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2023-2024学年浙江省杭州市余杭区信达外国语学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市余杭区信达外国语学校八年级（下）月考数学试卷（4月份），共17页。
A．B．
C．D．
2．（3分）若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣xy＝3C．D．3（x﹣2）＝x
4．（3分）一组数据3，5，1，3，2，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，2.5B．3，2C．2，3D．3，3
5．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0
6．（3分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
7．（3分）在平面直角坐标系内，A，B，C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（3分）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
9．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式﹣2022x1+的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
10．（3分）如图，若AB＝6，，M是BC的中点，AM=4，则CM的值为（ ）
A．B．C．D．3
二.填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）化简：＝ ．
12．（4分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
13．（4分）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=8m,则坡面AB的长度是
m．
14．（4分）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（4分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是 ．
16．（4分）如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作AB的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
①若M为AG中点，且DM＝2，DE＝ ；
②若DM＝3，CF＝4，AD＝ ．
三.解答题（共8小题，共66分。）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）x（x+1）＝（x+1）；
（2）3x﹣2x2+1＝0．
19．（6分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100；
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90．
（1）以上成绩统计分析表如表：
则表中a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你根据成绩的稳定性选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由．
20．（8分）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
22．（10分）“夹菜用公筷，健康千万家”某商店为响应“公筷行动”，批发销售一批公筷．每双公筷的成本为8元，当销售单价为10元时，每天能售出200双．后来经过市场调查发现，若销售单价每涨1元，则每天的销售量减少20双，设销售单价为x元．
（1）当x为11时，每天可售出 双．
（2）每双的盈利为 元，每天的销售量为 双．（用含x的代数式表示）
（3）若该商店需要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应该定为多少元？
23．（10分）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1；
例2
任务一：化简．
（1）化简：
（2）猜想：＝ （n为正整数）．
任务二：应用
（3）计算：；
任务三：探究
（4）已知x＝，y＝，比较x和y的大小
24．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
2023-2024学年浙江省杭州市余杭区信达外国语学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．【答案】C
【解答】解：A．可以找到对称轴，是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．可以找到对称轴，是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．可以找到一点旋转180°后与原图重合，也可以找到对称轴，也是轴对称图形；
D．可以找到一点旋转180°后与原图重合，找不到一条对称轴，不是轴对称图形；
故选：C．
2．【答案】B
【解答】解：A．当x＝3时，原式无意义；
B．当x＝3时，原式有意义；
C．当x＝8时，原式无意义；
D．当x＝3时，原式无意义；
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：A．x2﹣3x﹣3＝0，是一元二次方程，符合题意；
B．x2﹣xy＝2，含有2个未知数，故该选项不正确；
C． ，不是整式方程，故该选项不正确；
D．3（x﹣8）＝x，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
4．【答案】D
【解答】解：这5个数从小到大排列后是1、2、3、3、6，
处在第3位的数是3，因此中位数是3，
出现次数最多的数3，因此众数是3，
故选：D．
5．【答案】B
【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a4﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣6≠0
由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣2＝0，可得a2﹣5＝0，解之得a＝±2；②
由①②得a＝﹣7．故选B．
6．【答案】A
【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：a﹣4＞0，a﹣4＜7，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故选：A．
7．【答案】C
【解答】解：现根据题意画出草图：
A、B、C三点位置如图所示，则点D有三种可能、AC，故第四个顶点不可能在第三象限．
8．【答案】B
