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初中数学第二章 轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形课后练习题
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这是一份初中数学第二章 轴对称图形2.1 轴对称与轴对称图形课后练习题，文件包含专题06等边三角形五大类型原卷版docx、专题06等边三角形五大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
【题型1等边三角形的性质】
【题型2 等边三角形的判定】
【题型3等边三角形的判定与性质】
【题型4 含30°角的直角三角形的性质】
【题型5 直角三角形斜边上中线定理】
【题型1等边三角形的性质】
1．（2023•淮阳区校级三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．65°B．45°C．40°D．35°
【答案】D
【解答】解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3＝60°﹣∠1＝60°﹣25°＝35°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠3＝35°．
故选：D．
2．（2022秋•历下区期末）如图，在△ABC中，D，E是边BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．105°B．120°C．130°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
故选：B．
3．（2022秋•河北区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，若BD＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∵BD＝3，
∴AB＝6，
故选：C．
4．（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
5．（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
6．（2022秋•阳城县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD＝1，则DE的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵CE＝CD＝1，
∴∠E＝∠CDE，
∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴，∠BDC＝90°，
∴BC＝2CD＝2，
∴，
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠DBE＝∠E＝30°，
∴．
故答案为：．
7．（2022秋•林州市校级期末）如图，△ABC为等边三角形，P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，若∠APB＝104°，则∠ADP的度数是 68° ．
【答案】68°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∵∠APB＝104°，
∴∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝16°，
∴∠PAD＝∠BAC﹣∠BAP＝44°，
∵AD＝AP，
∴∠APD＝∠ADP，
∴∠ADP＝（180°﹣∠PAD）＝68°．
故答案为：68°．
8．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3的大小为 60 （度）．
【答案】60．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠APC＝∠2+∠3＝∠1+∠B，
又∠1＝∠2，
∴∠3＝∠B＝60°，
故答案为：60．
9．（2022秋•东宝区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．当∠BQD＝30°时，AP的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2．
故答案为：2．
10．（2023春•东莞市月考）已知等边三角形的边长为6 cm，则它的面积为 9 cm2．
【答案】9．
【解答】解：根据等边三角形的性质三线合一，
∴它的高为：＝3，
∴等边三角形的面积＝3×6＝9（cm2）．
故答案为：9．
11．（2023•十堰一模）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 20 cm．
【答案】20．
【解答】解：连接AB．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA＝20cm．
故答案为：20．
12．（2023春•高新区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM＝2，则DE+DF＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BC边上的高线AM＝2，
∴AB＝BC＝AC＝，
设BD＝x，则CD＝﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴ED＝sin60°•BD，即ED＝x，
同理可证：DF＝（﹣x）＝2﹣x，
∴DE+DF＝x+2﹣x＝2；
故答案为2．
【题型2 等边三角形的判定】
13．（2022秋•望花区校级期末）若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的是（ ）
A．这个三角形是钝角三角形
B．这个三角形是直角三角形
C．这个三角形是等边三角形
D．不存在这样的三角形
【答案】C
【解答】解：∵最小内角为60°，
∴该三角形的最大角不能大于60°，否则最小的角将不是60°，
∴最大角为60°，
∴三角形三个角均是60°，
∴这个三角形是等边三角形
故选：C．
14．（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形
【答案】D
【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．
故选：D．
15．（2022秋•南平期末）如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明见解析部分．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
16．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°．求证：△ADC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DC＝DB，∠B＝30°
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝60°，
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形．
17．（2022秋•德城区校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【答案】（1）当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
18．（2022春•府谷县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，AE⊥AC交BC于点E．求证：△ADE是等边三角形．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，
∴∠EAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
19．（2022秋•吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
20．（2022秋•阳江期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠ABC＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝90°，
∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝115°．
（2）证明：∵∠ABE＝30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∵BD＝DC，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
【题型3等边三角形的判定与性质】
21．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）80°．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝120°，
∴∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，
∵AE⊥BC，，
∴∠AEC＝90°
∴∠C+∠CAE＝90°．
∵∠CAE＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝∠C＝60°，
∴AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形；
（2）由（1）得：∠C＝60°，
∵△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
22．（2022春•西安期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
【答案】20海里．
【解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），
∵CD∥BE，
∴∠1＝∠CBE＝40°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20海里，
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．
23．（2022春•和平县期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝3，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CDE为等边三角形；
（2）求EF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
（2）∵△EDC是等边三角形，
∴DE＝DC＝3，
在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝3，
∴DF＝2DE＝6，
∴EF＝＝3．
24．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
25．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
26．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
27．（2023春•长安区期中）如图所示，等边△ABC中，点D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，EF交BC于点F，AE＝2cm．求证：
（1）△EFC是等边三角形；
（2）求△EFC的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）18cm．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝2cm，
∴AD＝2AE＝4cm，
∵点D是AB的中点，
∴AB＝2AD＝8cm，
∴AC＝AB＝8cm，
∴CE＝AC﹣AE＝6cm，
∵△EFC是等边三角形，
∴△EFC的周长＝CF+CE+EF＝3CE＝18cm．
【题型4 含30°角的直角三角形的性质】
28．（2023•宝鸡模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC上一点，CD＝AD＝4，则BD的长为（ ）
A．8B．7C．6D．10
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝2×4＝8．
故选：A．
29．（2023•大同模拟）将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，∠EFG＝90°，EG＝2FG，∠1＝73°，则∠2的度数为（ ）
A．73°B．77°C．83°D．88°
【答案】B
【解答】解：EF交BC于M，EG交CB于N，
∵∠EFG＝90°，EG＝2FG，
∴sinE＝＝，
∴∠E＝30°，
∵∠MNE＝∠1＝73°，
∴∠NME＝180°﹣∠E﹣∠MNE＝77°，
∴∠2＝∠NME＝77°．
故选：B．
30．（2023•西安二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）
A．1B．C．3D．6
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BC＝6，点D为BC的中点，
∴AD＝CD＝BD＝BC＝3，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE⊥BC于点E，
∴DE＝BD＝．
故选：B．
31．（2023春•高新区校级期中）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC放在一个直尺上，直角边AC，BC，斜边AB与直尺的两边分别交于点N，D，E和M．已知△BDE是等边三角形，∠A＝30°，若AN＝6，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：过点M作MG⊥AN于G，
∵∠A＝30°，
∵△BDE是等边三角形，DE∥MN，
∴∠BED＝∠EMN＝60°，
又∠EMN＝∠A+∠ANM＝60°，∠A＝30°，
∴∠ANM＝∠A＝30°，
∴AM＝MN，
∵MG⊥AN，
∴，
∴，
故选：D．
32．（2022秋•湟中区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝12，则AD的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∴BC＝6，
∴BC＝2BD＝6，
∴BD＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝12﹣3＝9．
故选：D．
33．（2022秋•洛阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边BC上，且∠ADC＝60°，BC＝9，则BD的长度是（ ）
A．3B．4C．6D．7
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝9，
∴CD+2CD＝9，
∴CD＝3，
∴BD＝6，
故选：C．
34．（2022秋•贵池区期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝30°，
∴，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，
故选：C．
35．（2022秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，若BD＝1，则AD＝（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，
∴∠CDB＝90°，∠A＝∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝4，
∴AD＝4﹣1＝3；
故选：C．
36．（2022秋•永川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴CD＝BD＝AD，
∵AC＝6，
∴3CD＝6，
∴CD＝2．
故选：B．
37．（2022秋•长沙期末）如图，△ABC是等边三角形，D点是BC的中点，延长AB到E，使BE＝BD，若∠BED＝30°，则∠ADE＝ 120 度．
【答案】120．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠DEB＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°+30°＝120°
故答案为：120．
