苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性课时作业

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1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.
4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
知识点1 等腰三角形的概念与性质
等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【题型1：等腰三角形的性质】
【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A．18cmB．19cmC．23cmD．19cm或23cm
【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8B．6C．4D．8或6
【变式1-3】（海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．8cm或6cm
【典例2】（崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．71°C．74°D．76°
【变式2-1】（祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【变式2-2】（浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【典例3】（河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【变式3-1】（铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．
（1）求证：∠ADB＝∠BAC；
（2）求∠B的度数．
【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【题型2：等腰三角形的判定】
【典例5】（河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【变式5-1】（肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【变式6-1】（西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-2】（河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【题型3：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，
分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．
【变式7-1】（集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【变式7-2】（长垣市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【变式7-3】（2022春•雁塔区校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．
1．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．70°B．100°C．110°D．140°
2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．32°B．58°C．74°D．75°
3．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
4．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ）
A．23°B．25°C．27°D．30°
6．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（ ）
A．39°B．40°C．49°D．51°
7．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
8．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
1．（2023•武威一模）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°C．100°D．130°
2．（2023春•广西期末）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（ ）
A．22B．29C．37D．29或37
3．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．∠B＝∠CC．AD平分∠BACD．AB＝BC
4．（2023•碑林区一模）已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．65°
C．50°或65°D．50°或80°或65°
5．（2022秋•天元区校级期末）等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则其腰长为（ ）
A．5cmB．5cm或7.5cmC．7.5cmD．以上都不对
6．（2023•蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（2022秋•巴州区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（2023•西湖区校级二模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是△ABC的平分线，DE∥BC，则∠BDE的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
9．（2022秋•辉县市校级期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②④⑤D．②④⑤
10．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 度．
11．（2023•新疆）如图，在△ABC 中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝ °．
12．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 ．
13．（2023•沙依巴克区模拟）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组，则此等腰三角形的周长为 ．
14．（2022秋•岳阳期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．
15．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
16．（2022秋•沙依巴克区校级期末）在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
17．（2022秋•天元区校级期末）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．