【解答】解：∵周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，且十位数字比个位数字小3，
∴周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3）．
根据题意得：10（x﹣2）+x＝x2．
故选：B．
9．【答案】A
【解答】解：把x＝x1代入方程得：﹣x1﹣2022＝0，即﹣2022＝x1，
∵x4，x2是方程x2﹣x﹣2022＝5的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x5（﹣2022）+
＝+
＝（x5+x2）2﹣6x1x2
＝4+4044
＝4045．
故选：A．
10．【答案】A
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，过点E作EM⊥AB交AB于点E，
∵M是BC的中点，D是AB的中点，，
∴，，
∴设DE＝x，则AE＝AD+ED＝x+2，
∵EM⊥AB，
∴DM2﹣DE2＝AM6﹣AE2＝EM2，
∴，
解得，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
二.填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：＝＝7，
故答案为：2．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：7．
13．【答案】8．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝4m，
∴＝＝，
解得AC＝8，
则AB＝＝8．
故答案为：8．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC＝5CF
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，
∴CF×hCF＝16，
∴阴影部分的面积是×16＝8，
故答案为：8．
15．【答案】﹣2．
【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝b4﹣4×（a+1）＝8，即b2﹣4a﹣5＝0，
∴b2﹣8a＝4，
所以原式＝﹣2（b3﹣4a）+6＝﹣7×4+6＝﹣7，
故答案为﹣2．
16．【答案】①；
②7．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M为AG中点，
∴AG＝2DM＝4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM＝∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，
即∠DMG＝∠DGM，
∴DG＝DM＝6，
∴AG＝2DM＝4，
在Rt△ADG中，；
②过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，
在△ADH和△FDC中，
，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH＝FC，DH＝DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM＝∠DGM，
∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，
∴∠HAM＝∠HMA，
∴AH＝MH，
∴MH＝CF，
∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM，
∵DM＝3，CF＝4，
∴AD＝AB＝CF+DM＝3．
三.解答题（共8小题，共66分。）
17．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
18．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝1；
（2），．
【解答】解：（1）x（x+1）＝（x+1），
x（x+3）﹣（x+1）＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝5，
解得x1＝﹣1，x7＝1；
（2）3x﹣3x2+1＝3，
整理得，2x2﹣2x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣6ac＝（﹣3）2﹣7×2×（﹣1）＝17＞6，
∴，
解得，．
19．【答案】（1）60；68；70；
（2）选择乙组．
【解答】解：（1）甲组学生成绩的中位数为＝60；
乙组学生成绩的平均数为（50+6×60+4×70+80+90）＝68＝70，c＝70；
（2）选择乙组．
理由如下：
乙组学生成绩的方差为[（50﹣68）2+3（60﹣68）4+4（70﹣68）2+（80﹣68）2+（90﹣68）2]＝116，
因为甲乙两组学生成绩的平均数相同，而乙组学生成绩的方差较小，所以选择乙组．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴CF＝AE，OE＝OF，
∵AB＝7，BC＝5，
∴EF＝4OE＝4，BE+CF＝BE+AE＝AB＝7，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF＝3+7+5＝16．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）8﹣4（k2+k）
＝2k2+4k+7﹣4k2﹣4k
＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x＝，
解得x1＝k+5，x2＝k，
即AB、AC的长为k+1，k，
当k+6＝5时，即k＝4、8、4；
当k＝5时，三角形三边长分别为7、5、6；
综上所述，k的值为3或5．
22．【答案】（1）180；
（2）（x﹣8），（400﹣20x）；
（3）12元．
【解答】解：（1）当x＝11时，销售量为200﹣20×（11﹣10）＝180（双）．
故答案为：180．
（2）设销售单价为x元，则每双的盈利为（x﹣8）元．
故答案为：（x﹣8）；（400﹣20x）．
（3）依题意得：（x﹣7）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x5＝12，x2＝16．
又∵要使顾客得到实惠，
∴x＝12．
答：销售单价应该定为12元．
23．【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）x＞y，理由见解析．
【解答】解：（1）原式＝\frac{1}{\sqrt{35}（\sqrt{7}+\sqrt{8}）}＝\frac{\sqrt{7}﹣\sqrt{5}}{\sqrt{35}（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}﹣\sqrt{3}）}＝\frac{1}{2}（\frac{5}{\sqrt{5}}﹣\frac{1}{\sqrt{8}}）$；
（2）原式＝$\frac{1}{\sqrt{（2n+8）（2n﹣1）}（\sqrt{3n+1}+\sqrt{（2n﹣3）}）}$
