宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷

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理科数学试题卷
( 银川一中第四次模拟考试 )
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则的虚部为
A． B． C． D．
2．已知集合，，则的子集的个数为
A．3B．4C．8D．16
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是
A．，都有最小值B．，都有最大值
C．，都无最小值D．，都无最大值
5．如图，在直角梯形中，，为边
上一点，，为的中点，则＝
A．B．
C．D．
6．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，
通过类比的方法，若在空间中，点到平面的距离为4，则
满足条件的实数m的所有的值之和为
A．-1B．1C．2D．3
7．如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，
该点落在扇形内的概率为
A．B．
C．D．
8．银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这
种计算利息的方式叫做复利．现在有某企业进行技术改造，方案如下：一次性贷款10
万元投入生产，贷款期限为10年，银行贷款利息均以年息10%的复利计算，到期一次
性归还本息；第一年便可获得利润1万元，以后每年比前一年增加40%（参考数据：
，），则此方案可获得净利润为（ ）万元
A．16.7B．25.9C．33.8D．43.9
9．如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不
同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF
与△ACF的面积之比是
A． B． QUOTE |BF|2-1|AF|2-1
C． D． QUOTE |BF|2+1|AF|2+1
10．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为
A．B．C．D．
11．已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A．B．或C．或D．或
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则 .
14．在△ABC中，，则最大角的余弦值为 .
15．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
16．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个
正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七
面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
三、解答题
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）
已知函数．
(1)求的对称轴；
(2)若方程在区间上恰有两个解，求的取值范围．
18．（12分）
已知四棱锥中，，ABBC，，
，，
(1)求证：
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
19．（12分）
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
20．（12分）
已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值．
21．（12分）
给出以下三个材料：
①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，
即，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；
(2)比较（1）中与的大小；
(3)证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标．
(1)将曲线的参数方程化为普通方程；
(2)过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．