山东省青岛第九中学2023-2024学年高二下学期期中阶段检测数学试题

这是一份山东省青岛第九中学2023-2024学年高二下学期期中阶段检测数学试题，共13页。试卷主要包含了已知,则等于，三个数的大小顺序为)，下列说法正确的是，已知函数,则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,则等于( )
A.B.C.D.
2.某4位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,如果保持原来4位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为( )
A.10B.20C.24D.30
3.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设为整数,若和被除得的余数相同,则称和对模同余,记为.若,则的值可以是( )
A.2018B.2020C.2022D.2024
4.已知甲、乙两人进行五局球赛,甲每局获胜的概率是,且各局的胜负相互独立,已知甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为元，则甲所获得奖金总额的方差( )
A.120B.240C.360D.480
5.已知函数在区间[1,3]上单调递减,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
6.三个数的大小顺序为( ))
A.B.C.D.
7.某校为推厂篮球运动,成立了篮球社团,社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练,从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第次触球者是甲的概率为,则( )
A.B.C.D.
8.已知定义在上的函数的导数为,且对任意的满足,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A.两位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生不相邻的概率是
B.已知随机变量,若,则
C.已知,则
D.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件,则取得2件次品的概率为
10.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.当时,在上单调递减
B.当时,函数没有最值
C.当时,过原点且与相切的直线有两条
D.对任意,函数恒有两个极值点
11.已知函数为的导函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的极小值为1
B.函数在上单调递增
C.,使得
D.若恒成立,则整数的最小值为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设随机变量服从正态分布,若,则实数________________.
13.核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”.它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为(空壳率指坚果,谷物等的结实性指标,因花末受精,壳中完全无内容,称为空壳),乙地种植的核桃空壳率为,将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的,,从中任取一个核桃,则该核桃是空壳的概率是_______________.
14.若对任意的,且,则实数的取值范围是_______________.
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题13分)已知二项式且为常数)的展开式中第7项是常数.
(1)求的值:
(2)若该二项式展开式中各项系数之和为1024,求展开式中的系数.
16.(本题15分)袋中有大小形状相同的5个球,其中3个红色,2个黄色.
(1)两人依次不放回各摸一个球,求第一个人摸出红球,且第二个人摸出1个黄球的概率;
(2)甲从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球,记随机变量为此时已摸球的次数,求:
①的值;②随机变量的概率分布和数学期望.
17.(本题15分)设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)䒴在时恒成立,求的取值范围.
18.（本题17分）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额,并分组如下:,(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若该店当天总共有1350名客户进店消费,试估计其中有多少客户的消费额不少于800元;
(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人,再从这6人中随机抽取2人做进一步调查,则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少;
(3)为吸引顾客消费,该商店考虑两种促销方案.方案一:消费金额每满300元可立减50元,并可叠加使用;方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折,中奖2次当天消费金额可打6折,中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种,小王准备购买的商品又恰好标价1000元,请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.
19.(本题17分)已知常数,设,
(1)若,求函数的最小值;
(2)是否存在,且依次成等比数列,使得依次成等差数列?请说明理由.
(3)求证:“”是“对任意,都有”的充要条件.
高二数学期中考试参考答案:
1.A.
2.D6位问学排成一排准备照相时,共有种排法,如果保持原来4位问学的相对顺序不变,则有种排法,
3.D【详解】,所以除以9的余数是8,选项中只有2024除以9余8.
4.A【详解】设甲获胜的局数为,则所以
5A【详解】因为,所以,
因为在区间[1,3]上单调递减，所以,即,则在[1,3]上恒成立,因为在[1,3]上单调递减,所以,故.
6.D【详解】,记,则,令,解得,所以在上单调递减,因为,所以,即.
7.C【详解】解:要想第次触球者是甲,则第次触球的人不能是甲,且第()次触球的人有的概率将球传给甲,所以,即,设,则,所以,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,所以,即,所以
8.A【详解】构建,则,因为,则,即,可知在上单调递减,且,由可得,即,解得,所以不等式的解集是.
9.AC【详解】对于A：两位男生和两位女生随机排成一列共有(种)排法;两位从生不相邻的排法有(种),故两位女生不相邻的概率是,正确；
根据二项分布的数学期望和方差的公式,可得,解得,错误；
对于:由,得,解得,故C确;
对于D：设随机变量表示取得次品的个数,则服从超几何分布,所以,故错误.
10.【详解】对于选项,当时,,则,当时,恒有,因此在上单调递减,故A正确;
对于选项B,,令,可得,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,当时,,故无最大值,又当时,,且,故有最小值,且最小值在处取得,故B错误;
对于选项,设切点为,则切线方程为,因为该切线过原点,所以,即,即,当时,方程有2解,正确；
对于选项D,由题可得,令,因为,所以,,即存在两个不同的根,所以恒有两个极值点,故正确;
11.BCD【详解】选项,则,令,解得,故当时,当时,
函数的极小值为,故A项错误;
选项,由选项分析可知恒成立,故函数在上单调递增,选项,记,则,令,解得,
当时,即单调递减,
当时,即单调递增,
则在上单调递减,且,,
在上存在唯一的,使得,即
选项D,记,则
由选项可知,当时,单调递增,
又当时,单调递减,
当时,①,由选项可知,即,
代入①式可得,可得,所以整数的最小值为2,故D项正确.
12.【答案】-6
13.【答案】0.028设事件所取核桃产地为甲地为事件,事件所取核桃产地为乙地为事件，事件所取核桃为空壳为事件B，
则,,所以
.
14.对任意的,且,易知,
则,所以,即.
令,则函数在上单调递减.
因为,由,可得,
所以函数的单调递减区间为,所以,故,即实数的取值范围为
15.【详解】(1)二项式的展开式中第7项为
由题意得,解得.
(2)令,得,所以或,解得,或（舍去）.
该二项式展开式通项为
令,解得,
故展开式中的系数为.
16.（1）依题意,所求概率为;
（2）①由已知得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，
事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，
故事件包含种取法,
所以;
②,
则的概率分布为
所以的数学期望为.
17.【详解】(1)由题可知,
①当在上单调递增，
②当时,.
当时,单调递增;
当时,单调递减;
在上单调递增,在上单调递增.
(2)
,
令,则原问题,
,
单调递增;,单调递减;.
的取值范围为.
18.【详解】(1),(2)由频率分布直方图抽取的6人中,有4人消费金额在区间上,有2人不少于1000元,因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查,则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为;
(3)按方案1,小王实付款;
按方案2,小王抽奖3次,中1次奖的概率为,中2次奖的概率为,
中3次奖的概率为,一次都不中的概率为,
因此本次购物小王付款的期望值为
又,因此选取方案2较合适.
19.【详解】(1)当时,,则,
在上单调递减,在上单调递增,所以;
（2）若依次成等比数列,则,
若、成等差数列,则,所以
所以,当时,成立,
当时,则,联立,得,,即,
所以,与矛盾,所以时,存在满足条件,
当时,不存在满足条件;
（3）,则,
所以,
又
令
上式
令,则恒成立,单调递减,所以,
充分性:若,则,则恒成立,
必要性:要使得①式恒成立,则恒成立,即.注意事项:
1.本试卷分第I卷和第II卷两部分。第I卷为选择题,共58分;第II卷为非选题,共92分,满分150分,考试时间为120分钟。
2.第I卷共4页,每小题有一个正确答案,请将选出的答案标号(A、B、C、D)涂在答题卡上。第II卷共4页,将答案用黑色签字笔)写在答题卡上。
2
3
4