38．（2022秋•西岗区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是 30° ．
【答案】30°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
由作图可知AD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
39．（2023春•西安月考）如图，已知∠AOB＝60°，点C在边OA上，OC＝14，点D，E在边OB上，CD＝CE，若DE＝6，求OD的长．
【答案】4．
【解答】解：如图，作CH⊥OB于H，
∵CD＝CE，CH⊥DE，
∴DH＝HE＝＝3，
在Rt△OCH中，OC＝14，∠O＝60°，
∴∠OCH＝30°，
∴OH＝OC＝7，
∴OD＝OH﹣DH＝7﹣3＝4．
40．（2023春•宣化区期中）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠B＝30°．
（1）求△ABC的面积．
（2）若P是边AB上的一点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，得到图2，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变，求出PD+PE的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）△ABC的面积为4；
（2）移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，PD+PE的值为2．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵AC＝BC＝4，AF⊥BC，
∴AB＝2AF，
在Rt△BCF中，∠B＝30°，
∴CF＝BC＝2，BF＝CF＝2，
∴AB＝2BF＝4，
∴△ABC的面积＝AB•CF
＝×4×2
＝4，
∴△ABC的面积为4；
（2）移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，
连接CP，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴△ACP的面积+△BCP的面积＝△ABC的面积，
∴AC•PD+BC•PE＝4，
∴×4•PD+×4•PE＝4，
∴PD+PE＝2，
∴移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，PD+PE的值为2．
【题型5 直角三角形斜边上中线定理】
41．（2023春•魏都区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝28°．则∠BDC的度数为（ ）
A．26°B．52°C．56°D．64°
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠DCA＝∠A＝28°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝56°，
故选：C．
32．（2023春•涟源市月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于点D，交BA的延长线于点E，若∠E＝33°，求∠BDA的度数．
【答案】66°．
【解答】解：∵∠E＝33°，ED⊥BC，
∴∠B＝57°，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝57°，
∴∠BDA＝180°﹣57°﹣57°＝66°．
43．（2022秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）求证：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）25．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形．
又∵点E是BD的中点，
∴，
又∵，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE．
又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C．
（2）证明：由（1）可得AE＝AC，
又∵，
∴，
∴BD＝2AC．
（3）解：在Rt△ABD中，
∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，
∴AB＝，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．
44．（2022秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴DE⊥CF；
（2）∵DC＝DF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∴∠B＝2∠BCF．
45．（2023春•黄陂区期中）如图所示，一根长2.5米的木棍AB，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P．此时木棍A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行．
（1）木棍在滑动的过程中，线段OP的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求OP的长；
（2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；
OP＝AB＝1.25米；
（2）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝1.5m，
∴OD＝2.4，
则由勾股定理得：CO＝＝0.7m，OA＝＝2m，
∴AC＝1.3m，
答：那么木棍的顶端A沿墙下滑1.3m．
46．（2023春•阳山县期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接DE．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AE＝EB，
∴DE＝EB＝EA，
∵DG⊥EC，EG＝GC，
∴DE＝CD，
∴DC＝BE．
（2）设∠BCE＝x．
∵EB＝DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝x，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2x，
∵∠AEC＝∠EBD+∠ECD，
∴66°＝3x，
∴x＝22°，
∴∠BCE＝22°．
47．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，EG⊥AD于G，AG＝DG．
（1）求证：CD＝AE；
（2）已知CD＝5，AC＝11，求△ADC的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）△ADC的面积为22．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴DE＝DC＝BC，
∵EG⊥AD，AG＝DG，
∴EG是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∴CD＝AE；
（2）解：由（1）可得：AE＝CD＝5，BC＝2CD＝10，
∵AC＝11，
∴EC＝AC﹣AE＝6，
在Rt△BEC中，BE＝＝＝8，
∴△ABC的面积＝AC•BE＝×11×8＝44，
∵点D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积＝22，
∴△ADC的面积为22．
48．（2022秋•西湖区校级期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，连接MB、MD．
（1）求证：BM＝MD．
（2）若∠BAD＝30°，求证：△MBD是等边三角形．
【答案】（1）见详解；
（2）见详解．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC，△ADC是直角三角形，斜边均为AC，
∵M是AC的中点，
∴，，
∴BM＝MD；
（2）∵BM＝AM，DM＝AM，
∴∠ABM＝∠BAM，∠ADM＝∠DAM，
∵∠ABM+∠BAM＝∠BMC，∠ADM+∠DAM＝∠DMC，
