项D正确.
9.因为，所以，A选项错误；
由，而，
故，
因此选项B正确；
又，所以，，，故C错D对.
10.由题意，，，所以，即，
又，所以，可得，因此.
显然，函数周期为，，选项A正确；
因为，所以选项B正确，
，选项C正确；
若，即，则，函数先减再增，D错误.
11.依题意焦点的坐标为，准线为直线，
不妨设，，直线的方程为，
联立与，得，从而，，
由题意，，，
故抛物线过点，的切线方程分别为，，
解得点的坐标为，故A错误；
因为，所以，
即点在直线上的投影是点（定点），故选项B正确；
可证，，因此，
即以为直径的圆与直线相切，选项C正确；
对于选项D，因为，，
从而，
令，由函数单调性易知，，函数取最小值.D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.20 13. 14.；.（第一空2分，第二空3分）
【解析】
12.依题意，，，所以，等号成立当且仅当.
13.如图，易知，，
作于点，易知，，
，
，
故三棱锥的体积为.
14.
.
四、解答题：
15.（13分）
解：（1）函数的最小正周期，，
向左平移后为偶函数，且，，
故解析式为.
列表如下：
在上的图象如图所示：
（2），，
即，解得，即，
又因为是锐角三角形，所以，
故，即.
16.（15分）
解：（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.
根据列联表数据，经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为喜爱篮球运动与性别有关，从此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）（i）由题意，
，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i），，
所以，.
故甲第25次触球者的概率大.
17.（15分）
解：（1）证明：连接.
因为，分别为上、下底面的直径，且.
所以，，为圆台母线且交于一点.因此，，，四点共面.
因为圆台中平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又因为，，所以，
从而，即为的中点.
在中，为的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，，分别为，轴，过点且垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系.
因为，所以，所以，，，
因为，所以，故，
所以，
设平面的法向量为，则
即，所以平面的一个法向量为.
又，设平面的法向量为，
所以即
所以平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，
则，
从而，
所以二面角的正弦值为.
18.（17分）
解：（1）①由题意，且的定义域为
，
依题意即从而.
故，，
从而函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（2）依题意，，其中，记，则，
因为，，即是的极小值也是最小值，故，
而，所以，解得，
此时，
若，则时，，，，，
即，与矛盾！
若，，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
符合题意.故.
所以，其中.
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，解得，符合题意；
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，即，无解，不符合题意.
所以，.
19.（17分）
解：（1）依题意，，，
所以.
（2）设，，由题意，矩形和矩形的面积相等，
所以，
即，而，（*）
从而上式化为，
整理可得，
代入（*）式，，
故，
即为定值，且该定值为.
（3）如图，以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，
则.
因而，中至少有一个小于81，
同理，中至少有一个小于81，
故，，，中至少有两个小于81.
（以上答案仅供参考，其它解法请酌情赋分）0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
B
D
A
C
D
BD
ABC
BCD
0
0
1
0
0