2023-2024学年湖北省鄂北六校高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年湖北省鄂北六校高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=x2+1，当自变量x由1增加到1+Δx时，函数的平均变化率为( )
A. 2B. Δx+(Δx)2C. Δx+2D. −Δx−2
2.下列导数运算正确的是( )
A. (sinπ4)′=csπ4B. (lg4x)′=1xln4C. (e3x)′=e3xD. (2 x)′=1 x3
3.14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )
A. C92A32B. C92A52C. C92A72D. C92A77
4.( x−3 x)n的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式的一次项为( )
A. 135xB. −135xC. 15xD. 180x
5.若函数f(x)=x(x−c)2在x=−1处有极小值，则c=( )
A. −3B. −1C. −3或−1D. −2
6.已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为( )
A. 33RB. 63RC. 12RD. 13R
7.对于数列{an}，把它连续两项an+1与an的差记为bn=an+1−an，得到一个新数列{bn}，称数列{bn}为原数列{an}的一阶差数列.若cn=bn+1−bn，则数列{cn}是{an}的二阶差数列，以此类推，可得数列{an}的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列{an}满足a1=6，且Sn=14an(n+3)，则下列结论中错误的有( )
A. {an}为二阶等差数列B. {an}为三阶等差数列
C. anan−1=n+2n−1(n≥2)D. an=n(n+1)(n+2)
8.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，对于任意实数x都有f′(x)=ex(4x−1)+f(x)，f(0)=−1，则不等式f(x)>2ex的解集为( )
A. (−∞,−1)∪(32,+∞)B. (−∞,−32)∪(1,+∞)
C. (−1,32)D. (−32,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则( )
A. an−an−1=n(n≥2)B. S7=56
C. Sn−Sn−1=n(n+1)2(n≥2)D. 1a1+1a2+1a3+⋯+1a2024=40482025
10.过抛物线E：y2=2px上一点M(1,2)作两条直线l1，l2，l1与E的另一个交点为A，l2与E的另一个交点为B，抛物线的焦点为F，则( )
A. E的准线方程为x=−2B. 过点M与E相切的直线方程为y=x+1
C. 以MF为直径的圆与y轴相切D. 若kMA+kMB=0，则kAB=−1
11.已知函数f(x)=e2x−ax2(a为常数)，则下列结论正确的有( )
A. a=1时，f(x)≥0恒成立
B. 若f(x)有3个零点，则a的取值范围为(e2,+∞)
C. a=12时，f(x)有唯一零点x0且−1D. a=e2时，x=1是f(x)的极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.f(x)=x3+4 x，则f(x)在x=1处的切线方程为______.
13.暑假期间，有4名教师对5名学生进行家访活动，若这4名教师每位至少到一名学生家中，又这5名学生都能且只能得到一名教师的家访，则不同的家访方案种数是______.
14.已知当x∈(0,e],不等式aex+2≥lnxa−2恒成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)求(1+2x)5(1−3x)4的展开式中含x3的项；
(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，求：
①a0+a2+a4+…+a12；
②a1+2a2+3a3+…+12a12.
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC⊥侧面ACC1A1，AC=AA1=2，BC=1，∠ACB=90∘.
(1)证明：A1C⊥AB1；
(2)若三棱锥A1−ABC的体积为 33，∠A1AC为锐角，求平面AB1C1与平面B1C1C的夹角.
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足anan+3=an+13(n∈N*)，a1=1.
(1)证明：数列{1an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若记bn为满足不等式(12)n18.(本小题17分)
已知动点M到点F(2,0)的距离与到直线l：x=3的距离之比为 63.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点A(4,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，点P关于x轴对称的点为R，求△AQR面积的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2ex−sinx−1，g(x)=1−aln(x+1).
(1)记k(x)=x+g(x)，讨论k(x)的单调性；
(2)当x∈[0,π]时，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：f(x)=x2+1，
则函数的平均变化率为：f(1+Δx)−f(x)1+Δx−1=2Δx+(Δx)2Δx=2+Δx.
故选：C.
结合平均变化率公式，即可求解．
本题主要考查平均变化率公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，(sinπ4)′=0，A错误；
对于B，(lg4x)′=1xln4，B正确；
对于C，(e3x)′=3e3x，C错误；
对于D，(2 x)′=(2x−12)′=−x−32=−1 x3，D错误．
故选：B.
根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先从后排的9人中选出2人，有C92种结果，
再把两个人在七个位置中选一个位置进行排列有A72，
∴不同的调整方法有C92A72，
故选：C.
