强化训练二：导数应用的经典题型归纳（单调性、不等式、零点、恒成立）（原卷版+解析版）

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强化训练二：导数应用的经典题型归纳（单调性、不等式、零点、恒成立）【题型归纳】题型一、利用导数研究函数的单调性问题1．（2023下·福建龙岩·高二校联考期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】函数定义域为，且，依题意在上恒成立，所以在上恒成立，因为函数在上单调递减，且当时，所以，即实数的取值范围是.故选：D2．（2022下·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程；(2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性.【详解】（1）当时，，，所以，曲线在处的切线方程为.（2），①当时，，所以函数在上单调递增；②当时，令，则(舍)或，，当时，函数单调递减；，当时，函数单调递增.③当时，令，则或(舍)，，当时，函数单调递减；，当时，函数单调递增.综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；当时，当时，函数单调递减           当时，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；           当时，函数单调递增3．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围；（2）已知函数.讨论的单调性.【答案】（1）；（2）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增.【分析】（1）求导后利用分离参数法即可求出的取值范围；（2）对函数求导，分类讨论不同情况时的导函数情况，即可得出的单调性.【详解】（1）由题意，，在中，，函数在区间 内是减函数,∴当 时, 恒成立,即当 时, 恒 成立,故当 时, 恒成立，设，根据对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，且，，则，∴当 时, ，解得：.∴的取值范围是.（2）由题意，在中，当时, 则 , 在 上单调递减.当时, 由，解得 .当 时, ；当 时, .∴ 在 上单调递减, 在 上单调递增，综上，当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增.题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题4．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，求导得，由条件可得，求得，然后代入检验即可；（2）根据题意，由条件可得在上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）因为函数，定义域为，且，由函数在处取得极值，可得，所以，当时，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得极小值，综上所述，.（2）函数在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，即，又，当时，，所以在单调递减，则，所以，则实数a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.5．（2022上·陕西延安·高二校考期末）已知函数在处取得极值．(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最值．【答案】(1)(2)最小值为；最大值1【分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案；（2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最值．【详解】（1）函数，又函数在处取得极值，所以有；所以实数的值为1.（2）由（1）可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，，，故函数的最小值为；最大值1.6．（2023下·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知函数，(1)讨论的单调性：(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，进行求解；（2）参变分离，得到在上恒成立，令，，求导后再对导函数的分子求导，从而判断出的单调性，得到的最大值，从而得到实数a的取值范围.【详解】（1）定义域为，又，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由题意得，，变形得到在上恒成立，令，，则，令，则在上恒成立，故在单调递减，又，故当时，，则，在上单调递增，当时，，则，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，且，所以，故实数a的取值范围是题型三、利用导数研究恒成立问题7．（2021下·湖北·高三校联考阶段练习）设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把不等式进行同构变形：，引入函数，由导数确定单调性，不等式化为，分离参数为，再引诱函数，由导数求出其最大值后可得结论．【详解】由题意，，，设，则不等式为，∵，∴在上是增函数，∴，即，令，则，当时，递增，时，递减，∴，∴，故选：B．【点睛】方法点睛：有些函数不等式是混合不等式，如不等式中既有自然对数，又有以为底的指数时，我们可以把不等式变形为形式，利用的单调性化简不等式为（或），这类方法称为同构，函数可称为母函数，如，，等等，注意掌握常见的指对同构关系：，，．8．（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解.【详解】，则，令，解得或；令， 解得，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，且，故，任意的，都有成立，则，因为，则，当时，在单调递增，所以，故，即(舍去)；当时，令，解得；令， 解得，故在上单调递减， 在上单调递增，所以，所以，即， 解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：A【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合( 图象在 上方即可)；③分类讨论参数.9．（2022上·云南曲靖·高二校考期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得出切线方程；（2）将不等式转化为即可，构造函数，利用单调性求出其最值，即可求得的取值范围为.【详解】（1）易知函数的定义域为则可得切线斜率所以曲线在点处的切线方程为；（2）易知，由，得令，则由得，由得所以在上单调递增，在单调递减，且函数定义域内只有一个极值点即在处取得极大值，也是最大值，即依题意可得即可，所以；所以的取值范围为.题型四：利用导数研究能成立问题10．（2023·四川乐山·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得.【详解】依题意，，令，即，由，得，令，则原问题等价于存在，使得成立，求导得，由，得，由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，又，则当时，，若存在，使得成立，只需且，解得且，即，所以的取值范围为.故选：D【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.11．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案.【详解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以所以.故选：C.12．（2023上·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知函数．(1)求函数的极值；(2)证明：当时，，使得．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与极值的关系求解；（2）利用导数与单调性最值得关系证明不等式能成立问题.【详解】（1）易知，,当时，，函数在上单调递减；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，所以，，使得．题型五：利用导数研究零点问题13．（2022上·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）设函数，，函数有两个零点的m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对求导，得到的解析式，令，分参得到，转化为函数与的图象有两个交点，求m范围.