湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷

这是一份湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量: 120 分钟 满分: 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣lnx≤0},B=x∣2x≤2 ,则 “ x∈A ” 是 “ x∈B ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 若虚数单位 i 是关于 x 的方程 ax3+bx2+2x+1=0a、b∈R 的一个根,则 a+bi=
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
3. 已知 F 是抛物线 C:x2=4y 的焦点,点 M 在 C 上,且 M 的纵坐标为 3,则 MF=
A. 22 B. 23 C. 3 D. 4
4. 已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 t,−1 ,若 csα =55 ,则 tanα+π4=
A. -3 B. −13 C. 13 D. 3
5. 下图是一个圆台的侧面展开图,已知 BA=12,BD=6 且 ∠ABC=120∘ ,则该圆台的体积为
A. 1122π B. 723πC. 2823π D. 11223π
6. 已知不等式 3x2−y2>0 所表示的平面区域内一点 Px,y 到直线
y=3x 和直线 y=−3x 的垂线段分别为 PA、PB ,若 △PAB 的面积为 3316 ,则点 P 轨迹的一个焦点坐标可以是
A. 2,0 B. 3,0C. 0,2 D. 0,3
7. 函数 Fx 的定义域为 M ,若存在正实数 m ,对任意的 x∈M ,都有 Fx−F−x≤2m , 则称函数 Fx 具有性质 P2m . 已知函数 φx=lg24x+2−x 具有性质 P2k ,则 k 的最 小值为
A. 2B. 1 C. 12 D. 14
8. 已知数列 an 满足递推关系 an+1=an+λn≤52λann≥6 (其中 λ 为正常数, n∈N∗ ,且 a1+a7=1 . a2+a6=0 . 若等式 an⋅an+1⋅an+2=an+an+1+an+2 成立,则正整数 n 的所有可能取值之和为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的是
A. 公式 S=4πR2 中的 S 和 R 不具有线性相关关系
B. 已知变量 X、Y 的 n 对数据为 x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn ,则回归直线 Y=bX+a 可 以不经过点 x,y ,其中 x=1nx1+x2+⋯+xn,y=1ny1+y2+⋯+yn
C. 若相关系数 r 的绝对值越接近 1,则两个变量的线性相关性越强
D. 对于变量 A 与 B 的统计量 χ2 来说, χ2 越大,判断 “ A 与 B 有关系” 的把握越大
10. 已知圆 C:x+22+y2=4 ,直线 l:m+1x+2y−1+m=0m∈R ,则
A. 直线 l 恒过定点 −1,1
B. 当 m=0 时,圆 C 上恰有三个点到直线 l 的距离等于 1
C. 直线 l 与圆 C 可能相切
D. 若圆 C 与圆 x2+y2−2x+8y+a=0 恰有三条公切线,则 a=8
11. 约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体(包括 13 种阿基米德多面体、无穷多种侧 棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱)以外, 所有由正多边形面组成的凸多面 体. 其中, 由正多边形面构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体, 台塔, 又叫帐塔、平 顶塔, 是指在两个平行的多边形(其中一个的边数是另一个的两倍)之间加入三角形和四 边形所组成的多面体. 各个面为正多边形的台塔, 包括正三、四、五角台塔. 如图是所 有棱长均为 1 的正三角台塔 ABC−DEFGHI ,则
A. 该台塔共有 15 条棱B. AH// 平面 BIDC
C. 该台塔高为 33D. 该台塔外接球的体积为 4π3
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. y−2x−34 的展开式中含 x3y 项的系数为___.
13. 平面向量 a、b、c 满足: a⊥c,⟨a,b⟩=π3,⟨b,c⟩=π6 ,且 a=c=3,b=2 , 则 a+b+c= ___.
14. 已知函数 y=fx ,任取 t∈R ,定义集合 At={y∣y=fx ,点 Pt,ft、Qx,fx 满足 ∣PQ ≤2 . 设 Mt、mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 ℎt=Mt−mt ,试解答 以下问题:
(1) 若函数 fx=x2 ,则 ℎ0= ___;
(2) 若函数 fx=sinπ2x ,则 ℎt 的最小正周期为___.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. (13 分)
记 i=1nxi=x1+x2+x3+⋯+xn,i=1nxi=x1⋅x2⋅x3⋯⋅xn,n∈N∗ ,已知数列 an 和 bn 分别满足.
i=1nai=n2, i=1nbi=3n2+n.
(1) 求 an、bn 的通项公式;
(2) 求 i=1naibi .
16. (15 分)
开展中小学生课后服务, 是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展, 制定了两套工作方案, 为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表:
假设用频率估计概率, 且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1) 从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽
取 1 人,设 X 为抽出两人中女生的个数,求 X 的分布列与数学期望;
(2) 在(1)中, Y 表示抽出两人中男生的个数,试判断方差 DX 与 DY 的大小.