本题是一个分步计数问题，首先从后排的9人中选出2人，有C92种结果，再把两个人在七个位置中选一个位置进行排列有A72，根据分步乘法原理得到结果．
本题考查分步计数问题，本题解题的关键是在选出2个人要在前一排排列时，是在7个位置选2个位置进行排列．
4.【答案】A
【解析】解：展开式中奇数项二项式系数和为32，
所以2n−1=32，
所以n−1=5，
所以n=6，
故通项公式Tr+1=C6r( x)6−r(−3 x)r，
整理得：Tr+1=(−3)rC6rx3−r，
令3−r=1，
所以r=2，
故一次项为：(−3)2C62x=135x.
故选：A.
奇数项二项式系数和为32，求出n，写出通项公式并整理，令x的次数为1，可得一次项．
本题考查了二项式系数之和，通项公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：f′(x)=3x2−4cx+c2，
因为f(x)在x=−1处有极小值，
所以f′(−1)=3+4c+c2=0，解得c=−1或c=−3，
当c=−1时，f′(x)=3x2+4x+1，
当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当−1此时，f(x)在x=−1处有极大值，不满足题意．
当c=−3时，f′(x)=3x2+12x+9=0，
当−3−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
此时，f(x)在x=−1处有极小值，满足题意．
故选：A.
根据f′(−1)=0求得c，然后验证即可．
本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，设圆锥的高为h(0由于其母线长为定值R，则圆锥的底面半径r= R2−h2，
故圆锥的体积V(h)=πr2h3=π(R2−h2)h3=π3(R2h−h3)，
其导数V′(h)=π3(R2−3h2)，
当00，V(h)为增函数，
当 3R3则当h= 3R3时，V(h)取得最大值，
此时r= R2−h2= 63R.
故选：B.
根据题意，设圆锥的高为h，用h表示圆锥的体积V(h)，求出V(h)的导数，由导数与函数单调性的关系分析V(h)的最大值，进而分析可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，涉及导数与函数单调性、最值的关系，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由Sn=14an(n+3)，可得Sn+1=14an+1(n+4)，
an+1=Sn+1−Sn=14an+1(n+4)−14an(n+3)，即an+1an=n+3n，
当n≥2时，anan−1=n+2n−1，C正确；
anan−1×an−1an−2×...×a2a1=n+2n−1×n+1n×...×41，即ana1=(n+2)(n+1)n6，
∵a1=6，∴an=(n+2)(n+1)n6×6=(n+2)(n+1)n，D正确；
bn=an+1−an=(n+3)(n+2)(n+1)−(n+2)(n+1)n=3(n+2)(n+1)，
cn=bn+1−bn=3(n+3)(n+2)−3(n+2)(n+1)=6(n+2)，A错误；
dn=cn+1−cn=6(n+3)−6(n+2)=6，{an}为三阶等差数列，B正确．
故选：A.
由已知求出an，进而求出bn，cn，逐一检验选项即可．
本题考查数列新概念，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：令g(x)=f(x)ex，①
则g′(x)=f′(x)ex−exf(x)(ex)2=f′(x)−f(x)ex，
因为f′(x)=ex(4x−1)+f(x)，
所以f′(x)−f(x)ex=4x−1，
即g′(x)=4x−1，
所以g(x)=2x2−x+c，②
由①②得f(x)ex=2x2−x+c，
所以f(x)=ex(2x2−x+c)，
又f(0)=−1，
所以e0⋅c=−1，
所以c=−1，
所以f(x)ex=2x2−x−1，
所以不等式f(x)>2ex⇔f(x)ex=2x2−x−1>2，
解得x<−1或x>32.
故选：A.
令g(x)=f(x)ex①，求导可得g′(x)=f′(x)ex−exf(x)(ex)2=f′(x)−f(x)ex=4x−1，进而可得g(x)=2x2−x+c②，由①②得f(x)ex=2x2−x+c，又f(0)=−1，解得c，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题意得a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，…，an−an−1=n，
以上n个式子累加可得an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2,n≥2，
其中a1=1时，满足上式，所以an=n(n+1)2，
对于A，由an−an−1=n(n+1)2−(n−1)n2=n，所以A正确；
对于B，由S7=1+3+6+10+15+21+28=84，所以B错误；
对于C，由Sn−Sn−1=an=n(n+1)2(n≥2)，所以C正确；
对于D，由1an=2n(n+1)=2⋅(1n−1n+1)，
可得1a1+1a2+1a3+…+1a2024=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(12024−12025)]=2(1−12025)=40482025，所以D正确．
故选：ACD.
