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数学4.2 等可能条件下的概率（一）课后练习题
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这是一份数学4.2 等可能条件下的概率（一）课后练习题，文件包含专题01概率十大类型题型专练原卷版docx、专题01概率十大类型题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
【题型1 可能性的大小】
【题型2 概率公式的计算】
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
【题型6 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】
【考题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
【题型10 几何概率】
【题型1 可能性的大小】
1．（2023春•泰山区期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是（ ）
A．小于3的点数B．大于3的点数
C．小于5的点数D．大于5的点数
【答案】C
【解答】解：A、P1＝＝；
B、P2＝＝；
C、P3＝＝；
D、P4＝．
骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点．
故选：C．
2．（2023春•临淄区期中）在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（ ）
A．摸到红球B．摸到黄球C．摸到白球D．摸到蓝球
【答案】D
【解答】解：总计有球：1+2+3+6＝12（个），
则摸到红球的概率为：，
则摸到白球的概率为：，
则摸到黄球的概率为：，
则摸到蓝球的概率为：，
经过比较，可知：摸到蓝球，是所有事件中发生的可能性最大，
故选：D．
3．（2023春•兴庆区期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．银川七月一日当天的最高温度为35°C
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【答案】D
【解答】解：A、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C、银川七月一日当天的最高温度为35°C，是随机事件，不符合题意；
D、用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
4．（2023•黑龙江模拟）从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况．故甲被选中的可能性是．
故选：A．
5．（2023•垦利区二模）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（ ）
A．朝上的点数为2B．朝上的点数为7
C．朝上的点数为2的倍数D．朝上的点数不大于2
【答案】C
【解答】解：任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果共有1、2、3、4、5、6这六种结果，
其中朝上的点数为2的只有1种结果，朝上的点数为7的只有1种结果，朝上的点数为2的倍数的有2、4、6这3种结果，朝上的点数不大于2的有1、2这2种结果，
所以朝上的点数为2的倍数的可能性最大，
故选：C．
6．（2023春•仓山区校级期中）袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A．10B．5C．3D．1
【答案】A
【解答】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球，
∴摸到红球的可能性为；
摸到黑球的可能性为，
∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，
∴＞，
∴m＜8．
故选：A．
【题型2 概率公式的计算】
7．（2023•乌当区模拟）任意掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是．
故选：D．
8．（2023•辽宁）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：6个白球和14个红球一共有20个球，所以摸到白球的概率是＝．
故选：C．
9．（2022秋•东丽区期末）从一副扑克牌中随机抽取一张是6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：从一副扑克牌中随机抽取一张是6的概率是．
故选：B．
10．（2023春•东港市期末）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣2、0、、3．从中随机摸出一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：从中随机摸出一个小球，可能出现四种可能，出现数字是正数的可能是二种，
则这个小球所标数字是正数的概率为：，
故选：D．
11．（2023•鼓楼区校级模拟）九年1班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了50张奖券，设一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个，已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵共有50张奖券，一等奖5个，
∴抽一张奖券中一等奖的概率＝＝．
故选：D．
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
12．（2022秋•沙坪坝区校级期末）在桌面上放有四张完全一样的卡片，正面分别标有数字﹣1，0，1，2．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，将数字记为m后放回洗匀，再从中随机抽取一张，将数字记为n，则点P（m，n）刚好落在坐标轴上的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
所有的等可能情况共有16种，即（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），其中所选的（m，n）刚好落在坐标轴上的结果有7种，
故点P（m，n）刚好落在坐标轴上的概率为．
故答案为：．
13．（2023•西湖区校级三模）一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写有数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，现从中随机抽取两张卡片，则卡片上的数字之和是奇数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：列表如下，
由上图可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出数字之和为奇数的有4种结果，
∴两次抽出数字之和为奇数的概率为．
故答案为：．
14．（2023•新乡三模）每年6月6日是全国爱眼日，为增强学生爱眼、护眼意识，修正平时用眼习惯，某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，各班采用抽卡片的方式确定开展的活动类型，将四类活动制成编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．若七（1）班从4张卡片中随机抽取1张，记下卡片上的活动类型后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，则这两个班抽到不同活动的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中这两个班抽到不同卡片的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率为．
故答案为：．
15．（2023•天山区校级模拟）现有四张正面分别标有数字﹣4，﹣2，1，3的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张．则两次取出卡片上的数字之和为正数的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：列表如下