∴2∠BAM＝∠BMC，2∠DAM＝∠DMC，
∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BMD＝2∠BAD＝60°，
∵BM＝MD，
∴△MBD是等边三角形．
【题型1等边三角形的性质】
【题型2 等边三角形的判定】
【题型3等边三角形的判定与性质】
【题型4 含30°角的直角三角形的性质】
【题型5 直角三角形斜边上中线定理】
【题型1等边三角形的性质】
1．（2023•淮阳区校级三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．65°B．45°C．40°D．35°
【答案】D
【解答】解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3＝60°﹣∠1＝60°﹣25°＝35°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠3＝35°．
故选：D．
2．（2022秋•历下区期末）如图，在△ABC中，D，E是边BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．105°B．120°C．130°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
故选：B．
3．（2022秋•河北区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，若BD＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∵BD＝3，
∴AB＝6，
故选：C．
4．（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
5．（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
6．（2022秋•阳城县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD＝1，则DE的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵CE＝CD＝1，
∴∠E＝∠CDE，
∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴，∠BDC＝90°，
∴BC＝2CD＝2，
∴，
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠DBE＝∠E＝30°，
∴．
故答案为：．
7．（2022秋•林州市校级期末）如图，△ABC为等边三角形，P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，若∠APB＝104°，则∠ADP的度数是 68° ．
【答案】68°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∵∠APB＝104°，
∴∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝16°，
∴∠PAD＝∠BAC﹣∠BAP＝44°，
∵AD＝AP，
∴∠APD＝∠ADP，
∴∠ADP＝（180°﹣∠PAD）＝68°．
故答案为：68°．
8．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3的大小为 60 （度）．
【答案】60．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠APC＝∠2+∠3＝∠1+∠B，
又∠1＝∠2，
∴∠3＝∠B＝60°，
故答案为：60．
9．（2022秋•东宝区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．当∠BQD＝30°时，AP的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2．
故答案为：2．
10．（2023春•东莞市月考）已知等边三角形的边长为6 cm，则它的面积为 9 cm2．
【答案】9．
【解答】解：根据等边三角形的性质三线合一，
∴它的高为：＝3，
∴等边三角形的面积＝3×6＝9（cm2）．
故答案为：9．
11．（2023•十堰一模）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 20 cm．
【答案】20．
【解答】解：连接AB．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA＝20cm．
故答案为：20．
12．（2023春•高新区校级期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM＝2，则DE+DF＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BC边上的高线AM＝2，
∴AB＝BC＝AC＝，
设BD＝x，则CD＝﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴ED＝sin60°•BD，即ED＝x，
同理可证：DF＝（﹣x）＝2﹣x，
∴DE+DF＝x+2﹣x＝2；
故答案为2．
【题型2 等边三角形的判定】
13．（2022秋•望花区校级期末）若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的是（ ）
A．这个三角形是钝角三角形
B．这个三角形是直角三角形
C．这个三角形是等边三角形
D．不存在这样的三角形
【答案】C
【解答】解：∵最小内角为60°，
∴该三角形的最大角不能大于60°，否则最小的角将不是60°，
∴最大角为60°，
∴三角形三个角均是60°，
∴这个三角形是等边三角形
故选：C．
14．（2023春•漳州期中）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形
【答案】D
【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．
故选：D．
15．（2022秋•南平期末）如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明见解析部分．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
16．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°．求证：△ADC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DC＝DB，∠B＝30°
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝60°，
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形．
17．（2022秋•德城区校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【答案】（1）当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
18．（2022春•府谷县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，AE⊥AC交BC于点E．求证：△ADE是等边三角形．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，
∴∠EAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
19．（2022秋•吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
20．（2022秋•阳江期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠ABC＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝90°，
∴∠AFB＝∠FBD+∠BDF＝115°．
（2）证明：∵∠ABE＝30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∵BD＝DC，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