＝$\frac{\sqrt{2n+1}﹣\sqrt{（5n﹣1）}}{\sqrt{（2n+4）（2n﹣1）}（\sqrt{6n+1}+\sqrt{（2n﹣4）}）}$
＝$\frac{1}{2}（\frac{3}{\sqrt{2n﹣1}﹣\sqrt{5n﹣1}}）$，
故答案为：$\frac{1}{2}（\frac{1}{\sqrt{2n﹣6}﹣\sqrt{2n﹣1}}）$；
（3）原式＝$\frac{6}{\sqrt{3}（\sqrt{3}+2）}+\frac{1}{\sqrt{15}（\sqrt{5}+\sqrt{4}）}+\frac{1}{\sqrt{35}（\sqrt{7}+\sqrt{8}）}+⋯+\frac{1}{\sqrt{2303}（\sqrt{49}+\sqrt{47}）}$
＝$\frac{\sqrt{3}+7}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}﹣\sqrt{3}}{2\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{5}﹣\sqrt{5}}{2\sqrt{35}}+⋯+\frac{\sqrt{49}﹣\sqrt{47}}{2\sqrt{2303}}$
＝$\frac{1}{2}（6﹣\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}﹣\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}﹣\frac{3}{\sqrt{7}}⋯+\frac{1}{\sqrt{47}}﹣\frac{5}{\sqrt{49}}）$
＝$\frac{1}{2}×（5﹣\frac{1}{7}）$
＝$\frac{3}{7}$；
（4）$y＝\frac{\sqrt{5}﹣\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3×5}}+\frac{\sqrt{3}﹣\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5×5}}+⋯+\frac{\sqrt{2025}﹣\sqrt{2023}}{1+\sqrt{2023}+\sqrt{2025}+\sqrt{2023×2025}}$
＝$\frac{1}{\sqrt{8}+1}﹣\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{4}+1}﹣\frac{1}{\sqrt{7}+1}+⋯+\frac{1}{\sqrt{2023}+8}﹣\frac{1}{\sqrt{2025}+1}$
＝$\frac{7}{\sqrt{3}+1}﹣\frac{7}{\sqrt{2025}+1}$
＝$\frac{\sqrt{3}﹣3}{2}﹣\frac{1}{46}$，
∵$x＝\frac{\sqrt{5}﹣1}{2}$，
∴$x﹣y＝\frac{4}{46}＞0$，
故x＞y．
24．【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）①16；
②m+k＝2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝7，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×7；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
68
a
376
30%
乙组
b
c
90%
A．B．
C．D．
2．（3分）若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣xy＝3C．D．3（x﹣2）＝x
4．（3分）一组数据3，5，1，3，2，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，2.5B．3，2C．2，3D．3，3
5．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0
6．（3分）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6
7．（3分）在平面直角坐标系内，A，B，C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（3分）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则列出的方程正确的是（ ）
A．10x+（x﹣3）＝x2B．10（x﹣3）+x＝x2
C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2
9．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式﹣2022x1+的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
10．（3分）如图，若AB＝6，，M是BC的中点，AM=4，则CM的值为（ ）
A．B．C．D．3
二.填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）化简：＝ ．
12．（4分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
13．（4分）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=8m,则坡面AB的长度是
m．
14．（4分）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（4分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是 ．
16．（4分）如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作AB的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
①若M为AG中点，且DM＝2，DE＝ ；
②若DM＝3，CF＝4，AD＝ ．
三.解答题（共8小题，共66分。）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）x（x+1）＝（x+1）；
（2）3x﹣2x2+1＝0．
19．（6分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100；
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90．
（1）以上成绩统计分析表如表：
则表中a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你根据成绩的稳定性选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由．
20．（8分）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