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的卡片上的数字之和为正数的有4种结果，
所以两次取出卡片上的数字之和为正数的概率为＝，
故答案为：
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
16．（2022秋•荥阳市校级期末）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是＝，
故选：A．
17．（2022秋•京口区校级期末）用图中两个可自由转动的转盘做游戏：分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中转出的两个数字之积为6的结果有2种，
∴转出的两个数字之积为6的概率为＝，
故选：A．
18．（2023•鄢陵县二模）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，并分别标有数字1，2，3，4，固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，转动无效，重新转动）的数字，则两次所得数字之和为5的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次所得数字之和为5的结果为4种，
∴两次所得数字之和为5的概率为＝．
故答案为：．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
19．（2022秋•小店区校级期末）将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率为＝，
故选：A．
20．（2021秋•中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：列表如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为＝．
故选：B．
21．（2023•泌阳县一模）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的情况有：
共有12种等可能出现的情况，其中组成“强国”的有2种，
∴P组成强国＝＝．
故答案为：．
22．（2023•桐乡市校级开学）一个布袋里装有除颜色外都相同的4个白球和1个红球，轩轩和其余4位同学依次从布袋里摸一个球不放回，前两位同学摸到的都是白球，则接下去轩轩摸到红球的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：由题意知，接下去轩轩摸球共有3种等可能结果，其中摸到红球的只有1种结果，
所以接下去轩轩摸到红球的概率为，
故答案为：
【题型6 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】
23．（2022•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为＝，
故选：C．
24．（河南模拟）一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的2个红球和1个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的有1种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是，
故选：C．
25．（2023春•北碚区校级月考）完全相同的3个小球上面分别标有数字﹣3、﹣2、2，将其放入一个不透明的盒子里后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数字之和是负数的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有5种结果，
所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为，
故答案为：．
26．（春•九龙坡区校级月考）完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是非负数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有3种结果，
所以两次摸到的球上数之和是非负数的概率是＝；
故答案为：
【考题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
27．（2023•杏花岭区校级模拟）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即AD、BD、CD、DA、DB、DC，
∴小灯泡发光的概率为＝，
故选：C．
28．（2023•驿城区二模）在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：三个开关分别用S1，S2，S3表示，根据题意画树状图得：
共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况，
则有一个灯泡发光的概率是．
故选：D．
29．（2023•舒城县模拟）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：＝．
故选：A．
30．（2023•从化区一模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝；
故选：C．
31．（2023•武汉模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝；
故选：B
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
32．（2022秋•牡丹区校级期末）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1、﹣2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，然后从中随机地抽取两张，则这两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况数有12种，其中数字之积为负数的情况有8种，
则P数字之积为负数＝＝．
故选：C．
33．（2023•涧西区校级二模）盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：∵，，
列表图如下：
共有16种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有8种，
∴两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为．
故答案为：．
34．（2022秋•沙坪坝区校级期末）四个完全相同的球上分别标有数字﹣2，﹣3，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则a+b能被5整除的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：列表如下：
∴一共有16种情况，其中点a+b能被5整除的有6种情况，
∴点a+b能被5整除的概率＝．
故答案为：．
35．（2023•宁夏）如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两次数字之和为4的有2种，
所有所选方格中数字之和为4的概率是＝，
故答案为：．
36．（2023•阳谷县三模）从2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是偶数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是偶数的有4种，
则组成的两位数是偶数的概率为＝，
故答案为：．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
37．（2022秋•屯留区期末）如图，有甲，乙两个转盘，甲转盘平均分成3等份，分别涂上红色、白色和蓝色，乙转盘平均分成两等份，分别涂上红色和白色，现在同时用力转动甲、乙两个转盘，两个指针只要有一个指针停在分界线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在涂色的扇形区域．用列表或画树状图的方法，求两个指针都停在白色区域的概率．
