2024年山西省晋中市平遥县中考二模数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
2. 2023年9月，第十九届亚运会在我国杭州举办．下面是历届亚运会的会徽和图标，其中的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；”进行判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；”可知是中心对称图形的是：C，
故选：C
3. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ）

A 传B. 承C. 文D. 化
【答案】D
【解析】
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“红”字相对的面上的汉字是“化”．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
4. 在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，如图（见解析），先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】：如图，由题意可知，，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴，
∴，
故选：D．
5. 中国人民银行2月9日发布的金融数据报告显示，2024年1月份我国人民币贷款增加万亿元，同比多增亿元，数据万亿用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万亿=，
故选：B．
6. 伟大的古希腊物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（ ）
A. 2B. 1C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得到动力臂的取值范围．
【详解】阻力和阻力臂的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴阻力和阻力臂的函数关系式为，
∴，
∴，
∴当时，，
∴小明想使动力不超过，则动力臂，
故选：C．
7. 如图，在矩形中，，过对角线的交点O作，交于点E，交于点F，则的长是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证明是的垂直平分线是解题的关键．连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出DE=BE，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
故选：B．
8. 为贯彻教育部《新课程方案》及相关文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．由各班班长随机抽取两张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、西红柿、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，不放回，再抽取一张，则他恰好抽中都是蔬菜类卡片的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式直接计算即可．
【详解】∵卡片共6张，其中蔬菜类卡片有4张，
∴恰好抽中蔬菜类卡片的概率是．
故选：A．
9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长-绳长=1，据此可以列方程求解；
【详解】设绳子长x尺，木长y尺，
依题意可得：，
故选：C
【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解．
10. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：作垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，

由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的运算，利用单项式乘多项式的运算法则计算得出答案．
【详解】，
故答案为：．
12. 住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键；由题意可在图中作出坐标系，然后问题可求解．
【详解】解：由骑手A点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系：
∴小明家点的坐标为；
故答案为．
13. 如图，在矩形中，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点O，连接，根据矩形的性质可求的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，有最大值，即．
【详解】如图，取中点O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点F是中点，点O是的中点，
∴，
∴，
∵点O是的斜边的中点，
∴，
∵根据三角形三边关系可得：，
∴当点O，点E，点F共线时，最大，最大值为．
故答案为：．
14. 省城太原金桥公园是一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大的音乐喷泉，喷泉喷出水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，轴左侧喷泉可用表示，则两个喷泉最高点之间的距离是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出的顶点坐标，再根据对称性求解即可．
【详解】∵，
∴轴左侧喷泉最高点坐标为，
∵两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，
∴轴右侧喷泉最高点坐标为，
∴两个喷泉最高点之间的距离是，
故答案为52．
15. 如图，等边中，、分别在边上，沿直线折叠，使点落在边上的处，则＝____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明，由相似三角形的性质得出，由可得，，设，，则，，代入可得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【详解】∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
设，，则，
∵沿直线折叠，使点落在边上的处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由可得，代入可得
解得
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组：，并确定此不等式组的整数解．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算、解一元一次不等式组．
（1）先计算立方根、锐角三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】（1）原式=；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
17. 如图，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）点的横坐标为3，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，求的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为：；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入得，则A点坐标为，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先把代入直线表达式求出点C坐标，再将代入反比例函数表达式求出D点坐标,根据可求出答案．
【小问1详解】
解：将代入得，
点坐标为，
点A在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：将代入一次函数得，
即点C的坐标为，
将代入反比例函数得，
即D点坐标为
，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键．
18. 为了了解我县市民“获取新闻的主要途径”，八年级五班开展了一次调查，设计如下调查问卷进行了抽样调查（参与问卷调查的市民只能从表格的五类中选择一类），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 人，若我县约有50万人，请估计选择“电视获取新闻”的人数约为 人．
（2）扇形统计图中，扇形的圆心角度数是 ，并补全条形统计图．
（3）当代青少年应关注时事新闻，请你针对青少年获取新闻的主要途径提出一些建议．
【答案】（1）2000；万
（2），统计图见详解