22．（10分）“夹菜用公筷，健康千万家”某商店为响应“公筷行动”，批发销售一批公筷．每双公筷的成本为8元，当销售单价为10元时，每天能售出200双．后来经过市场调查发现，若销售单价每涨1元，则每天的销售量减少20双，设销售单价为x元．
（1）当x为11时，每天可售出 双．
（2）每双的盈利为 元，每天的销售量为 双．（用含x的代数式表示）
（3）若该商店需要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应该定为多少元？
23．（10分）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1；
例2
任务一：化简．
（1）化简：
（2）猜想：＝ （n为正整数）．
任务二：应用
（3）计算：；
任务三：探究
（4）已知x＝，y＝，比较x和y的大小
24．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
2023-2024学年浙江省杭州市余杭区信达外国语学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．【答案】C
【解答】解：A．可以找到对称轴，是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．可以找到对称轴，是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．可以找到一点旋转180°后与原图重合，也可以找到对称轴，也是轴对称图形；
D．可以找到一点旋转180°后与原图重合，找不到一条对称轴，不是轴对称图形；
故选：C．
2．【答案】B
【解答】解：A．当x＝3时，原式无意义；
B．当x＝3时，原式有意义；
C．当x＝8时，原式无意义；
D．当x＝3时，原式无意义；
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：A．x2﹣3x﹣3＝0，是一元二次方程，符合题意；
B．x2﹣xy＝2，含有2个未知数，故该选项不正确；
C． ，不是整式方程，故该选项不正确；
D．3（x﹣8）＝x，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
4．【答案】D
【解答】解：这5个数从小到大排列后是1、2、3、3、6，
处在第3位的数是3，因此中位数是3，
出现次数最多的数3，因此众数是3，
故选：D．
5．【答案】B
【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a4﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣6≠0
由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣2＝0，可得a2﹣5＝0，解之得a＝±2；②
由①②得a＝﹣7．故选B．
6．【答案】A
【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：a﹣4＞0，a﹣4＜7，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故选：A．
7．【答案】C
【解答】解：现根据题意画出草图：
A、B、C三点位置如图所示，则点D有三种可能、AC，故第四个顶点不可能在第三象限．
8．【答案】B
【解答】解：∵周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，且十位数字比个位数字小3，
∴周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3）．
根据题意得：10（x﹣2）+x＝x2．
故选：B．
9．【答案】A
【解答】解：把x＝x1代入方程得：﹣x1﹣2022＝0，即﹣2022＝x1，
∵x4，x2是方程x2﹣x﹣2022＝5的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x5（﹣2022）+
＝+
＝（x5+x2）2﹣6x1x2
＝4+4044
＝4045．
故选：A．
10．【答案】A
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，过点E作EM⊥AB交AB于点E，
∵M是BC的中点，D是AB的中点，，
∴，，
∴设DE＝x，则AE＝AD+ED＝x+2，
∵EM⊥AB，
∴DM2﹣DE2＝AM6﹣AE2＝EM2，
∴，
解得，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
二.填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：＝＝7，
故答案为：2．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：7．
13．【答案】8．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝4m，
∴＝＝，
解得AC＝8，
则AB＝＝8．
故答案为：8．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC＝5CF
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，
∴CF×hCF＝16，
∴阴影部分的面积是×16＝8，
故答案为：8．
15．【答案】﹣2．
【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝b4﹣4×（a+1）＝8，即b2﹣4a﹣5＝0，
∴b2﹣8a＝4，
所以原式＝﹣2（b3﹣4a）+6＝﹣7×4+6＝﹣7，
故答案为﹣2．
16．【答案】①；
②7．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M为AG中点，
∴AG＝2DM＝4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM＝∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，
即∠DMG＝∠DGM，
∴DG＝DM＝6，
∴AG＝2DM＝4，
在Rt△ADG中，；
②过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，
在△ADH和△FDC中，
，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH＝FC，DH＝DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM＝∠DGM，
∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，
∴∠HAM＝∠HMA，
∴AH＝MH，
∴MH＝CF，
∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM，
∵DM＝3，CF＝4，
∴AD＝AB＝CF+DM＝3．