【题型3等边三角形的判定与性质】
21．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）80°．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝120°，
∴∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，
∵AE⊥BC，，
∴∠AEC＝90°
∴∠C+∠CAE＝90°．
∵∠CAE＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝∠C＝60°，
∴AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形；
（2）由（1）得：∠C＝60°，
∵△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
22．（2022春•西安期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
【答案】20海里．
【解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），
∵CD∥BE，
∴∠1＝∠CBE＝40°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20海里，
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．
23．（2022春•和平县期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝3，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△CDE为等边三角形；
（2）求EF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
（2）∵△EDC是等边三角形，
∴DE＝DC＝3，
在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝3，
∴DF＝2DE＝6，
∴EF＝＝3．
24．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
25．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
26．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
27．（2023春•长安区期中）如图所示，等边△ABC中，点D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，EF交BC于点F，AE＝2cm．求证：
（1）△EFC是等边三角形；
（2）求△EFC的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）18cm．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝2cm，
∴AD＝2AE＝4cm，
∵点D是AB的中点，
∴AB＝2AD＝8cm，
∴AC＝AB＝8cm，
∴CE＝AC﹣AE＝6cm，
∵△EFC是等边三角形，
∴△EFC的周长＝CF+CE+EF＝3CE＝18cm．
【题型4 含30°角的直角三角形的性质】
28．（2023•宝鸡模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC上一点，CD＝AD＝4，则BD的长为（ ）
A．8B．7C．6D．10
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝2×4＝8．
故选：A．
29．（2023•大同模拟）将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，∠EFG＝90°，EG＝2FG，∠1＝73°，则∠2的度数为（ ）
A．73°B．77°C．83°D．88°
【答案】B
【解答】解：EF交BC于M，EG交CB于N，
∵∠EFG＝90°，EG＝2FG，
∴sinE＝＝，
∴∠E＝30°，
∵∠MNE＝∠1＝73°，
∴∠NME＝180°﹣∠E﹣∠MNE＝77°，
∴∠2＝∠NME＝77°．
故选：B．
30．（2023•西安二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）
A．1B．C．3D．6
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BC＝6，点D为BC的中点，
∴AD＝CD＝BD＝BC＝3，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE⊥BC于点E，
∴DE＝BD＝．
故选：B．
31．（2023春•高新区校级期中）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC放在一个直尺上，直角边AC，BC，斜边AB与直尺的两边分别交于点N，D，E和M．已知△BDE是等边三角形，∠A＝30°，若AN＝6，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：过点M作MG⊥AN于G，
∵∠A＝30°，
∵△BDE是等边三角形，DE∥MN，
∴∠BED＝∠EMN＝60°，
又∠EMN＝∠A+∠ANM＝60°，∠A＝30°，
∴∠ANM＝∠A＝30°，
∴AM＝MN，
∵MG⊥AN，
∴，
∴，
故选：D．
32．（2022秋•湟中区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝12，则AD的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∴BC＝6，
∴BC＝2BD＝6，
∴BD＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝12﹣3＝9．
故选：D．
33．（2022秋•洛阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边BC上，且∠ADC＝60°，BC＝9，则BD的长度是（ ）
A．3B．4C．6D．7
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝9，
∴CD+2CD＝9，
∴CD＝3，
∴BD＝6，
故选：C．
34．（2022秋•贵池区期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝30°，
∴，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，
故选：C．
35．（2022秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，若BD＝1，则AD＝（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，
∴∠CDB＝90°，∠A＝∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝4，
∴AD＝4﹣1＝3；
故选：C．
36．（2022秋•永川区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴CD＝BD＝AD，
∵AC＝6，
∴3CD＝6，
∴CD＝2．
故选：B．
37．（2022秋•长沙期末）如图，△ABC是等边三角形，D点是BC的中点，延长AB到E，使BE＝BD，若∠BED＝30°，则∠ADE＝ 120 度．
【答案】120．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠DEB＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°+30°＝120°
故答案为：120．
38．（2022秋•西岗区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是 30° ．
【答案】30°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
由作图可知AD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
