初中数学第三章 勾股定理3.1 勾股定理课堂检测

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【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
【题型4 作无理数的线段】
【题型5 勾股定理的证明】
【题型1已知直角的两边长，求第三边长】
1．（2023春•齐齐哈尔期中）直角三角形两直角边边长分别为3cm和4cm，则斜边长为（ ）
A．5cmB．3cmC．4cmD．10cm
【答案】A
【解答】解：∵直角三角形两直角边边长分别为3cm和4cm，
∴斜边长为，
故选：A．
2．（2023春•肇源县月考）一直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三边的长的平方为（ ）
A．169B．49C．169或49D．169或119
【答案】D
【解答】解：设第三边为x，
（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122＝x2，
∴x2＝169；
（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2＝122，
∴x2＝119；
∴第三边的长为169或119．
故选：D．
3．（2023春•临澧县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解答】解：根据含30°角的直角三角形的性质可知：，
故选：A．
4．（2023春•睢县期中）如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】A
【解答】解：∵∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵∠B＝90°，BC＝3，
∴AB＝＝＝4，
故选：A．
5．（2023春•邢台期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，，D是AC的中点，连接BD，则BD的长度为（ ）
​
A．B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，，
∴AC＝＝＝4，
∵点D为AC的中点，
∴线段BD是斜边AC上的中线，
∴BD＝AC＝2．
故选：B．
6．（2023春•岳阳楼区期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABO中，∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC＝＝＝2，
故选：D．
7．（2023春•增城区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，则BC的长为（ ）
​
A．3B．4C．5D．
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
故选：B．
【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
8．（2023春•和平区校级期中）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母B所代表的正方形的边长是（ ）
A．12cmB．15cmC．144cmD．306cm
【答案】A
【解答】解：在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF2+EF2＝DE2，
∴字母B所代表的正方形的面积＝EF2＝DE2﹣DF2＝225﹣81＝144（cm2），
∴字母B所代表的正方形的边长＝12cm，
故选：A．
9．（2023春•宣化区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．14B．34C．58D．72
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+62＝45，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝58，
故选：C．
10．（2023春•金安区期中）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（ ）
A．17.5B．20C．D．28
【答案】C
【解答】解；如图，过A作AD⊥BC，垂足为D．
设BD＝x，则CD＝5﹣x，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2+BD2＝AC2+CD2，
∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2
，∴x＝4，
∴AD＝＝＝4．
∴S△ABC＝BC•AD＝×5×4＝10．
故选：C．
11．（2023春•信阳期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7B．8C．11D．10
【答案】C
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．
故选：C．
12．（2023•西安三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，AC边上中线BE交AD于点O，则△BCE的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝3，
Rt△ABD中，，
∴，
∵BE是AC边上的中线，
∴△BCE的面积＝S△ABC＝．
故选：A．
13．（2023春•大连期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）
​
A．B．C．12D．24
【答案】D
【解答】解：如图，
∵正方形B，C的面积分别为6，18，
∴DF2＝6，EF2＝18，
∵∠DFE＝90°，
∴DE2＝DF2+EF2＝6+18＝24，
∴正方形A的面积＝DE2＝24，
故选：D．
14．（2022秋•东明县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB，AB＝，CB＝4，则△ABD的面积为（ ）
A．6B．7C．10D．9
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝，CB＝4，
∴AC＝＝＝8，
设AD＝x，则CD＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AD＝5，
∴S△ABD＝＝＝10，
故选：C．
15．（2023春•福清市期中）如图，分别以Rt△ABC的边AB，AC，BC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝6，则S1+S2+S3的值为（ ）
A．18B．15C．12D．9
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
S1＝AB2＝6，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1＝6，
∴S1+S2+S3的值为12，
故选：C．
16．（2023春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
​
A．8B．16C．18D．20
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝20．
故选：D．
17．（2023春•市北区期中）如图，∠ACB＝90°，将Rt△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到△A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的面积为（ ）
A．14cm2B．16cm2C．18cm2D．20cm2
【答案】A
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），
∵AA′＝BB′＝5cm，
∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝（AA′+CB′）•AC＝（5+2）×4＝14（cm2）．
故选：A．
18．（2023春•肇源县月考）在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，那么△ABC的周长为（ ）
A．32或33B．42或33C．32或42D．33或31
【答案】C
【解答】解：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，
∴AD＝＝＝9，
BD＝＝＝5，
如图1，CD在△ABC内部时，AB＝AD+BD＝9+5＝14，
此时，△ABC的周长＝14+13+15＝42，
如图2，CD在△ABC外部时，AB＝AD﹣BD＝9﹣5＝4，
此时，△ABC的周长＝4+13+15＝32，
综上所述，△ABC的周长为32或42．
故选：C．
19．（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，
∴AD＝DE，
在Rt△BAD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL），
∴BA＝BE＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC＝＝＝4，
∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6．
故选：A．
20．（2023•盱眙县模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若，BC＝12，则△ABE的周长为 18 ．
【答案】18．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，
∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，
∵BC＝12，
∴，
∴△ABE的周长为，
故答案为：18．
21．（2023春•昆明期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．
【答案】+24．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝3，
∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝×3×3+×6×8
