宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三第四次模拟考试理科数学试题

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填空题
13.13 14. 15.， 16.3ln2－2
三、解答题
17.【答案】(1)偏矮率为，正常率为，偏高率为，超高率为
(2)调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好
【详解】（1）调整前，
偏矮率为，
正常率为，
偏高率为，
超高率为．
（2）由（1）知，调整前，
身高指数平均得分为；
调整后，偏高率为，
超高率为，
身高指数平均得分为，
由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，
说明学校采取的措施效果好．
18.解：(1)∵bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－1)－eq \f(1,an－1)
＝eq \f(1,2－\f(1,an)－1)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(an,an－1)－eq \f(1,an－1)＝1，
∴数列{bn}是公差为1的等差数列．
(2)由题意可得b22＝b1b4，即(b1＋1)2＝b1(b1＋3)，
解得b1＝1，∴bn＝n，
∴Sn＝eq \f(n（n＋1）,2)，∴eq \f(1,Sn)＝eq \f(2,n（n＋1）)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，
∴Tn＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,n＋1)))＝eq \f(2n,n＋1).
19.【答案】(1)平面，证明见解析 (2)
【分析】（1）取的中点，连接交于点，连接，先证明四边形是平行四边形，从而证得，再利用线面平行的判定定理，即可得出结果；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数的基本关系即可得平面与平面所成二面角的正弦值．
【详解】（1）平面，证明如下：
解法一 如图，取的中点，连接交于点，连接，
平行四边形中，分别为的中点，则，，
则四边形为平行四边形，得，，
则为的中点，有，，
为的中点，则，，
所以，，四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
解法二 如图，取的中点，连接，
因为是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为分别为的中点，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面．
又，平面，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）连接，因为，为的中点，所以．
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
则，
则，．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得.
设平面与平面所成二面角的大小为，
则，
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
20.【详解】（1）由
则
又，所以即；
（2）由（1）可知
设
则，
则当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，，
又，，
所以在上无零点，在上有一个零点；
从而在上有1个零点.
21【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）
【详解】（1）由题意得，，
设，则，化简整理得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）（i）设，
联立，整理得，
则，得，
且，同理，
设的中点分别为，则，
由题意可知存在实数，使，
所以三点共线，即点在定直线上；
（ii）由（i）得，
，
同理，设的底边上的高为，梯形的高为，
则由相似比得，
解得
，
所以的面积
，
又，所以
，
整理得，所以，
即.
22.【答案】(1) (2)3
【详解】（1）由曲线的参数方程为(为参数)，
消去参数，可得普通方程为,
即，
将代入可得曲线的极坐标
方程为，
设点的极坐标为，点的极坐标为，
因为，又，,所以，
所以，所以曲线的极坐标方程为;
（2）由题意，，由图可得
，
当时，可得的最小值为.
23.【答案】(1)2 (2)
【详解】（1）解法一
因为，，且，所以，，
所以，
当时，取得最小值2．
解法二
由柯西不等式得，
所以，当且仅当，
即，时取等号，故的最小值为2．
（2）解法一
，
当且仅当时等号成立，
故不等式恒成立，
即，
由基本不等式得，
当且仅当，时等号成立，
所以，所以，解得或，
故实数c的取值范围是．
解法二
，
当且仅当时等号成立，
故不等式恒成立，
即，
由柯西不等式得，
即，
当且仅当，时取等号，所以，解得或，
故实数c的取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
C
C
C
B
D
A
B
D
A