根据题意，得到a1=1，a2−a1=2，…，an−an−1=n，利用叠加法求得an=n(n+1)2，结合等差数列的求和公式，以及裂项法求和，逐项判定，即可求解．
本题考查数列的递推关系，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为点M(1,2)在抛物线E：y2=2px上，
所以4=2p，则p=2，抛物线方程为y2=4x，则其准线方程为x=−1，故A错误；
对于B，联立y2=4xy=x+1，消元得x2−2x+1=0，则Δ=(−2)2−4=0，
故直线y=x+1与抛物线相切，又点M(1,2)在直线上，
则过点M与E相切的直线方程为y=x+1，故B正确；
对于C，由抛物线定义知|MF|=1−(−1)=2，线段MF中点的横坐标x0=1+12=1=12|MF|，
即线段MF的中点到y轴的距离为12|MF|，所以以MF为直径的圆与y轴相切，故C正确；
对D，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则kMA+kMB=y1−2x1−1+y2−2x2−1=0，
即y1−2x1−1+y2−2x2−1=y1−2y124−1+y2−2y224−1=4y1+2+4y2+2=0，
所以y1+2=−(y2+2)，即y1+y2=−4，
所以kAB=y2−y1x2−x1=y2−y1y224−y124=4y2+y1=4−4=−1，故D正确．
故选：BCD.
根据点在抛物线上求出p即可判断A，联立方程消元后利用判别式判断B，根据抛物线的性质得出线段中点到y轴的距离判断C，由直线的斜率公式及点在抛物线上化简条件即可判断D.
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A中，当a=1时，可得f(x)=e2x−x2，则f(−1)=e−2−1<0，所以A错误；
对于B中，若函数f(x)=e2x−ax2有3个零点，即e2x=ax2有三个解，
其中x=0时，显然不是方程的根，当x≠0时，转化为g(x)=e2xx2与y=a的图象有3个交点，
又由_g′(x)=2e2x(x−1)x3，
令g′(x)>0，解得x<0或x>1；令g′(x)<0，解得0所以函数g(x)在(−∞,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；
所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，极小值为g(x)=e2，
又由x→0时，g(x)→+∞，所以a>e2，即实数a的取值范围为(e2,+∞)，所以B正确；
对于C中，当a=12时，f′(x)=2e2x−x=2(e2x−12x)，
设h(x)=e2x−12x，可得h′(x)=2e2x−12，
当x当x>ln12时，h′(x)>0，h(x)在(ln12,+∞)单调递增，
所以当x=ln12时，h(x)min=h(ln12)=e2ln12−14=0，所以h(x)≥0，
所以f′(x)≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，
又因为f(−1)=e−2−12<0,f(−12)=e−1−18>0，即f(−1)⋅f(−12)<0，
所以f(x)有唯一零点x0且−1对于D中，当a=e2时，f(x)=e2x−e2x2，可得f′(x)=2e2x−2e2x=2(e2x−e2x)，
当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增，
所以x=1是f(x)的极小值点，所以D正确．
故选：BCD.
根据f(−1)=e−2−1<0，可判定A错误；根据题意，转化为g(x)=e2xx2与y=a的图象有3个交点，利用导数求得函数g(x)的单调性与极值，可判定B正确；当a=12时，得到f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，结合f(−1)⋅f(−12)<0，可判定C正确；当a=e2时，得到f′(x)=2(e2x−e2x)，得到函数f(x)的单调性，结合极值点的定义，可判定D正确．
本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于中档题．
12.【答案】5x−y=0
【解析】解：f′(x)=3x2+2 x，
则f′(1)=5，
又f(1)=5，
则f(x)在x=1处的切线方程为y−5=5(x−1)，即5x−y=0.
故答案为：5x−y=0.
求导，可得f′(1)=5，再结合f(1)=5以及点斜式得解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】240
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为4组，有C52=10种分组方法，
②将4名教师全排列，安排到4个组的学生家中家访，有A44=24种情况，
则有10×24=240种不同的家访方案．
故答案为：240.
根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，②将4名教师全排列，安排到4个组的学生家中家访，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】[1e3,+∞)
【解析】解：由aex+2≥lnxa−2，得ex+lna+2≥lnx−lna−2，
即ex+lna+2+x+lna+2≥elnx+lnx，
设f(x)=ex+x，则f′(x)=ex+1>0，
所以f(x)在R上单调递增，
所以f(x+lna+2)≥f(lnx)，
即x+lna+2≥lnx，
所以lna≥lnx−x−2，
设g(x)=lnx−x−2，x∈(0,e],
则g′(x)=1x−1=1−xx，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1,e]时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(1)=−3，
所以lna≥−3，则a≥1e3，
所以实数a的取值范围为[1e3,+∞).
