安徽师范大学附属中学2024届高三下学期最后一卷（三模）数学试题+答案

这是一份安徽师范大学附属中学2024届高三下学期最后一卷（三模）数学试题+答案，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，设，则，下列说法正确的为，已知，下面结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 2024年5月28日
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．四答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，且是复数z的共轭复数，则的值是（ ）
A．B．3C．5D．9
2．设，则“”是“为的等比中项”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是（ ）
A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分
B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行
C．若空间中四条不同的直线满足，则
D．若为异面直线，平面平面，且与相交，若直线满足则必平行于和的交线
4．下列选项中，所得到的结果为4的是（ ）
A．双曲线的焦距B．的值
C．函数的最小正周期D．数据的下四分位数
5．已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（ ）种
A．186B．264C．284D．336
6．已知与直线交于、两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足
，且，
则（ ）
A．1012B．2024C．-1012D．-2024
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的为（ ）
A．在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，意味着模型的拟合效果越好
B．数据的标准差为，则数据的标准差为
C．已知随机变量，若，则
D．在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件
10．已知，下面结论正确的是（ ）
A．时，在上单调递增
B．若，且的最小值为，则
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
11．已知、是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．线段PQ的长度的最大值为
D．当均不在轴上时，过点分别作曲线的两条切线与，且当时，与之间的距离记为，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．写出的展开式的第4项的系数：______．（用数字表示）
13．在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则四面体的外接球的体积为______．
14．已知实数，且满足，当取得最大值时，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本大题满分13分）
已知分别为三个内角的对边，且
（1）求；
（2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
16．（本大题满分15分）
如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面，
（1）求证：两两垂直；
（2）若为中点，为中点，求与平面所成角的正弦值．
17．（本大题满分15分）
在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：
（2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率．（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为．事件“”的概率为，求使取得最大值时的值．
参考公式：，其中．
18．（本大题满分17分）
已知点是椭圆与抛物线的交点，且、分别为的左、右顶点．
（1）若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程：
（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于两点，与相交于两点，，若直线的斜率为1，求的值：
（3）设直线，直线分别与直线交于两点，与的面积分别为，若的最小值为，求点的坐标．
19．（本大题满分17分）
若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
（1）已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明．数列是一个“对数性凸数列”，且有；
（2）若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
（3）设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：
最后一卷数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．C2．B3、A4．C5．D6．B7．A8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABC10．CD11．BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．-16013．14．7
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15（1）由正弦定理有
由化简得
由有，可得
故，则．
（2）由有
又可得，易得有正
在中，．
故的长为
16（1）在上任取一点，作交于，作交于，由平面平面交于面，有面，又面有，同理，又由面中，可得面，则．
同理可得，即两两垂直．
（2）分别以DB，DC，DA所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系
易得
有
设面的法向量，则由可取．
则与平面所成角的正弦值为
17．（1）：假设食堂就餐与性别无关
由列联表可得
所以依据小概率值的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关．
（2）记星期二选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为，
星期四选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为，
则，
所以，
所以．
（3）依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率，
则，所以，
若取得最大值，则，
即
又且，所以．
18．（1）由题意得，故，则，解得，
故椭圆，
因为，所以，
所以，将其代入中，即，解得，
故的准线方程为；
（2）由题意得，解得，
故，
直线的方程为，联立得，，
设，则，
故，
联立与得，，
设，则，
故，
若方向相同，
若方向相反，，
所以；
（3）由三点共线，可得
，故
同理，由三点共线，可得
，
则
因为，所以，
所以，
又，
故，
因为，令，
则，
所以
其中
因为，所以的开口向下，
对称轴为
其中，
故当时，取得最大值，
最大值为，
故的最小值为，
令，解得，负值舍去，
故，解得，
又，故，
则点的坐标为
19．（1）法一：由得到，累乘法得到：
法二：由得到；
（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，
所以，
又，所以，
显然，即不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
则有三个零点，
所以有两个零点，
所以同上有，
故数列为一个“对数性凸数列”；
（3）记．则欲证不等式可化归为
，即．①
由数列为对数性凸数列知，即．
故
再由，得
故式①成立．从而，原不等式成立．男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
40
20
60
不喜欢食堂就餐
10
30
40
合计
50
50
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828