11，广东省湛江市寸金培才学校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份11，广东省湛江市寸金培才学校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．如右图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．反比例函数y=-3x的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限
3．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．1B．45C．43D．34
4．一个不透明的布袋里装有3个红球、1个黑球、若干个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
5．一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根
6．如图，AB为⊙O的直径．弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE的值为（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．8cm
7．比较二次函数y=3x2与y=-13x2+1的图象，则（ ）
A．开口大小相同B．开口方向相同C．对称轴相同D．顶点坐标相同
8．如图，△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②D．④
9．如图，在边长为23的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（ ）
A．2-3B．2C．23-2D．2-23
10．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．32π-2D．32π+2
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知α是锐角，sinα＝，则α＝ ．
12．已知二次函数y=3x-22，当x>2时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
13．若点（a，1）与（﹣3，b）关于原点对称，则ab＝ ．
14．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b>kx的解集为 ．试卷源自 期末大优惠，即将回复原价。
15．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE＝2PF时，AP＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（5分）计算：2tan60°-cs245°+sin30°．
18．（5分）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE=∠CAD，ACAD=65，AB=18，AE=15．求证：△ABC∽△AED．
19．（6分）已知二次函数顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣2≤x≤1时，求y的取值范围．
20．（6分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作△ABC的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD=43，求CD的长．
21．（8分）一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字﹣1，1，2小丽先从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，不放回，再从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．
（1）请用列表或画树状图的方法列出点P所有可能的坐标：
（2）求点P在反比例函数y=2x图象上的概率．
22．（8分）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：2≈1.414，3≈1.732）
23．（10分）如图，直线AB与反比例函数y=mx的图象交于A1，4，B4，n两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积
（3）是否存在x轴上的一个动点P，使PA+PB最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC，垂足为F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH⋅EA；
（3）若⊙O的半径为4，sin∠BAE=34，求BH的长．
25．（12分）如图，已知抛物线y=ax2-x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B，点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）联结AB，求∠B的正切值；
（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
湛江市寸金培才学校2023-2024学年
初三级第三次学情调研数学科试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如右图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
2．反比例函数y=-3x的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限
【解答】解：∵y=-3x，k＝﹣3＜0，
∴函数图象过二、四象限．
故选：B．
3．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．1B．45C．43D．34
【分析】利用勾股定理可求出AB的长，利用余弦的定义即可得答案．
【解答】解：由图可知，∵BC＝4，AC＝3，
∴tan∠BAC=BCAC=43，
故选：C．
4．一个不透明的布袋里装有3个红球、1个黑球、若干个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【解答】解：设白球有x个，
根据题意，得33+1+x=310，
解得：x＝6，
经检验x＝6是方程的解，
即袋中白球有6个，
故选：C．
5．一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根
【解答】解：∵Δ=-22-4×3=-8<0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
6．如图，AB为⊙O的直径．弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则BE的值为（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．8cm
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴OB＝OC＝5（厘米），
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE＝4（厘米），
在Rt△OCE中，OC＝5（厘米），
∴OE＝＝3（厘米），
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（厘米）．
故选：A．
7．比较二次函数y=3x2与y=-13x2+1的图象，则（ ）
A．开口大小相同B．开口方向相同C．对称轴相同D．顶点坐标相同
【解答】解：∵二次函数y=3x2与y=-13x2+1，
∴函数y=3x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
函数y=-13x2+1的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，1）；
故选项B、D错误，选项C正确；
∵二次函数y=3x2中的a＝3，y=-13x2+1中的a＝-13，
∴它们的开口大小不一样，故选项A错误；
故选：C．
8．如图，△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②D．④
【解答】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③4﹣1＝3，6﹣4＝2，＝，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似；
④两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似．
故选：A．
9．如图，在边长为23的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（ ）
A．2-3B．2C．23-2D．2-23
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝23，∠BCD＝∠B＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠CDE+∠DCF＝90°＝∠DCF+∠BCF，
∴∠CDE＝∠BCF＝30°，
∴BC＝BF＝23，
∴BF＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝23-2，
故选：C．
10．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．32π-2D．32π+2
【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，
∴∠AOC＝∠ACO＝45°，
同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）
＝[﹣]+[﹣]
＝π﹣+π﹣2
＝﹣2，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知α是锐角，sinα＝，则α＝ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵sin（15°+α）＝，
∴15°+α＝30°，