39．（2023春•西安月考）如图，已知∠AOB＝60°，点C在边OA上，OC＝14，点D，E在边OB上，CD＝CE，若DE＝6，求OD的长．
【答案】4．
【解答】解：如图，作CH⊥OB于H，
∵CD＝CE，CH⊥DE，
∴DH＝HE＝＝3，
在Rt△OCH中，OC＝14，∠O＝60°，
∴∠OCH＝30°，
∴OH＝OC＝7，
∴OD＝OH﹣DH＝7﹣3＝4．
40．（2023春•宣化区期中）如图1，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠B＝30°．
（1）求△ABC的面积．
（2）若P是边AB上的一点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，得到图2，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变，求出PD+PE的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）△ABC的面积为4；
（2）移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，PD+PE的值为2．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵AC＝BC＝4，AF⊥BC，
∴AB＝2AF，
在Rt△BCF中，∠B＝30°，
∴CF＝BC＝2，BF＝CF＝2，
∴AB＝2BF＝4，
∴△ABC的面积＝AB•CF
＝×4×2
＝4，
∴△ABC的面积为4；
（2）移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，
连接CP，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴△ACP的面积+△BCP的面积＝△ABC的面积，
∴AC•PD+BC•PE＝4，
∴×4•PD+×4•PE＝4，
∴PD+PE＝2，
∴移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，PD+PE的值为2．
【题型5 直角三角形斜边上中线定理】
41．（2023春•魏都区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝28°．则∠BDC的度数为（ ）
A．26°B．52°C．56°D．64°
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠DCA＝∠A＝28°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝56°，
故选：C．
32．（2023春•涟源市月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于点D，交BA的延长线于点E，若∠E＝33°，求∠BDA的度数．
【答案】66°．
【解答】解：∵∠E＝33°，ED⊥BC，
∴∠B＝57°，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝57°，
∴∠BDA＝180°﹣57°﹣57°＝66°．
43．（2022秋•大名县期末）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC＝∠C；
（2）求证：BD＝2AC；
（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析；
（3）25．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形．
又∵点E是BD的中点，
∴，
又∵，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE．
又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C．
（2）证明：由（1）可得AE＝AC，
又∵，
∴，
∴BD＝2AC．
（3）解：在Rt△ABD中，
∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，
∴AB＝，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．
44．（2022秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴DE⊥CF；
（2）∵DC＝DF，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∴∠B＝2∠BCF．
45．（2023春•黄陂区期中）如图所示，一根长2.5米的木棍AB，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P．此时木棍A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行．
（1）木棍在滑动的过程中，线段OP的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求OP的长；
（2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；
OP＝AB＝1.25米；
（2）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝1.5m，
∴OD＝2.4，
则由勾股定理得：CO＝＝0.7m，OA＝＝2m，
∴AC＝1.3m，
答：那么木棍的顶端A沿墙下滑1.3m．
46．（2023春•阳山县期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接DE．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AE＝EB，
∴DE＝EB＝EA，
∵DG⊥EC，EG＝GC，
∴DE＝CD，
∴DC＝BE．
（2）设∠BCE＝x．
∵EB＝DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝x，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2x，
∵∠AEC＝∠EBD+∠ECD，
∴66°＝3x，
∴x＝22°，
∴∠BCE＝22°．
47．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，EG⊥AD于G，AG＝DG．
（1）求证：CD＝AE；
（2）已知CD＝5，AC＝11，求△ADC的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）△ADC的面积为22．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴DE＝DC＝BC，
∵EG⊥AD，AG＝DG，
∴EG是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∴CD＝AE；
（2）解：由（1）可得：AE＝CD＝5，BC＝2CD＝10，
∵AC＝11，
∴EC＝AC﹣AE＝6，
在Rt△BEC中，BE＝＝＝8，
∴△ABC的面积＝AC•BE＝×11×8＝44，
∵点D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABC的面积＝22，
∴△ADC的面积为22．
48．（2022秋•西湖区校级期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，连接MB、MD．
（1）求证：BM＝MD．
（2）若∠BAD＝30°，求证：△MBD是等边三角形．
【答案】（1）见详解；
（2）见详解．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC，△ADC是直角三角形，斜边均为AC，
∵M是AC的中点，
∴，，
∴BM＝MD；
（2）∵BM＝AM，DM＝AM，
∴∠ABM＝∠BAM，∠ADM＝∠DAM，
∵∠ABM+∠BAM＝∠BMC，∠ADM+∠DAM＝∠DMC，
∴2∠BAM＝∠BMC，2∠DAM＝∠DMC，
∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BMD＝2∠BAD＝60°，
∵BM＝MD，
∴△MBD是等边三角形．
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