故答案为：[1e3,+∞).
原不等式可转化为ex+lna+2+x+lna+2≥elnx+lnx，设f(x)=ex+x，则f(x+lna+2)≥f(lnx)，结合函数f(x)的单调性，进一步可得lna≥lnx−x−2，令g(x)=lnx−x−2，x∈(0,e],求出函数g(x)在(0,e]上的最大值即可得解．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，关键是将原问题转化为lna≥lnx−x−2，属于中档题．
15.【答案】解：(1)(1+2x)5(1−3x)4的展开式中含x3的项为：1×C43(−3x)3+C512x⋅C42(−3x)2+C52(2x)2C41(−3x)+C53(2x)3×1=32x3；
(2)①令x=1得：36=a0+a1+a2+a3+⋯+a12①，
令x=−1得：1=a0−a1+a2−a3+⋯+a12②①+②得：36+1=2(a0+a2+⋯+a12)，
得：a0+a2+⋯+a12=365；
②对(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12等式两边分别求导得：
6(1+x+x2)5(2x+1)=a1+2a2x+3a3x2+⋯+12a12x11，
令x=1得：6×36=a1+2a2+3a3+⋯+12a12，
即：a1+2a2+3a3+⋯+12a12=4374.
【解析】(1)利用二项式定理求出展开式中含x2项的系数；
(2)直接利用二项式的展开式，赋值法和函数的求导的应用求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，赋值法，函数的求导，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：∵平面ABC⊥平面ACC1A1，BC⊂平面ABC，
平面ABC∩平面ACC1A1=AC，∠ACB=90∘，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1C，
∵BC//B1C1，∴B1C1⊥A1C，
∵AC=AA1，∴四边形ACC1A1为菱形，
∴AC1⊥A1C，
∵B1C1∩AC1=C1，B1C1，AC1⊂平面AB1C1，
∴A1C⊥平面AB1C1，
又AB1⊂平面AB1C1，
∴A1C⊥AB1
(2)解：VA1−ABC=VB−AA1C=13S△ACA1⋅h，
由(1)知h=BC，
∴13S△ACA1×1= 33，
∴S△ACA1= 3，
∴12AC⋅AA1sin∠A1AC= 3，
∴sin∠A1AC= 32，
∵∠A1AC为锐角，
∴∠A1AC=60∘，
取A1C1中点D1，则CD1⊥A1C1，
以C为原点，以CA、CB、CD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．如图所示：
则A(2,0,0)，C1(−1,0, 3)，B(0,1,0)，A1(1,0, 3)，B1C1=BC=(0,−1,0)，
CC1=AA1=(−1,0, 3)，
设平面B1C1C的法向量为m=(x,y,z)，
则−x+ 3z=0−y=0，取x= 3，则y=0，z=1，
∴m=( 3,0,0)，
由(1)知，A1C为平面AB1C1的法向量A1C=(−1,0,− 3)，
∴|cs|=2 32×2= 32，
∴平面AB1C1与平面B1C1C的夹角为30∘.
【解析】(1)由平面ABC⊥平面ACC1A1，得出BC⊥平面ACC1A1，进而得出A1C⊥平面AB1C1，即可得证：
(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面B1C1C与平面AB1C1的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线线垂直的判定以及向量法的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：由anan+3=an+13(n∈N*)，a1=1，
两边取倒数，可得3an+1=3an+1，
即1an+1−1an=13，
则{1an}是首项为1，公差为13的等差数列，
可得1an=1+13(n−1)=13(n+2)，
即an=3n+2；
(2)由(12)n<3k+2≤(12)n−1，得3⋅2n−1−2≤k<3⋅2n−2，n∈N*，
∵3⋅2n−2−(3⋅2n−1−2)=3⋅2n−1，
∴满足不等式的正整数k的个数为3⋅2n−1，
∴bn=3⋅2n−1，bnan=3⋅2n−1⋅n+23=(n+2)⋅2n−1，
Sn=3⋅20+4⋅21+5⋅22+⋯+(n+2)⋅2n−1①，
2Sn=3⋅21+4⋅22+5⋅23+⋯+(n+2)⋅2n②，
①-②得：−Sn=3+21+22+⋯+2n−1−(n+2)⋅2n
=3+2(1−2n−1)1−2−(n+2)⋅2n=1−(n+1)⋅2n，
∴Sn=(n+1)⋅2n−1.
