2024年黑龙江省哈尔滨市德强学校中考三模数学试题（学生版+教师版）

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1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
3. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，会确定简单几何体的三视图是解题的关键．俯视图是指从上面看到的图形，根据此意义判断即可．
【详解】解：该几何体的俯视图为：
，
故选：A．
4. 大庆油田发现预测地质储量亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】亿
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意，
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键．
6. 数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（ ）
A. 2，3B. 4，2C. 3，2D. 2，2
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，分别进行解答即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，4，5，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了3次，出现的次数最多，则众数是2．
故选：C．
【点睛】此题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．
7. 如果是锐角，且，那么的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为，所以利用sin2α+cs2α=1直接解答即可．
【详解】∵
∴
故选：C
【点睛】考查同角三角函数之间的关系，掌握sin2α+cs2α=1是解题的关键.
8. 如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，结合，可得，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
9. 定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 无实数根C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义的运算，将转化为一元二次方程，再根据根的判别式判断即可．
【详解】∵
∴
即
∴
∴方程有两个不相等的实数根
故选：A
【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根的判别式，熟练运用根的判别式判别一元二次方程的根的情况是解题的关键．
10. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 分解因式：3x2y﹣3y＝_______．
【答案】3y(x+1)(x﹣1)
【解析】
【分析】先提取公因式3y，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：3x2y﹣3y
＝3y（x2﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题主要考查了运用提取公因式、公式法进行因式分解，灵活应用相关因式分解的方法成为解答本题的关键．
12. 一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是，则此扇形的半径是___________．
【答案】12
【解析】
【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长计算公式可直接进行求解．
【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得：
，解得：；
故答案为:12．
【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
13. 比较大小：_____（填“”“ ”“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，只需比较即可，利用估算思想解答即可．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 方程解为___________．
【答案】x=5
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
【详解】解：
方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0.
故答案为：x=5.
【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根.
15. 不等式组：的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
16. 甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意画出树状图如图所示：
，
共有9种等可能的结果，甲获胜的情况有3种，
甲获胜的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
17. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可．
【详解】∵直线与双曲线相交于两点，
∴点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为．
故答案为：．
18. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度.
【答案】或
【解析】
【分析】当为直角三角形时，有两种情况或，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可.
【详解】解：分两种情况：
①如图1，当时，
∵，
∴；
②如图2，当时，
∵，，
∴，
∴，
综上，则的度数为或；
故答案为或；
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键.
19. 如图，观察给出的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中点的个数的变化规律，猜想第个点阵中的点的个数为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．观察前面几个图形中点的排列规律即可发现后面一个图形比前一个多4个点，据此求解即可．
【详解】∵第1个点阵中的点的个数，
第2个点阵中的点的个数，
第3个点阵中的点的个数，
第4个点阵中的点的个数，
…
∴第个点阵中的点的个数．
故选答案为：．
20. 如图，在矩形中，在边上，为中点，，，，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，延长到点G，使，连接，，利用线段垂直平分线的性质，利用三角形中位线定理得出，，证明，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：延长到点G，使，连接，
∵矩形，
∴，
即，
∴，
∵为中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，特殊角度的三角函数．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，利用特殊角的三角函数值求出的值，代入计算即可．
【详解】
，
∵，
∴原式．
22. 如图，在每个小方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以为一边的，且的面积为3，，点在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以为对角线的平行四边形，平行四边形的周长为，点均在小正方形的顶点上．
（3）连接，并直接写出线段长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）画一个两边分别为3，的平行四边形即可；
（3）根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，四边形即为所求；
【小问3详解】
．
23. 第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）通过计算补全条形统计图，并求出在扇形统计图中C类的圆心角度数；
（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
【答案】（1）200人
（2）图见解析，
（3）920
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图；
（1）从两个统计图可知，样本中选择E．“龙江菜”的有34人，占调查人数的17%，即可求出得调查人数；
（2）求出样本中选择B．“龙江肉”；C．“龙江米”的人数，即可补全条形统计图；
（3）求出样本中选择D．“龙江杂粮”的学生所占的百分比，估计总体中选择D．“龙江杂粮”所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
【小问1详解】
（人），
答：本次参与调查的居民有200人；
【小问2详解】
选择B．“龙江肉”的学生人数为：（人）；
选择C．“龙江米”的学生人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
在扇形统计图中C类的圆心角度数是；
【小问3详解】
（人），
答：该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民约为920人．
24. 在四边形中，，点在边上，连接，若，平分．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接交于点，若，，请直接写出线段的长______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理．
（1）根据平行线性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出，再根据列方程计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
∵，平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴,
解得，．
故答案为：．
25 南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同．
（1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？
（2）该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，求最多购进甲种兰花多少株？
【答案】（1）每株甲种兰花的成本为400元，每株乙种兰花的成本为300元；（2）最多购进甲种兰花20株．
【解析】
【分析】（1）如果设每株乙种兰花的成本为x元，由“每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元”，可知每株甲种兰花的成本为（x+100）元．题中有等量关系：用1200元购进的甲种兰花数量=用900元购进的乙种兰花数量，据此列出方程；
（2）设购进甲种兰花a株，根据乙种兰花的株数比甲种兰花的3倍还多10株，成本不超过30000元，列出不等式即可
【详解】（1）设每株乙种兰花的成本为x元，则每株甲种兰花的成本为（x+100）元
由题意得，
解得，x＝300，
经检验x＝300是分式方程的解，
∴x+100＝300+100＝400，
答：每株甲种兰花的成本为400元，每株乙种兰花的成本为300元；
（2）设购进甲种兰花a株
由题意得400a+300（3a+10）≤30000，
解得，a≤，
∵a是整数，
∴a的最大值为20，
答：最多购进甲种兰花20株．
【点睛】此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题关键在于列出方程
26. 为的直径，为弦，交于点，弧弧BD．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在弧上，连接，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，三角函数等知识点；
（1）连接、，证明即可；
（2）连、、直径，根据圆周角定理可得，根据可得，即可得到，得到，最后得到；
（3）设直径分别交、于、，过作于，先证明得到，由勾股定理得到，得到，即可设，即可在中利用勾股定理列方程求出，再由求出半径长，最后根据求解即可．
【小问1详解】
连接、，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
连、、直径，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
设直径分别交、于、，过作于，

由（2）可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴设，
∴，，，
∴，，，
在中，
∴
解得（舍去）
∴，，，
设半径为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
27. 如图，已知抛物线交轴于点（点在点左侧），交轴于点，且；
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，以为斜边在下方作等腰直角，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合题，涉及到求二次函数解析式，面积问题，等腰直角三角形等知识点；
（1）依次求出和坐标，代入计算即可；
（2）过作轴于，根据求解即可；
（3）由可得，即可得到，由可以设，再过作轴于，过作轴于，可证得，得到，列方程求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线交轴于点，
∴，
∵
∴，
∴，
把代入解得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
过作轴于，
令可得，解得，
∴，
∴，
∵点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若点的横坐标为，
∴，
∴
∴；
【小问3详解】
过作轴于，过作轴于，
∵，，
∴，
∵等腰直角，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴设纵坐标为，则，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵轴于，轴于，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得（P与A重合，舍去）或，
∴，
∴．