【答案】．
【解答】解：设“白色”用“白”表示，“红色”用“红”表示，“蓝色”用“蓝”表示．
根据题意，列表如下：
根据表格可知，共有6种等可能的结果，其中，指针都停在白色区域的结果只有1种，为（白，白），
P（两个指针都停在白色区域）＝．
38．（2022秋•西安期末）如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成．“1”“2”“3”“4”四个区域．
（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是 ．
（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是．
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，
则两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
39．（2022秋•鼓楼区校级月考）不透明的口袋里装有白、红、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，红球有1个，黄球有1个．
（1）任意摸一个球，摸到白球的概率为 ．
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
【答案】（1）；
（2）两次摸到都是白球的概率为．
【解答】解：（1）任意摸一个球，摸到白球的概率为＝＝，，
故答案为：；
（2）画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，
∴两次都是摸到白球的概率为：＝．
40．（2023•天河区校级三模）我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）请将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级．现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）调查的总人数为10÷25%＝40（人），
所以获一等奖的人数为40﹣8﹣6﹣12﹣10＝4（人），
条形统计图为：
（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，则获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为2，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝＝．
41．（2023•嘉鱼县模拟）在四张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．﹣2，现将四张卡片放入一只不透明的盒子中搅匀．
（1）任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）若任意同时抽出两张，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵一共有4张卡片，其中2张写有负数，
∴P（抽到写有负数的卡片）＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∵一共有12种等可能的结果，其中两张卡片上数字之和为非负数的结果数有8种，
∴P（两张卡片上数字之和为非负数）＝．
42．（2023•小店区校级模拟）近几年我国航天领域的发展突飞猛进，2022年神十四和神十五相继 成功发射．某校通过对蔡旭哲，陈冬，刘洋，费俊龙，邓清明，张陆六名航天员相关资料的搜集整理，来引导学生树立正确的人生观、价值观．现将六位航天员的姓名依次写到六张卡片上（卡片除姓名不同外其余完全相同）．
（1）在神十四航天员中随机抽一位，抽到的恰好是刘洋的概率为 ．
（2）小亮最喜欢的四名男航天员是：蔡旭哲，陈冬，费俊龙，张陆（依次记为A，B，C，D），若从中随机抽取两位，请用列表法或者画树状图的方法求抽到的恰好是张陆和陈冬的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵神十四航天员有陈冬，刘洋，费俊龙，邓清明，张陆六名航天员，
∴抽到的恰好是刘洋的概率为：，
故答案为：
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的恰好是张陆（D）和陈冬（B）的结果有2种，
∴抽到的恰好是张陆和陈冬的概率为：＝．
43．（2023•晋中模拟）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被视为数学界的诺贝尔奖，截至2022年，世界上共有65位数学家获得过菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分别如下表：
通过上表数据，某同学绘制了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整）：
菲尔兹奖获得者获奖时的年龄频数分布表
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 19 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在34岁的四位获奖者中有两位的国籍是意大利，另外两位的国籍分别是比利时和英国，若从这四位数学家中随机抽取两位，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两位获奖者的国籍恰好都是意大利的概率．
【答案】（1）19；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）m＝65﹣（1+12+32+1）＝19，
故答案为：19；
（2）将频数分布直方图补充完整如下：
（3）将记作四位获奖者分别记作A、B、C、D，其中A、B为意大利，C、D分别记作比利时和英国，
列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中抽到的两位获奖者的国籍恰好都是意大利的有2种结果，
所以抽到的两位获奖者的国籍恰好都是意大利的概率为＝．
44．（2023•西丰县一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在40≤x＜60范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40
不完整的统计图表：
结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 5 ；统计图中B组对应扇形的圆心角为 144 度；
（2）阅读时间在40≤x＜60范围内的数据的众数是 40 min；
（3）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数．
（4）A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）5，144；
（2）40；
（3）480名；
（4）．
【解答】解：（1）由题意得，a＝20×25%＝5，
b＝20﹣3﹣5﹣8＝4．
统计图中B组对应扇形的圆心角为360°×＝144°，
故答案为：5，144；
（2）由题意可知，阅读时间在40≤x＜60范围内的数据的众数是40，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是＝42.5．
故答案为：40；
（3）800×＝480（名），
答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数大约为480名；
（4）∵b＝4，
∴A等级学生中有1个男生，3个女生，
列表如下：
一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等
恰好是一名男生和一名女生的情况有6种，
∴P（一名男生一名女生）＝
【题型10 几何概率】
45．（2023春•宿州月考）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，
∵两个菱形相同，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴DC＝DB，
∴∠DCB+∠DAB＝90°，∠DBC+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴DB＝DA，
∴DB＝DA＝DC，
∴阴影部分的面积＝部分重叠的两个菱形面积﹣阴影部分面积，
∴最后停留在阴影部分的概率为．
故选：B．
46．（2023春•梅州期末）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：若将每个三角形地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为20阴影部分的面积为1，
∴该小球停留在黑色区域的概率为．
故答案为：．
47．（2023春•白银期末）如图，是小鹏自己创作的正方形飞镖盘，并在盒内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影部分的概率为；
故答案为
48．（2023•商河县一模）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：（2+1+2）÷16＝．
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．1
2
3
1
3
4
2
3
5
3
4
5
﹣4
﹣2
1
3
﹣4
﹣6
﹣3
﹣1
﹣2
﹣6
﹣1
1
1
﹣3
﹣1
4
3
﹣1
1
4
郑
州
加
油
郑
（州，郑）
（加，郑）
（油，郑）
州
（郑，州）
（加，州）
（油，州）
加
（郑，加）
（州，加）
（油，加）
油
（郑，油）
（州，油）
（加，油）
﹣1
﹣2
3
4
﹣1
﹣﹣﹣
（﹣2，﹣1）
（3，﹣1）
（4，﹣1）
﹣2
（﹣1，﹣2）
﹣﹣﹣
（3，﹣2）
（4，﹣2）
3
（﹣1，3）
（﹣2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
4
（﹣1，4）
（﹣2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
﹣2
﹣3
0
5
﹣2
﹣4
﹣5
﹣2
3
﹣3
﹣5
﹣6
﹣3
2
0
﹣2
﹣3
0
5
5
3
2
5
10
乙
甲
红
白
白
（白，红）
（白，白）
红
（红，红）
（红，白）
蓝
（蓝，红）
（蓝，白）
年龄/岁
27
29
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
45
人数
1
3
5
4
4
4
6
5
9
9
7
7
1
年龄x/岁
人数（频数）
25≤x＜29
1
29≤x＜33
12
33≤x＜37
m
37≤x＜41
32
41≤x≤45
1
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C
（B，C）
（D，C）
D
（A，D
（B，D）
（C，D）
课外阅读时间x（min）
等级
人数
0≤x＜20
D
3
20≤x＜40
C
a
40≤x＜60
B
8
x≥60
A
b
女1
女2
女3
男
女1
（女1，女2）
（女1，女2）
（女1，男）
女2
（女2，女1）
（女2，女3）
（女2，男）
女3
（女3，女1）
（女3，女2）
（女3，男）
男
（男，女1）
（男，女2）
（男，女3）
【题型1 可能性的大小】
【题型2 概率公式的计算】
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
【题型6 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】
【考题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
【题型10 几何概率】
【题型1 可能性的大小】
1．（2023春•泰山区期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是（ ）
A．小于3的点数B．大于3的点数
C．小于5的点数D．大于5的点数
【答案】C
【解答】解：A、P1＝＝；
B、P2＝＝；
C、P3＝＝；
D、P4＝．
骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点．
故选：C．
2．（2023春•临淄区期中）在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（ ）
A．摸到红球B．摸到黄球C．摸到白球D．摸到蓝球
【答案】D
【解答】解：总计有球：1+2+3+6＝12（个），
则摸到红球的概率为：，
则摸到白球的概率为：，
则摸到黄球的概率为：，
则摸到蓝球的概率为：，
经过比较，可知：摸到蓝球，是所有事件中发生的可能性最大，
故选：D．
3．（2023春•兴庆区期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．银川七月一日当天的最高温度为35°C
D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形
【答案】D
【解答】解：A、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C、银川七月一日当天的最高温度为35°C，是随机事件，不符合题意；
D、用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
4．（2023•黑龙江模拟）从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况．故甲被选中的可能性是．
故选：A．
5．（2023•垦利区二模）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（ ）
A．朝上的点数为2B．朝上的点数为7
C．朝上的点数为2的倍数D．朝上的点数不大于2
【答案】C
【解答】解：任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果共有1、2、3、4、5、6这六种结果，
其中朝上的点数为2的只有1种结果，朝上的点数为7的只有1种结果，朝上的点数为2的倍数的有2、4、6这3种结果，朝上的点数不大于2的有1、2这2种结果，
所以朝上的点数为2的倍数的可能性最大，
故选：C．
6．（2023春•仓山区校级期中）袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A．10B．5C．3D．1
【答案】A
【解答】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球，
∴摸到红球的可能性为；
摸到黑球的可能性为，
∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，
∴＞，
∴m＜8．
故选：A．
【题型2 概率公式的计算】
7．（2023•乌当区模拟）任意掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是．
故选：D．
8．（2023•辽宁）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：6个白球和14个红球一共有20个球，所以摸到白球的概率是＝．
故选：C．
9．（2022秋•东丽区期末）从一副扑克牌中随机抽取一张是6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：从一副扑克牌中随机抽取一张是6的概率是．
故选：B．
10．（2023春•东港市期末）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣2、0、、3．从中随机摸出一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：从中随机摸出一个小球，可能出现四种可能，出现数字是正数的可能是二种，
则这个小球所标数字是正数的概率为：，
故选：D．
11．（2023•鼓楼区校级模拟）九年1班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了50张奖券，设一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个，已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵共有50张奖券，一等奖5个，
∴抽一张奖券中一等奖的概率＝＝．
故选：D．
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
