河南省新乡市卫辉市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、完全平方差公式、平方差公式及幂的乘方运算逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，运算错误，不符合题意；
B、，运算错误，不符合题意；
C、，运算正确，符合题意；
D、，运算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查整式混合运算，涉及合并同类项、完全平方差公式、平方差公式及幂的乘方运算等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键．
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3. 黄河是中华民族的母亲河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，长度约为5464000米，请将数据5464000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：根据科学记数法要求5464000的5后面有6位数，从而用科学记数法表示为，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
4. 如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（ ）

A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解∶∵的中点分别为，
∴是的中位线，
∴米，
故选∶B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5. 定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（ ）
A. ﹣4B. 4C. ﹣2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，再利用方程有两个相等的正实数解，所以m＝4，则a*b＝a（4﹣b）．利用新定义得到b（4﹣b）＝a（4﹣a），然后整理后利用因式分解得到（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，从而得到a+b的值．
【详解】解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×4＝0，
解得m1＝4，m2＝﹣4，
当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，
∴m＝4，
∴a*b＝a（4﹣b），
∵b*b＝a*a，
∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）
整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，
（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，
而a≠b，
∴a+b﹣4＝0，
即a+b＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式知识，因式分解的知识，仔细弄懂题意，掌握以上知识是解题的关键．
6. 小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题.小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从中随机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率，解题的关键是利用树形图分析出所有等可能结果．
【详解】解：设“招财祥龙”为①，“瑞狮福龙”为②，“龙凤呈祥”为③，“锦鲤旺龙”为④，树形图如下：
共有12种等可能结果，其中同时抽到①③的结果有2次，所以恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为，
故选：D．
7. 如图，的三个顶点均在上，是的直径，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的两锐角互余，连接，由四边形是圆内接四边形得，然后求出，通过圆周角定理得，则，最后通过同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8. 如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解含有的直角三角形，正确使用三角函数是解决本题的关键．
过点A作轴，于点B，构造出含有直角三角形，由，解直角三角形即可．
【详解】解：
过点A作轴，于点B．
当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处，
此时分钟转动了，
∴，
在中，，
∴，，
又∵点A在第一象限，
∴点A坐标．
故选：A．
9. 某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可．
【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得：
，
故选：D．
10. 如图1，在中，点M，N同时从点B出发，点M以的速度沿B→A→D→C匀速运动到点C，点N以1cm/s的速度沿BC匀速运动到点C，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点M的运动路程长为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，当运动时间为时，的面积是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当运动时间为时，M的运动路程 ， ，则其在一次函数图像上，由待定系数法求出一次函数解析式，代入即可求解．
【详解】解：当运动时间为时，M的运动路程为：，
，
此时由图像可知：y与x的函数应为一次函数，
设一次函数解析式为： ，
将 代入得：
，
解得： ，
，
当 时， ，
故的面积是．
故选D．
【点睛】本题考查了函数图像与图形的变化，待定系数法求一次函数解析式，正确理解函数图像与图形之间的联系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个大于1且小于2的无理数：___．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【详解】大于1且小于2的无理数可以是等，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 不等式组的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解出不等式组中的不等式，再由不等式组解集的法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可得到答案，熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为，
故答案为：．
13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质、邻补角、三角形外角性质等知识，先由邻补角定义，再由平行线性质得到中的两个内角，再根据图形中是的一个外角，利用外角性质即可得到答案，熟练掌握平行线性质及外角性质求角度是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
，
一束平行于主光轴的光线，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，且，点M为上一点，以点A为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段，及所围成的阴影部分的面积为______.

【答案】
【解析】
【分析】利用网格线及勾股定理逆定理求得是等腰直角三角形，再利用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接．

根据网格线，可得，，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，且，
∵边与所在的圆相切于点，，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，扇形的面积公式，切线的性质，判断出是解本题的关键．
15. 如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 ______ ．
【答案】或
【解析】
【分析】根据折叠得到线段相等，分类讨论相似的对应边，列方程求解即可得到答案．
详解】解：沿折叠和重合，
，
设，则，
当时，，
，，
∴，
解得：，
则，
当时，，即，
解得：，
则，
故或，
故答案是：或．
【点睛】本题考查折叠的性质及相似三角形对应边成比例，解题的关键是分类讨论列方程．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（）；
（）．
【解析】
【分析】（）按照有理数的乘方，零指数幂、负整数次幂，算术平方根，立方根和化简绝对值法分别计算，最后合并即可；
（）先计算括号内的分式减法运算，再计算分式除法即可；
此题考查了实数混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式=

；
（2）原式
．
17. 4月23日是“世界读书日”，某中学为了解学生的阅读情况，从本校学生中随机抽取了480名学生进行调查，并对调查数据进行了整理，绘制了如下统计图表．
学生每周阅读时间统计表