则a＝15°．
故答案为：15°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．已知二次函数y=3x-22，当x>2时，y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
【解答】解：∵二次函数y=3x-22，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，
故答案为：增大．
13．若点（a，1）与（﹣3，b）关于原点对称，则ab＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，
∴a＝3，b＝﹣1，
故ab＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
14．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b>kx的解集为 ．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞2．
15．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝21 ．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE＝2PF时，AP＝ 6 ．
【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝6，
∴x＝，
∴AP＝5x＝6．
故答案为：6．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分.解答要写必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：2tan60°-cs245°+sin30°．
【解答】解：2tan60°-cs245°+sin30°
=2×3-222+12=23-12+12=2318．（5分）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．
【解答】证明：∵，AB＝18，AE＝15，
∴＝＝，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
19．（6分）已知二次函数顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣2≤x≤1时，求y的取值范围．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣8；
把（0，﹣6）代入解析式得﹣6＝a（0+1）2﹣8，
解得a＝2；
∴二次函数的解析式为y＝2（x+1）2﹣8；
（2）∵a＝2＞0，顶点为（﹣1，﹣8），
∴开口向上，当x＝﹣1时，y有最小值为﹣8；
∵当x＝﹣2时，y＝2（﹣2+1）2﹣8＝﹣6，
当x＝1时，y＝2（1+1）2﹣8＝0，
∴当﹣2≤x≤1时，y的取值范围为﹣8≤y≤0．
20．（6分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作△ABC的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AD＝4，tan∠BAD＝，求CD的长．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求作．
（2）在Rt△ADB中，tan∠BAD＝＝，
∵AD＝4，
∴BD＝，
∵∠BAC＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ADB∽△CDA，
∴AD2＝BD•CD，
∴CD＝3．
解法二：此题解法复杂了，∠BAD＝∠C，通过tan∠C计算更快．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（8分）一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字﹣1，1，2小丽先从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，不放回，再从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．
（1）请用列表或画树状图的方法列出点P所有可能的坐标：
（2）求点P在反比例函数y=2x图象上的概率．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，它们为（﹣1，1），（﹣1，2），（1，﹣1），（1，2），（2，﹣1），（2，1）；
则点P所有可能的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（1，﹣1），（1，2），（2，﹣1），（2，1）；
（2）点P（x，y）在函数y=2x图象上的结果数为2，
∴点P（x，y）在函数y=2x图象上的概率＝＝．
22．（8分）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，
由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝x km，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
23．（10分）如图，直线AB与反比例函数y=mx的图象交于A1，4，B4，n两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积
（3）是否存在x轴上的一个动点P，使PA+PB最小，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝得m＝1×4＝4，
所以反比例函数解析式为y＝；
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴，交x轴与点C、交OB与点E，过点B作BD⊥x轴，交x轴与点D
由（1）可知，反比例函数解析式为y＝
把B（4，n）代入y＝得4n＝4，解得n＝1
所以B（4，1），
∵S△0AC=S△0CE+S△0AE=m2=2，S△0BD=S△0CE+S梯CEBD=m2=2
∴S△0AE=S梯CEBD
∵S△0AB=S△0AE+S△ABE
∴S△0AB=S梯CEBD+S△ABE=S梯ACDB
∴S△0AB=12yA+yBxB-xA=12×4+1×4-1=152
（3）存在．
作点A关于x轴的对称点A′，如图，则A′（1，﹣4），连接A′B交x轴于P，则PA＝PA′，
所以PA+PB＝PA′+PB＝A′B，
所以此时PA+PB的值最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
把A′（1，﹣4），B（4，1）代入得，解得，
所以直线A′B的解析式为y＝x﹣，
当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝，
所以P点坐标为（，0）．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC，垂足为F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH⋅EA；
（3）若⊙O的半径为4，sin∠BAE=34，求BH的长．
【解答】（1）证明：如图1所示，
∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图2所示，
∵OF⊥BC，
∴BE＝CE，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△AEC∽△CEH，
∴，
∴CE2＝EH⋅EA；
（3）解：连接BE，如图3所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为4，sin∠BAE=34，
∴AB＝8，BE＝AB•sin∠BAE＝8×34＝6，
∴AE=AB2-BE2=27，
∵BE＝CE，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH⋅EA，
∴EH=1877，
∴在Rt△BEH中，BH=BE2+EH2=62+18772=2477．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B，点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）联结AB，求∠B的正切值；
（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣x+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣；
∴顶点B（1，﹣2），点C（5，6），
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣4，
∵直线BC交x轴于点E，
∴E（2，0）；
（2）∵A（﹣2，0），B（1，2），C（5，6），
∴AB2＝（﹣1﹣1）2+22＝8，AC2＝（﹣1﹣5）2+62＝72，BC2＝（5﹣1）2+（6+2）2＝80，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴tan∠B＝＝＝3；
（3）∵∠CAB＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°．
∵GM⊥BC，
∴∠CGM+∠ACB＝90°．
∴∠CGM＝∠B．
∵△CGM 与△ABE 相似，
∴∠BAE＝∠CMG 或∠BAE＝∠MCG．
如图2，过点B作BF⊥x轴于F，
∵B（1，2），
∴BF＝2，F（1，0），
∵A（﹣1，0），
∴AF＝2＝BF，
∴∠BAE＝∠CAM，
①如图1，当∠BAE＝∠CMG 时，
∵∠BAE＝45°，
∴∠CMG＝45°．
∵GM⊥BC，
∴∠MCE＝45°．
∴∠MCE＝∠EAB．
∵∠AEB＝∠CEM，
∴△ABE∽△CME．
∴，
∵A（﹣1，0），E（2，0），B（1，2），C（5，6），
∴AE＝3，CE＝3，BE＝，
∴，
∴ME＝5，
∴M（7，0）；
②如图2，当∠BAE＝∠MCG 时，
∵∠BAE＝∠CAM，
∴∠MCG＝∠CAM．
∴MC＝MA．
设 M（x，0），
∵C（5，6），A（﹣1，0），
∴MC＝，MA＝x+1，
∴＝x+1，
∴x＝5，
∴M（5，0）．
即：满足条件的点M的坐标为（7，0）、（5，0）．