12．（2022秋•沙坪坝区校级期末）在桌面上放有四张完全一样的卡片，正面分别标有数字﹣1，0，1，2．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，将数字记为m后放回洗匀，再从中随机抽取一张，将数字记为n，则点P（m，n）刚好落在坐标轴上的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
所有的等可能情况共有16种，即（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），其中所选的（m，n）刚好落在坐标轴上的结果有7种，
故点P（m，n）刚好落在坐标轴上的概率为．
故答案为：．
13．（2023•西湖区校级三模）一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写有数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，现从中随机抽取两张卡片，则卡片上的数字之和是奇数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：列表如下，
由上图可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出数字之和为奇数的有4种结果，
∴两次抽出数字之和为奇数的概率为．
故答案为：．
14．（2023•新乡三模）每年6月6日是全国爱眼日，为增强学生爱眼、护眼意识，修正平时用眼习惯，某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，各班采用抽卡片的方式确定开展的活动类型，将四类活动制成编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．若七（1）班从4张卡片中随机抽取1张，记下卡片上的活动类型后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，则这两个班抽到不同活动的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中这两个班抽到不同卡片的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率为．
故答案为：．
15．（2023•天山区校级模拟）现有四张正面分别标有数字﹣4，﹣2，1，3的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张．则两次取出卡片上的数字之和为正数的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：列表如下
由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的卡片上的数字之和为正数的有4种结果，
所以两次取出卡片上的数字之和为正数的概率为＝，
故答案为：
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
16．（2022秋•荥阳市校级期末）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是＝，
故选：A．
17．（2022秋•京口区校级期末）用图中两个可自由转动的转盘做游戏：分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中转出的两个数字之积为6的结果有2种，
∴转出的两个数字之积为6的概率为＝，
故选：A．
18．（2023•鄢陵县二模）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，并分别标有数字1，2，3，4，固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，转动无效，重新转动）的数字，则两次所得数字之和为5的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次所得数字之和为5的结果为4种，
∴两次所得数字之和为5的概率为＝．
故答案为：．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
19．（2022秋•小店区校级期末）将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率为＝，
故选：A．
20．（2021秋•中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：列表如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为＝．
故选：B．
21．（2023•泌阳县一模）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的情况有：
共有12种等可能出现的情况，其中组成“强国”的有2种，
∴P组成强国＝＝．
故答案为：．
22．（2023•桐乡市校级开学）一个布袋里装有除颜色外都相同的4个白球和1个红球，轩轩和其余4位同学依次从布袋里摸一个球不放回，前两位同学摸到的都是白球，则接下去轩轩摸到红球的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：由题意知，接下去轩轩摸球共有3种等可能结果，其中摸到红球的只有1种结果，
所以接下去轩轩摸到红球的概率为，
故答案为：
【题型6 列举法或树状图求概率（放回摸球问题）】
23．（2022•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为＝，
故选：C．
24．（河南模拟）一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的2个红球和1个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的有1种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是，
故选：C．
25．（2023春•北碚区校级月考）完全相同的3个小球上面分别标有数字﹣3、﹣2、2，将其放入一个不透明的盒子里后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数字之和是负数的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有5种结果，
所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为，
故答案为：．
26．（春•九龙坡区校级月考）完全相同的3个小球上面分别标有数﹣2、﹣1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是非负数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有3种结果，
所以两次摸到的球上数之和是非负数的概率是＝；
故答案为：
【考题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
27．（2023•杏花岭区校级模拟）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即AD、BD、CD、DA、DB、DC，
∴小灯泡发光的概率为＝，
故选：C．
28．（2023•驿城区二模）在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：三个开关分别用S1，S2，S3表示，根据题意画树状图得：
共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况，
则有一个灯泡发光的概率是．
故选：D．
29．（2023•舒城县模拟）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：＝．
故选：A．
30．（2023•从化区一模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝；
故选：C．
31．（2023•武汉模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝；
故选：B
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