三.解答题（共8小题，共66分。）
17．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
18．【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝1；
（2），．
【解答】解：（1）x（x+1）＝（x+1），
x（x+3）﹣（x+1）＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝5，
解得x1＝﹣1，x7＝1；
（2）3x﹣3x2+1＝3，
整理得，2x2﹣2x﹣1＝0，
a＝3，b＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣6ac＝（﹣3）2﹣7×2×（﹣1）＝17＞6，
∴，
解得，．
19．【答案】（1）60；68；70；
（2）选择乙组．
【解答】解：（1）甲组学生成绩的中位数为＝60；
乙组学生成绩的平均数为（50+6×60+4×70+80+90）＝68＝70，c＝70；
（2）选择乙组．
理由如下：
乙组学生成绩的方差为[（50﹣68）2+3（60﹣68）4+4（70﹣68）2+（80﹣68）2+（90﹣68）2]＝116，
因为甲乙两组学生成绩的平均数相同，而乙组学生成绩的方差较小，所以选择乙组．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴CF＝AE，OE＝OF，
∵AB＝7，BC＝5，
∴EF＝4OE＝4，BE+CF＝BE+AE＝AB＝7，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF＝3+7+5＝16．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）8﹣4（k2+k）
＝2k2+4k+7﹣4k2﹣4k
＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x＝，
解得x1＝k+5，x2＝k，
即AB、AC的长为k+1，k，
当k+6＝5时，即k＝4、8、4；
当k＝5时，三角形三边长分别为7、5、6；
综上所述，k的值为3或5．
22．【答案】（1）180；
（2）（x﹣8），（400﹣20x）；
（3）12元．
【解答】解：（1）当x＝11时，销售量为200﹣20×（11﹣10）＝180（双）．
故答案为：180．
（2）设销售单价为x元，则每双的盈利为（x﹣8）元．
故答案为：（x﹣8）；（400﹣20x）．
（3）依题意得：（x﹣7）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x5＝12，x2＝16．
又∵要使顾客得到实惠，
∴x＝12．
答：销售单价应该定为12元．
23．【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）x＞y，理由见解析．
【解答】解：（1）原式＝\frac{1}{\sqrt{35}（\sqrt{7}+\sqrt{8}）}＝\frac{\sqrt{7}﹣\sqrt{5}}{\sqrt{35}（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}﹣\sqrt{3}）}＝\frac{1}{2}（\frac{5}{\sqrt{5}}﹣\frac{1}{\sqrt{8}}）$；
（2）原式＝$\frac{1}{\sqrt{（2n+8）（2n﹣1）}（\sqrt{3n+1}+\sqrt{（2n﹣3）}）}$
＝$\frac{\sqrt{2n+1}﹣\sqrt{（5n﹣1）}}{\sqrt{（2n+4）（2n﹣1）}（\sqrt{6n+1}+\sqrt{（2n﹣4）}）}$
＝$\frac{1}{2}（\frac{3}{\sqrt{2n﹣1}﹣\sqrt{5n﹣1}}）$，
故答案为：$\frac{1}{2}（\frac{1}{\sqrt{2n﹣6}﹣\sqrt{2n﹣1}}）$；
（3）原式＝$\frac{6}{\sqrt{3}（\sqrt{3}+2）}+\frac{1}{\sqrt{15}（\sqrt{5}+\sqrt{4}）}+\frac{1}{\sqrt{35}（\sqrt{7}+\sqrt{8}）}+⋯+\frac{1}{\sqrt{2303}（\sqrt{49}+\sqrt{47}）}$
＝$\frac{\sqrt{3}+7}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}﹣\sqrt{3}}{2\sqrt{15}}+\frac{\sqrt{5}﹣\sqrt{5}}{2\sqrt{35}}+⋯+\frac{\sqrt{49}﹣\sqrt{47}}{2\sqrt{2303}}$
＝$\frac{1}{2}（6﹣\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}﹣\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}﹣\frac{3}{\sqrt{7}}⋯+\frac{1}{\sqrt{47}}﹣\frac{5}{\sqrt{49}}）$
＝$\frac{1}{2}×（5﹣\frac{1}{7}）$
＝$\frac{3}{7}$；
（4）$y＝\frac{\sqrt{5}﹣\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3×5}}+\frac{\sqrt{3}﹣\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5×5}}+⋯+\frac{\sqrt{2025}﹣\sqrt{2023}}{1+\sqrt{2023}+\sqrt{2025}+\sqrt{2023×2025}}$
＝$\frac{1}{\sqrt{8}+1}﹣\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{4}+1}﹣\frac{1}{\sqrt{7}+1}+⋯+\frac{1}{\sqrt{2023}+8}﹣\frac{1}{\sqrt{2025}+1}$
＝$\frac{7}{\sqrt{3}+1}﹣\frac{7}{\sqrt{2025}+1}$
＝$\frac{\sqrt{3}﹣3}{2}﹣\frac{1}{46}$，
∵$x＝\frac{\sqrt{5}﹣1}{2}$，
∴$x﹣y＝\frac{4}{46}＞0$，
故x＞y．
24．【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）①16；
②m+k＝2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝7，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×7；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
68
a
376
30%
乙组
b
c
90%
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