17. (15 分)
如图,在四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD ,底面 ABCD 是矩形, PA=2AD=4 ,且 PC=26 ,点 E 为 PC 的中点.
(1) 求证: BD⊥ 平面 PAC ;
(2) 求直线 PC 与平面 AED 所成的角的正弦值.
18. (17 分)
已知函数 fx=ax−lnxx,a>0 .
(1) 若 fx 存在零点,求 a 的取值范围;
(2) 若 x1、x2 为 fx 的零点,且 x12 .
19. (17 分)
已知椭圆 C:x2a12+y2b12=1a1>b1>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,B 为上顶点,离心率 为 12 ,直线 BF2 与圆 4x2+4y2−3=0 相切.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 椭圆方程 Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,平面上有一点 Px0,y0 . 定义直线方程 l:x0xa2+y0yb2
=1 是椭圆 Γ 在点 Px0,y0 处的极线.
① 若 Px0,y0 在椭圆 C 上,证明: 椭圆 C 在点 P 处的极线就是过点 P 的切线;
② 若过点 P−4,0 分别作椭圆 C 的两条切线和一条割线,切点为 X、Y ,割线交椭 圆 C 于 M、N 两点,过点 M、N 分别作椭圆 C 的两条切线,且相交于点 Q . 证明: Q、X、Y 三点共线.
长沙市周南中学 2024 届高三第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 答案: A
解析: 由不等式 lnx≤0 ,解得: 00 所表示的平面区域内一点 Px,y , 可得点 P 的轨迹为直线 y=±3x 之间并且包括 x 轴 在内的区域.
∴PA⋅PB=3x−y2⋅3x+y2=3x2−y24 ,
∵△PAB 的面积为 3316, ∴S△PAB=12PA⋅PBsin60∘=3163x2−y2=3316 ,
即 P 点轨迹方程为 x21−y23=1 . ∴ 焦点坐标为 2,0 .
7. 答案: C
解析: 因为 φx−φ−x=lg24x+2−lg24x+2−2x=lg24x+22⋅4x+1,x∈R
而 lg24x+22⋅4x+1=lg212×2⋅4x+42⋅4x+1=lg212+34x+1+2∈−1,1 ,
所以 φx−φ−x0,∴λ=1 . ∴ 数列 an 为: −3,−2,−1,0,1,2,4,8,⋯ ,
∵−3×−2×−1=−3−2−1 ,
∴ 当 n=1 时,等式 an⋅an+1⋅an+2=an+an+1+an+2 成立;
∵−1×0×1=−1+0+1 ,
∴ 当 n=3 时,等式 an⋅an+1⋅an+2=an+an+1+an+2 成立.
当 n≠1 且 n≠3 时,等式不成立,
∴ 正整数 n 的所有可能取值之和为 4 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 答案: ACD
解析: A 选项,公式 S=4πR2 中的 S 和 R 为二次函数关系,故不具有线性相关关系,A 正确;
B 选项,回归直线 Y=bX+a 一定经过样本中心点,即 x,y,B 错误;
C 选项,若相关系数 r 的绝对值越接近 1,则两个变量的线性相关性越强, C 正确
D 选项,对于变量 A 与 B 的统计量 χ2 来说, χ2 越大,判断“ A 与 B 有关系”的把握越 大, D 正确.
10. 答案: AD
解析: 对于 A 选项,直线 l:m+1x+2y−1+m=0m∈R ,所以 mx+1+x+2y−1=0
令 x+1=0x+2y−1=0 ,解得 x=−1y=1 ,所以直线恒过定点 −1,1 ,故 A 选项正确
对于 B 选项,当 m=0 时,直线 l 为: x+2y−1=0 ,
则圆心 C−2,0 到直线 l 的距离为 d=−2+0−112+22=355,2−3550 ,令 g′x=0 ,可得 x=2a2a ,
当 x∈0,2a2a 时, g′x0,gx 单调递增, ……5 分
则 gx 的最小值为 g2a2a=12−ln2a2a=121+ln2a, g1=a>0 ,
要使得 gx=ax2−lnx 存在零点,则 g2a2a=121+ln2a≤0 ,
即 1+ln2a≤0 ,得 a∈0,12e ……8 分
由 x1,x2 为 fx 的零点,得 fx1=fx2=0 ,即 gx1=gx2=0 ,即 ax12−lnx1=0,ax22−lnx2=0,
两式相减得 ax12−x22−lnx1−lnx2=0 ,即 a=lnx1−lnx2x1−x2x1+x2 . ……11 分
要证当 02 ,
只需证 lnx1x2