根据以上信息回答下列问题：
（1）上面的统计表中a＝ ；统计图中m＝ ；
（2）学生个体每周阅读时间的中位数落在第 组；
（3）若该中学共有学生2400人，请估计每周阅读时间不少于70分钟的学生约有多少人？
（4）通过调查可以看出，多数学生每周阅读时间少于90分钟，为了较好的改善这一情况，请你提出两条合理化的建议．
【答案】（1）80；10
（2）4 （3）1900人
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）用样本容量分别减去其他四组的频数可得a的值；用“1”分别减去其他三部分所占百分比可得m的值；
（2）根据中位数的定义即可解答；
（3）用2400乘样本中每周阅读时间不少于70分钟的学生所占比例即可；
（4）根据影响阅读时间的主要原因解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，即．
故答案为：80；10．
小问2详解】
解：由题意得，学生个体每周阅读时间的中位数落在第4组．
故答案为：4．
【小问3详解】
解：（人）．
答：每周阅读时间不少于70分钟的学生约有1900人．
【小问4详解】
解：通过调查可以看出，多数学生每周阅读时间少于90分钟，为了较好的改善这一情况，建议：①增加学校图书数量；②适当增加课外阅读时间．（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查频数分布表、扇形统计图、中位数等知识点，掌握“频率=频数÷总数” 是解题的关键．
18. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点．
（1）求直线和反比例函数图象的表达式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出不等式的的取值范围．
【答案】（1），
（2）6 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案；
（2）根据题意，在平面直角坐标系中，由代入坐标求解即可得到答案；
（3）由函数图象与不等式的关系，数形结合即可得到答案．
【小问1详解】
解：已知直线与反比例函数的图象交于点，
，解得；；
直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为；
【小问2详解】
解：直线与轴交于点，
当时，，即；
过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，
，
，
；
【小问3详解】
解：直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为，
不等式的解集是当反比例函数图象在直线上方时的取值范围，
如图所示：
，
当时，反比例函数的图象在直线的上方，故不等式的的取值范围是．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数确定函数关系式、反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键．
19. 如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点B，底座米，底座与支架所成的角，点H在支架上，篮板底部支架．于点E，已知米， 米，米．
（1）求篮板底部支架与支架所成的的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）大约是2.75米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数；
（1）由可得答案；
（2）延长交的延长线于M，过点A作于G，过点H作于N，据此知中，求得；中，求得；根据可得答案．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
答：篮板底部支架与支架AF所成的的度数为；
【小问2详解】
解：延长交的延长线于M，过点A作于G，则四边形和四边形是矩形，
∴，，
在中，∵，
∴（米）
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
20. 如图，在中，．用直尺和圆规按下列步骤作图：
①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边于点；
②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作射线，交边于点；
④以点为圆心，的长为半径画，交射线于点（点在线段上），连接．
（1）猜想：直线与的位置关系，并说明理由：
（2）求的半径长．
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）如图，过点作于点．由作图可知，是的平分线．则，进而结论得证；
（2）由勾股定理得，由，，可得，即，计算求解即可．
【小问1详解】
解：直线与相切．理由如下：
如图，过点作于点．
由作图可知，是的平分线．
∵，
∴，
又，
∴，
圆心到的距离等于的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：由勾股定理得，
∵，，
∴，即，
解得，
∴的半径长为3．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，切线的判定，勾股定理．熟练掌握作角平分线，角平分线的性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键．
21. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】（1）每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元
（2）当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
【解析】
【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；
（2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案．
【小问1详解】
解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．
根据题意列方程组为：，
解得，
答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元．
【小问2详解】
解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶，
由题意得，
其中，得，
故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为，
答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键．
22. 如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）斜坡上距离O水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
【答案】（1）
（2）3米
【解析】
【分析】（1）题目中告知了抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，又抛物线经过点即可求解顶点式中的，从而求解．
（2）设抛物线向后平移了米，用（1）中的顶点式，表示出新的抛物线解析式，将点坐标代入解析式中，求解即可．
【小问1详解】
解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，
则可设水流形成的抛物线为，
∴将点代入可得，
∴抛物线，
【小问2详解】
解：设喷射架向左水平平移了m米，则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：，
解得或（舍去），
∴喷射架应向左水平移动3米．
【点睛】本题考查了二次函数实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数性质是解题的关键．
23. 问题：如何将物品搬过直角过道?
情境：图1是一直角过道示意图，为直角顶点，过道宽度都是．矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为．
探究：
（1）如图2，已知，小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗?请通过计算说明．
（2）如图3，物品转弯时被卡住（C、B分别在墙面与PR上），若．求OD的长．
（3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值（精确到0.01米，)．
【答案】（1）不赞同，见解析
（2）
（3）物品的最大长度为米
【解析】
【分析】（1）连结OB，根据勾股定理，求出的长，与比较大小，即可求解，
（2）过点作PR的平行线，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解，
（3）根据勾股定理，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解，
本题考查了，勾股定理，锐角三角函数的应用，解题的关键是：充分理解题意正确列式．
【小问1详解】
解：连结OB，
由题知，，
则，
该物品不能顺利通过直角过道，
故答案为：不赞同，
【小问2详解】
解：如图，过点作PR的平行线，交过道两侧分别于点，由题可知，
，
，
，
，
故答案为：
【小问3详解】
解：当时，物品能通过直角过道．
当，则，
同理，，
此时，，
故答案为：物品的最大长度为米．组别
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人数/人
1
50≤x＜60
40
2
60≤x＜70
60
3
70≤x＜80
a
4
80≤x＜90
100
5
90≤x＜100
200
步骤
动作
目标
1
靠边
将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2
推移
矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点О在边AD上
3
旋转
如图2，将矩形ABCD绕点О旋转
4
推移
将矩形ABCD沿OT方向继续推移