【详解】因为，所以，，所以，因为有两个零点，所以有两个大于0的根，化简得：，令函数，，所以，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，因为，，所以函数与的图象有两个交点，所以.故选：B.14．（2023下·安徽池州·高二校联考期中）已知函数，若关于的方程恰好有6个不同实根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，令可得，再求导分和两种情况，数形结合分析极值满足的区间范围，进而列式求解即可.【详解】设，则时，，解得，要满足题意则，且方程分别应有3个不同实根.又，①当时，单调递增，方程不可能有3个不同实根；②当时，可得在上单调递增，上单调递减，则.要使原方程有6个不同实根，则；（ⅰ）当时，因，故只需，解得满足；（ⅱ）当时，只需，设，原不等式等价为，即，即.综上得满足条件的的取值范围是.故选：D.15．（2022上·陕西安康·高二校考期末）设函数，(1)讨论的单调性(2)当时，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）由解析式求出定义域和，化简后对进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，分别求出函数的增区间、减区间；（2）由（1）求函数的最小值，由条件列出不等式求出的范围，对进行分类讨论，并分别判断在区间上的单调性，求出和、判断出符号，即可证明结论．【详解】（1）由得，函数的定义域是，；①当时，，所以在上单调递增，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；②当时，由得或（舍去），当时，，当时，令，所以的递减区间是，递增区间是综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的递减区间是，递增区间是；（2）证明：由（1）知，当时，在上的最小值为．因为存在零点，所以，解得．当时，在上递减，且，所以是在,上的唯一零点．当时，在上单调递减，且，，所以在区间,上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在,仅有一个零点.题型六：利用导数研究方程的根问题16．（2021·陕西宝鸡·校考二模）已知是方程的一个根，则的值是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】化简方程，利用构造函数法，结合导数求得，由此求得的值.【详解】依题意，，由，得，，设单调递增，由得，即，即，所以，所以.故选：B17．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．|【答案】B【分析】根据题意将问题转化为函数的图象与直线有3个不同的交点，然后对求导，求出单调区间和极值，画出图象可得答案.【详解】因为关于x的方程有三个不同的实数解，所以函数的图象与直线有3个不同的交点，由，得，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减，所以当时，取得极小值，函数图象如图所示  由图象可知当时，两图象有3个不同的交点，所以实数m的取值范围是，故选：B18．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围.【详解】由有意义可知，.由，得.令，即有.因为，所以，令，问题转化为存在，使得.因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选：.题型七：利用导数研究函数性质和图像问题19．（2023下·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.【详解】因为，且，可得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且，由题意可得，解得，所以的取值范围是.故选：C.  20．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用导数研究单调性及图象趋近，进而画出其图象观察即可.【详解】因为当时，，则，，，所以在上单调递增，在上单调递减，，，当时，，当时，，则在上单调递增，，当时，，综上，的图象如图所示，  因为，所以或，又因为恰有4个不等的实根，且，所以恰有3个不等的实根，即恰有3个不同的交点，所以由图象可知，.故选：A.21．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）函数在区间的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值代入导函数中判断即可.【详解】因为，所以是奇函数，排除C、D两项；当时，，则，所以，所以在处的切线斜率为负数，故排除A项；故选：B.题型八：利用导数研究双变量问题22．（2023下·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知函数，若，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误.【详解】，则，令，当时，单调递减，当时，单调递增，在上，且，，，即.综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误；又，故，则不一定成立，B错误；令，则，当时，，得，则；当时，，得，则，所以函数在R上单调递增，且，所以在R上恒成立，得，即，又，所以，由，且函数在单调递减，得，即，D正确.又，则，即，故，C错误.故选：D.23．（2021下·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知函数有两个零点，，则下列说法：①函数有极大值点，且；②；③；④若对任意符合条件的实数，曲线与曲线最多只有一个公共点，则实数的最大值为.其中正确说法的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】分类讨论的单调性，即可得，，的范围，根据，得到和之间关系，构造，，可知单调递减，由此得到，即可判断①；对进行变形化简，即可判断②；根据①中，，的范围，即可判断③；构造，当时，可知单调递减，则方程最多有一个根，当时，有两根，由时，，只需考虑极小值，根据单调性求得极小值，进而求极小值的范围，即可求得的范围，即可判断④.【详解】解：因为，所以，当时，，在上单调递增，则最多有一个零点，故不符合题意，舍；当时，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，取得极大值点，即，因为有两个零点，，所以，且有，解得，设，，所以.由，所以，由，当，所以，，所以，故单调递减，所以在时，，因为，所以，即，因为，，在单调递减，所以，即，故①正确；由有两个零点，且，所以，故，所以，故②正确；由①知，，所以，故③正确；因为曲线与曲线最多只有一个公共点，所以在时最多只有一根.令，则，令，即时，，单调递减，此时方程最多有一个根，当时，，所以有两根，令，则，，由韦达定理，可知，故，所以在上，单调递减，在上，单调递增，在上，单调递减，当时，，所以只需考虑极小值即可，根据单调性，可知为极小值点，即，即，即，所以，由，令，则，当时，，单调递减，所以，所以，即实数的最大值为，故④正确.故选：D．24．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，可知函数为上的增函数，即对任意的，，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】不妨设，由可得出，即，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，则，令，其中，，令，其中，所以，，所以，函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，则，令，其中，则，故函数在上为增函数，因为，，所以，，由可得，所以，，可得，且当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，.故选：A.题型九：利用导数研究实际问题25．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知一长方体纸箱（有盖），底面为边长为的正方形，高为，表面积为12，当该纸箱的体积最大时，其底面边长为（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据长方体的表面积列方程，由此化简长方体的体积，利用导数求得体积最大时对应的底面边长.【详解】依题意，，由解得，所以长方体的体积，，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减.所以当时，长方体的体积取得最大值.故选：B26．（2023下·四川绵阳·高二统考期中）当下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中，为常数．已知当销售价格为元/套时，每日可售出千套．假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题元（只考虑售出的套数），要使得该网校每日销售套题所获得的利润最大，则销售价格应确定为（    ）A．元/套 B．元/套 C．元/套 D．元/套