＝+24．
22．（2023春•朝阳区校级期中）在四边形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，，求四边形ABCD的面积．
【答案】．
【解答】解：延长AD，与BC的延长线于点E，
∵∠DCB＝135°，∠ADC＝90°，
∴∠DCE＝45°，∠EDC＝90°，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴DE＝DC，
∵BC＝1，，
∴DE＝，
∴CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝1+2＝3，
∵∠B＝90°，∠E＝45°，
∴∠A＝∠E＝45°，
∴AB＝BE＝3，
∴S四边形ABCD＝S△EAB﹣S△EDC
＝
＝
＝
＝．
23．（2022秋•苏州期末）计算图中四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝CD2﹣AD2＝132﹣122＝52．
则在直角△ABC中，由勾股定理知：AB2＝AC2﹣BC2＝52﹣42＝32．
所以AB＝3．
所以S四边形ABCD的＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+＝+＝6+30＝36．
即四边形ABCD的面积是36．
24．（2022秋•张店区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，CD是斜边AB上高．
（1）求△ABC的面积；
（2）求斜边AB；
（3）求高CD．
【答案】（1）6；（2）5；（3）．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝×AC×BC＝×3×4＝6．
故△ABC的面积是6；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5；
（3）∵×AC×BC＝×CD×AB，
∴×3×4＝×5×CD，
解得CD＝．
故高CD的长为．
25．（2022秋•南宫市期末）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE．
（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数．
（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．
【答案】（1）34°；（2）17cm．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE，
∴AE＝AB＝EC，
∴∠CAE＝∠C，
∵∠BAE＝44°，
∴，
∴．
（2）由（1）知：EC＝AE＝AB，
∵DE＝BD．
∴AB+BD＝EC+DE＝DC，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）．
答：△ABC的周长为17cm．
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
26．（2023春•西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（ ）
A．B．C．6D．13
【答案】A
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为＝13，
∵三角形的面积＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高），
∴h＝．
故选：A．
27．（2023春•河东区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．5B．C．D．2
【答案】C
【解答】解：在RT△ABC中，AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，AC＝3，BC＝4，
∴CD＝．
故选：C．
28．（2023•宜阳县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点D为垂足，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．1.2
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴，
∵BD⊥AC，
∴，
∴，
∴BD＝2.4．
故选：B．
29．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为AB边上的高．
（1）求斜边AB的长；
（2）求CD的长．
【答案】（1）10；
（2）4.8．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，
∴6×8＝10×CD，
∴CD＝4.8．
30．（2023春•靖西市期中）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6．
（1）求AB的长；
（2）求斜边上的高CD的长．
【答案】（1）10；
（2）．
【解答】解：（1）由勾股定理得：；
（2）Rt△ABC中，
∵CD为斜边AB上的高，
∴△ABC的面积＝，
∴AB×CD＝AC×BC，
∴．
31．（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．
（1）若CD＝6，则AD＝ 8 ，BD＝ 15 ；
（2）若BC＝20，求CD的长．
【答案】（1）8，15；
（2）CD＝．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴BD＝＝＝15．
故答案为：8，15；
（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，
∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，
∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，
解得x＝，
∴CD＝．
32．（2023春•福山区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长；
（3）求AB边上的高CD的长．
【答案】（1）4；
（2）2；
（3）．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴Rt△ABC的面积＝AC•BC＝（）（）＝4；
（2）∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝＝2；
（3）∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝＝，
故AB边上的高CD的长为．
【题型4 作无理数的线段】
33．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（ ）
A．1B．1﹣C．﹣1D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，AC＝＝，
∴AE＝AC＝，
∴点E表示的数是﹣1+＝﹣1，
故选：C．
34．如图所示，数轴上点A所表示的数为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：由勾股定理，得图中直角三角形的斜边长为＝，
∴数轴上点A所表示的数为﹣1．
故答案为：﹣1．
35．如图所示，点C表示的数是 ．
【答案】．
【解答】解：根据勾股定理得：AB＝，AD＝，
∴OC＝，
故答案为：．
36．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵BC＝＝，
则AB＝BC＝，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
37．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OC＝3，BC＝1，
∴BO＝＝＝，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
∴数轴上点A表示的数是﹣；
故答案为：﹣．
38．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；
．
【题型5 勾股定理的证明】
39．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，
∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
40．（2021秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148B．100C．196D．144
【答案】A
【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，
∴BD＝25，
∴AD+BD＝12+25＝37，
∴这个风车的外围周长是37×4＝148．
故选：A．
41．（2022春•河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（ ）
A．10+B．10+C．10+D．24
【答案】A
【解答】解：根据题意得：c2＝a2+b2＝100，4×ab＝100﹣20＝80，即2ab＝80，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100+80＝180，
∴每个直角三角形的周长为10+＝10+6，
故选：A．
42．（2023春•朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示a2+b2正确的是（ ）
A．4S1+S21B．4S1﹣S2C．4S1D．4S1+S2
【答案】D
【解答】解：∵直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，
∴，（a﹣b）2＝S2，
∴ab＝2S1，a2﹣2ab+b2＝S2，
∴，
∴a2+b2＝S2+4S1
故选：D．
43．（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．
44．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，
∴a2+b2＝c2．
45．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；