辽宁省锦州市黑山县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本题共10个题．每题2分，计20分．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．）
1. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2. 下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案．此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】解：、，
，
故错误；
B、如图：
，
，
，
，
故B正确；
C、，
，
若，可得；
故C错误；
D、若梯形是等腰梯形，可得，
故D错误．
故选：B．
3. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
4. 下列式子可用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的特点对各选项逐一分析判断即可．解题的关键掌握平方差公式分解因式的条件：公式左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方．
【详解】解：A．∵，
∴该式子是用完全平方公式进行计算的，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴该式子是用完全平方公式进行计算的，故此选项不符合题意；
C．∵，
∴该式子是用完全平方公式进行计算的，故此选项不符合题意；
D．∵，
∴该式子是用平方差公式进行计算的，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 如图所示，直线与相交形成了、、、，若要确定这4个角的度数，至少要测量其中的（ ）
A. 1个角B. 2个角C. 3个角D. 4个角
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了对顶角及邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据对顶角及邻补角的定义解答即可．
【详解】解：根据题意可得，，
∴要确定这四个角的度数，至少要测量其中的个角即可，
故选：A ．
6. 如果，，那么的值是（ ）
A 5B. 7C. 9D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：，，
原式，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7. 下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，逐项分析即可求解．
【详解】解：①两点确定一条直线，故①正确；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义,掌握以上知识是解题的关键．
8. 两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A. 同位角B. 同旁内角C. 内错角D. 对顶角
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，
可知它们构成的一对角可以看成是同位角，
故选：A．
9. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（）与下滑的时间（）的关系如下表：
以下结论错误的是（ ）
A. 当时，约2.66秒
B. 随高度增加，下滑时间越来越短
C. 估计当时，一定小于2.56秒
D. 高度每增加，时间就会减少0.24秒
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格的数据，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、由表格可知：当时，约2.66秒，故A选项正确，不符合题意；
B、由表格可知：当由10逐渐增大到50时，的值由3.25逐渐减小到2.56，因此随高度增加，下滑时间越来越短，故B选项正确，不符合题意；
C、由B可知：随高度增加，下滑时间越来越短，且当时，，所以估计当时，一定小于2.56秒，故C选项正确，不符合题意；
D、由表格可知：时间的减少是不均匀的，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．
10. 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为，水位高度变量为，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断．
【详解】解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，
排除，
乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，
排除，
乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
排除，
正确．
故选．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
二、填空题（本题共5个题.每题2分，计10分请将正确的答案填写在横线上.）
11. 计算：________．
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法的逆向运算法则进行计算求解．
【详解】，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法与积的乘方逆运算，掌握运算法则是解题的关键．
12. 据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，此数据用科学记数法表示为_____克．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，注意：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为形式，其中是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等．对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为形式，其中是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等，根据以上内容写出即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则_____．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点O作，根据平行线的性质得出，，根据角的和差可得，最后根据对顶角相等，即可求解．
【详解】解：过点O作，
∵，
，
，，
，
，
∴．
∴．
故答案为：．
14. 如果定义一种新运算，规定 ＝ad﹣bc，请化简： ＝___．
【答案】﹣3．
【解析】
【分析】根据新运算的定义将原式转化成普通的运算，然后进行整式的混合运算即可．
【详解】根据题意得： ＝(x﹣1)(x+3)﹣x(x+2)
＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2﹣2x
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据新运算的定义将新运算转化为普通的运算是解决此题的关键．
15. 探究发现，请观察下列算式：，，，，第个算式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查数字规律及有理数的乘法和加加减法，根据题中所给规律可进行求解，解题的关键是得出算式的一般规律．
【详解】∵，
，
，
，
，
∴第个算式，
故答案为：．
三、解答题（本题共3个题．16题每题4分，17题5分，18题每题4分，计33分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
16. 计算
（1）；
（2）；
（3）（运用整式乘法公式简便计算）；
（4）；
（5）（运用整式乘法公式简便计算）．
【答案】（1）0 （2）4
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算、乘法公式、多项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）按照幂的运算法则和顺序计算即可；
（2）计算乘方、零指数幂和负整数指数幂后计算加减法即可；
（3）变形后利用平方差公式计算即可；
（4）利用多项式除以单项式的法则计算即可；
（5）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
【小问4详解】
小问5详解】
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和合并同类项法则．
先根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则去掉括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行有理数的混合运算即可．
【详解】解：原式，
，
．
当，时，
原式，
，
，
．
18. 计算下图中阴影部分的面积．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形，掌握阴影部分面积的表示方法．
（1）利用大长方形面积减去小长方形的面积可得结果；
（2）利用大半圆的面积减去小半圆的面积可得结果．
【小问1详解】
解：根据题意：阴影部分的面积为：
；
【小问2详解】
解：根据题意：阴影部分的面积为：
．
四、解答题（本题共2个题.19题每题6分，20题6分，计12分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
19. 如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为．
（1）请利用直尺和圆规，过点C画出与平行的另一边．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）设平行四边形的另一个顶点为D，说明的理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—应用与设计，涉及到矩形的性质，平行四边形的判定，平行线的判定等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）作等于，交于即可．
（2）根据作图依据，利用矩形的性质及平行线的性质即可说明．
【详解】解：平行四边形为所求；
（2）解：如图，根据题意，和分别在长方形木板的对边上，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴即为所作．
20. 如图，点P在上，点G在上，已知，平分，交于点E，平分，请说明的理由．
解∶∵（已知）
（______）
∴（_________）
∵平分，
∴______（_________）
∵平分，
∴_____，
∴（等量代换）
∴（_____）
【答案】平角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据同角的补角相等，角平分线平分角，以及内错角相等，两直线平行，进行作答即可．掌握平行线的判定定理，是解题的关键．
【详解】证明：∶∵（已知）
（平角的定义）
∴（同角的补角相等）
∵平分，
∴（角平分线的定义）
∵平分，
∴，
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
五、解答题（本题共1个题.21题6分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
21. 一个周末上午，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：
（1）小张家距离景区______千米，全家人在景区游玩了______小时；
（2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了千米时，试求他加油共用了多少小时？
（3）如果汽车油箱中原来有油升，平均每小时耗油升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？
【答案】（1）200，4.5
（2）他加油共用了小时
（3）小张在加油站至少加升油才能开回家
【解析】
【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．
（1）根据图示，由纵轴可得小张家距离景区的距离，在旅游景点停留的时间可以知道游玩的时间．
（2）根据图象信息，先求出加油后行驶时间，进一步可以得出他加油共用了多少小时．
（3）从图中信息可知，根据回来时的函数可得到家的时间，进一步得到行驶时间，从而得到小张在加油站至少加多少油才能开回家．
【小问1详解】
解：由图示信息可知，小张家距离景区200千米，在景区停留了（小时），所以游玩了4.5小时．
故答案为：200；4.5；
【小问2详解】
解：（千米时）
（小时），
（小时）．
故他加油共用了02小时；
【小问3详解】
解：（小时），
（小时），
（升．
故小张在加油站至少加23升油才能开回家．
六、探究题（本题共2个题.22题9分,23题10分，计19分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
22. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图．
这个图形的面积可以表示成：或，
这就验证了两数和的完全平方公式．

