2024年湖南省永州市中考二模数学试题（学生版+教师版）

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1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1. 下列各数中最小的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 2024年五一假期，我国铁路发送旅客累计达亿人次，数据亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
5. “明天下雨的概率为”，下列对这句话的理解正确的是（ ）
A. 明天一定下雨B. 明天一定不下雨
C. 明天80%的地方下雨D. 明天下雨的可能性很大
6. 2024年6月15日起，武广高铁全线将平均提速．动车提速后行驶与提速前行驶所用时间相同．设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在永州市中考体育测试中，某校10名考生的中长跑测试得分依次为：19，18，16，19，17，18，16，20，17，19．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 18，19B. 19，18C. 19，19D. 19，17.5
8. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
10. 己知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_____________．
12. 因式分解：__．
13. 一个等腰三角形顶角为，则它的底角度数为________．
14. 化简：______．
15. 如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是_______．

16. 道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆弧形，桥的跨径所在弦，拱高，则拱所在圆的半径为______m．
17. 将一个半径长为，面积为的扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面积为_____．（用含的代数式表示）
18. 如图，在矩形中，，点E，F分别是边上的动点，且，当最大时， ______．

三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19. 计算：．
20 先化简，再求值：，其中．
21. 某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具，若购进甲种毛绒玩具3个和乙种毛绒玩具2个共需310元；若购进甲种毛绒玩具5个和乙种毛绒玩具6个共需730元．
（1）求购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？
（2）若该礼品店每销售1个甲种毛绒玩具可获利15元，每销售一个乙种毛绒玩具可获利20元，且该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种毛绒玩具最多购进多少个？
22. 如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23. 4月23日是世界读书日，学校开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如下图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：
（1）填空：____， _____；
（2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍概率．
24. 在初中物理中我们学过凸透镜成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．
（1）若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度；
（2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
25. 如图，四边形内接于直径为10的圆O，与交于点E，且，．
（1）若，求；
（2）证明：；
（3）若，求四边形的面积．
26. 定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数x叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题：
（1）求出反比例函数的不动点值；
（2）若二次函数有和两个不动点值．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，记，求的取值范围；
③若该二次函数图象与轴交于点M，过点M作分别交抛物线于A，B两点．（点A在轴左侧），试探究直线否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由．