【解析】(1)对已知数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
(2)求得bn=3⋅2n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)不妨设M(x,y)，
因为动点M到点F(2,0)的距离与到直线l：x=3的距离之比为 63，
所以 (x−2)2+y2|3−x|= 63
对等式两边同时平方得x2−4x+4+y2x2−6x+9=23，
整理得x26+y22=1，
则动点M的轨迹C的方程为x26+y22=1；
(2)易知直线PQ的斜率存在且不为0，
不妨设直线PQ的方程为y=k(x−4)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x26+y24=1y=k(x−4)，消去y并整理得(1+3k2)x2−24k2x+48k2−6=0，
此时Δ=(−24k2)2−4(1+3k2)(48k2−6)>0，
解得− 55由韦达定理得x1+x2=24k21+3k2，x1x2=48k2−61+3k2，
若Q在直线PR的右侧，
此时S△AQR=S△APR−S△PQR=12|PR|⋅(4−x2)，
若Q在直线PR的左侧，
此时S△AQR=S△APR+S△QPR=12|PR|⋅(4−x1+x1−x2)=12|PR|(4−x2)，
所以S△AQR=12|PR|(4−x2)=|y1|(4−x2)=|k(x1−4)|(4−x2)，
因为4−x2>0，
所以S△AQR=|k(x1−4)(4−x2)|=|k[4(x1+x2)−x1x2−16]|
=|k(96k21+3k2−48k2−61+3k2−16)|=10|k|1+3k2=101|k|+3|k|，
因为0<|k|< 55，
所以1|k|+3|k|>8 55，
则0故△AQR面积的取值范围为(0,5 54).
【解析】(1)由题意，设M(x,y)，根据题目所给信息列出等式，进而可得动点M的轨迹C的方程；
(2)设出直线PQ的方程和P，Q两点的坐标，将直线PQ方程与轨迹C的方程联立，利用根与系数的关系，对点Q在直线PR的哪一侧进行分析，得到三角形面积的表达式，进而即可求解．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)k(x)=x+1−aln(x+1)，其定义域为(−1,+∞)，
则k′(x)=1−ax+1=x+1−ax+1，
当a−1>−1即a>0时，由k′(x)>0可得x>a−1，由k′(x)<0可得−1∴f(x)在(a−1,+∞)上单调递增，在(−1,a−1)上单调递减，
当a−1≤−1即a≤0时，k′(x)≥0恒成立，k(x)单调递增，
综上所述，a>0时，k(x)的增区间为(a−1,+∞)，减区间为(−1,a−1)；a≤0时，k(x)的增区间(−1,+∞)；
(2)由题意可知，f(x)−g(x)=2ex+aln(x+1)−2−sinx≥0恒成立，x∈[0,π]，
令m(x)=2ex+aln(x+1)−2−sinx，则m(0)=0，
所以当x∈[0,π]时，m(x)≥m(0)恒成立，
由于m′(x)=2ex+ax+1−csx，x∈[0,π]，
(ⅰ)当a≥0时，m′(x)≥2ex−1>0，函数y=m(x)在[0,π]上单调递增，
所以m(x)≥m(0)=0，在区间[0,π]上恒成立，符合题意；
(ⅱ)当a<0时，m′(x)在[0,π]上单调递增，m′(0)=2+a−1=1+a，
①当1+a≥0，即−1≤a<0时，m′(x)≥m′(0)=1+a≥0，
函数y=m(x)在[0,π]上单调递增，
所以m(x)≥m(0)=0在[0,π]上恒成立，符合题意；
②当1+a<0，即a<−1时，m′(0)=1+a<0，m′(π)=2eπ+aπ+1+1，
若m′(π)≤0，即a≤−(π+1)(2eπ+1)时，m′(x)在(0,π)上恒小于0，
则m(x)在(0,π)上单调递减，m(x)若m′(π)>0，即−(π+1)(2eπ+1)所以当x∈(0,x0)时，m′(x)<0，则m(x)在(0,x0)上单调递减，
则m(x)综上所述，a的取值范围是[−1,+∞).
【解析】(1)k(x)=x+1−aln(x+1)，其定义域为(−1,+∞)，求出导函数k′(x)，对a−1的范围分情况讨论，根据k′(x)的正负，即可得到k(x)的单调性；
(2)由题意可知，f(x)−g(x)=2ex+aln(x+1)−2−sinx≥0恒成立，x∈[0,π]，令m(x)=2ex+aln(x+1)−2−sinx，则m(0)=0，所以当x∈[0,π]时，m(x)≥m(0)恒成立，讨论a的正负，得到m(x)的单调性，进而求出a的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于中档题．