（3）青少年对手机和电视比较感兴趣，可以适当的增加手机和电视上新闻数量，让当代青少年应关注时事新闻（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
（1）根据电脑上网的人数除以电脑上网所占的百分比可得本次接受调查的市民总数，根据选择“电视获取新闻”的百分比估计总人数即可；
（2）用乘以人数所占比例，可得答案；用总人数乘可得的人数，即可补全图形；
（3）根据统计图中的数据，提出合适的建议即可．
【小问1详解】
本次接受调查的市民共有（人），
（万人），
故答案为：2000；万．
【小问2详解】
扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 ，
选D类的人数为（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：；
【小问3详解】
建议：青少年对手机和电视比较感兴趣，可以适当的增加手机和电视上新闻数量，让当代青少年应关注时事新闻（答案不唯一）．
19. 2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．航模店看准商机，分别购进一批“嫦娥”模型和“天宫”模型，已知“天宫”模型的数量比“嫦娥”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“嫦娥”模型成本少20%．若商家购进两种模型都是花费320元，请你计算“嫦娥”和“天宫”模型的成本各多少元？
【答案】“嫦娥”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设“嫦娥”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元，根据“天宫”模型的数量比“嫦娥”模型多4个列方程求解即可．
【详解】设“嫦娥”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元．
由题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解．
∴，
答：“嫦娥”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元．
20. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， AB与墙壁的夹角，喷出的水流BC与AB形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据： ）．
【答案】安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【解析】
【分析】过B作于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】过点B作于点G，延长EC、GB交于点F，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
21. 阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率与电阻函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识，（表示电压为定值6V，表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
第四步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
（1）上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A.数形结合 B.类比思想 C.分类讨论 D.方程思想
（2）你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式；
（3）在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
（4）请直接写出：若想大于30W，的取值范围．
【答案】（1）A （2），第五组数据是错误的
（3）详见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）根据上面日记中，数据分析过程即可得到答案；
（2）由和可得关于的函数表达式为，在代入数据即可判断第几组数据是错误的；
（3）先描点，在用平滑的曲线连起来即可；
（4）若想大于30W，则，解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：上面日记中，数据分析过程，利用函数图象来观察功率与电阻的关系，主要运用的数学思想是数形结合；
故答案为：A；
【小问2详解】
解：由和可得关于的函数表达式为，
，
，
当时，不在函数表达式上，
时，是明显错误的；P关于R的函数表达式是：；
【小问3详解】
解：在该坐标系中描出表中前4组数据对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点，作出此函数的图象如图所示：
【小问4详解】
解：若想大于30W，即，
则，且，
则的取值范围．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意求出反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质，采用数形结合的思想，是解题的关键．
22. 综合与实践
问题情境：如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作，的垂线，分别与，所在直线交于点．
数学思考：（1）线段和的数量关系 ；
问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值；
问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点为的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】（1）（2）（3）或
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由“”可证，由全等三角形的性质得出；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案；
（3）过点作于，于点，证出，，由（2）进行分类讨论，第一种是；第二种是，分别结合，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，
【详解】解：（1），过程如下：
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（3）当时，如图所示：
∵
∴
∵
∴
∵，
，
∵
∴在中，
∴
则
∴
∵
∴
解得
∵
∴；
当时，过点作于，于点，
为的中点，
，
，，
∥，
，
，
同理可得，
由（2）知，
，
，
，
．
综上：或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
23. 综合与探究
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴另一个交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点，使点到直线的距离最大，求出点的坐标及点到直线的距离最大值；
（3）在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与面积相等？若存在，请直接写出符合的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点的坐标为，点到直线的距离最大值为
（3）或
【解析】
【分析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数中的线段最值、二次函数面积问题．
（1）由直线、两点的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）首先设，过点P作交于，轴交于点，交轴于点，即可表示出的长，根据当点到直线的距离最大时面积最大，计算最大值即可；
（3）作交轴于，作关于点的对称点，再作，则与抛物线的交点即为所求点．
【小问1详解】
∵直线与轴交于点，与轴交于点，．
∴点，．
∵抛物线经过、两点，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式是；
【小问2详解】
过点P作交于，轴交于点，交轴于点，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，此时
∴点的坐标为，点到直线的距离最大值为；
【小问3详解】
作交轴于，作关于点的对称点，再作，则直线到的距离等于直线到的距离，
∵以点、、为顶点的三角形与面积相等，
∴与抛物线的交点即为所求点，
∵直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴，
∵，关于点的对称点，
∴，
∵，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴或．类别
A
B
C
D
E
获取新闻途径
电脑上网
手机上网
电视
报纸
其他
...
5
10
15
20
25
...
...
7.2
36
2.4
1.8
1.6
...