（1）类比解决：
如图，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，将阴影部分拼成了一个长方形．
则①的阴影面积表示为______．
则②的阴影面积表示为______．
由此可以得到的等式是______．
（2）尝试解决：
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？
如图，表示个的正方形，即：，B表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：、、就可以表示个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形．
由此可得：．
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义求：（要求写出结论并构造图形）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：______．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】（1）， ，
（2），图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）类比解决：如图：边长为，的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是，第二个图形的阴影部分的面积是，可以验证平方差公式；
（2）尝试解决：如图，表示一个的正方形，、、表示个的正方形，、、、、表示个的正方形，而、、、、、、、、恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出；
（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，，进一步化简即可．
【小问1详解】
解：图①的阴影部分的面积是，
图②的阴影部分的面积是，
，
故答案为：，，，
【小问2详解】
如图，表示个的正方形，即；
表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，
因此：、、就可以表示个的正方形，即：；
与，与和可以表示个的正方形，即；
而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形，
由此可得：；
【小问3详解】
由上面表示几何图形的面积探究可知，，
又，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．
23. 如图1，，E，F分别是上的点，点G在之间，连接．用等式表示与的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想：．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
如图1，过点G作，由，可得，根据平行线的性质，可得，从而证得．
请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题：
已知，E，F分别是上的点，点G在之间，连接．
（1）如图2，若，求的度数．
（2）如图3，与的平分线交于点Q，用等式表示和的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，与的平分线交于点Q，直接用等式表示和的数量关系．（四边形内角和为）
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）如图，过点G作，易得，再证明，求解 ，从而可得答案；
（2）由（1）同理可得：，再证明，从而可得答案；
（3）由（1）同理可得： 再证明 从而可得结论．
【小问1详解】
解：如图，过点G作，
，，
，
，
．
，，

；
【小问2详解】
解：由（1）同理可得：
与的平分线交于点，

；
【小问3详解】
解：由（1）同理可得：

与的平分线交于点，


．支撑物高
10
20
30
40
50
…
下滑时间
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…