32．（2022秋•牡丹区校级期末）现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1、﹣2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，然后从中随机地抽取两张，则这两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况数有12种，其中数字之积为负数的情况有8种，
则P数字之积为负数＝＝．
故选：C．
33．（2023•涧西区校级二模）盒子里装4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字，，、，从中随机抽出一个后放回，再随机抽出一个，则两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：∵，，
列表图如下：
共有16种等可能情况，其中两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的有8种，
∴两次抽出的卡片上的数字都是同类二次根式的概率为．
故答案为：．
34．（2022秋•沙坪坝区校级期末）四个完全相同的球上分别标有数字﹣2，﹣3，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则a+b能被5整除的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：列表如下：
∴一共有16种情况，其中点a+b能被5整除的有6种情况，
∴点a+b能被5整除的概率＝．
故答案为：．
35．（2023•宁夏）如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两次数字之和为4的有2种，
所有所选方格中数字之和为4的概率是＝，
故答案为：．
36．（2023•阳谷县三模）从2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是偶数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是偶数的有4种，
则组成的两位数是偶数的概率为＝，
故答案为：．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
37．（2022秋•屯留区期末）如图，有甲，乙两个转盘，甲转盘平均分成3等份，分别涂上红色、白色和蓝色，乙转盘平均分成两等份，分别涂上红色和白色，现在同时用力转动甲、乙两个转盘，两个指针只要有一个指针停在分界线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在涂色的扇形区域．用列表或画树状图的方法，求两个指针都停在白色区域的概率．
【答案】．
【解答】解：设“白色”用“白”表示，“红色”用“红”表示，“蓝色”用“蓝”表示．
根据题意，列表如下：
根据表格可知，共有6种等可能的结果，其中，指针都停在白色区域的结果只有1种，为（白，白），
P（两个指针都停在白色区域）＝．
38．（2022秋•西安期末）如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成．“1”“2”“3”“4”四个区域．
（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是 ．
（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是．
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，
则两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
39．（2022秋•鼓楼区校级月考）不透明的口袋里装有白、红、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，红球有1个，黄球有1个．
（1）任意摸一个球，摸到白球的概率为 ．
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
【答案】（1）；
（2）两次摸到都是白球的概率为．
【解答】解：（1）任意摸一个球，摸到白球的概率为＝＝，，
故答案为：；
（2）画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，
∴两次都是摸到白球的概率为：＝．
40．（2023•天河区校级三模）我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）请将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级．现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）调查的总人数为10÷25%＝40（人），
所以获一等奖的人数为40﹣8﹣6﹣12﹣10＝4（人），
条形统计图为：
（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，则获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为2，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝＝．
41．（2023•嘉鱼县模拟）在四张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．﹣2，现将四张卡片放入一只不透明的盒子中搅匀．
（1）任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）若任意同时抽出两张，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵一共有4张卡片，其中2张写有负数，
∴P（抽到写有负数的卡片）＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∵一共有12种等可能的结果，其中两张卡片上数字之和为非负数的结果数有8种，
∴P（两张卡片上数字之和为非负数）＝．
42．（2023•小店区校级模拟）近几年我国航天领域的发展突飞猛进，2022年神十四和神十五相继 成功发射．某校通过对蔡旭哲，陈冬，刘洋，费俊龙，邓清明，张陆六名航天员相关资料的搜集整理，来引导学生树立正确的人生观、价值观．现将六位航天员的姓名依次写到六张卡片上（卡片除姓名不同外其余完全相同）．
（1）在神十四航天员中随机抽一位，抽到的恰好是刘洋的概率为 ．
（2）小亮最喜欢的四名男航天员是：蔡旭哲，陈冬，费俊龙，张陆（依次记为A，B，C，D），若从中随机抽取两位，请用列表法或者画树状图的方法求抽到的恰好是张陆和陈冬的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵神十四航天员有陈冬，刘洋，费俊龙，邓清明，张陆六名航天员，
∴抽到的恰好是刘洋的概率为：，
故答案为：
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的恰好是张陆（D）和陈冬（B）的结果有2种，
∴抽到的恰好是张陆和陈冬的概率为：＝．
43．（2023•晋中模拟）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被视为数学界的诺贝尔奖，截至2022年，世界上共有65位数学家获得过菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分别如下表：
通过上表数据，某同学绘制了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整）：
菲尔兹奖获得者获奖时的年龄频数分布表
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 19 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在34岁的四位获奖者中有两位的国籍是意大利，另外两位的国籍分别是比利时和英国，若从这四位数学家中随机抽取两位，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两位获奖者的国籍恰好都是意大利的概率．
【答案】（1）19；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）m＝65﹣（1+12+32+1）＝19，
故答案为：19；
（2）将频数分布直方图补充完整如下：
（3）将记作四位获奖者分别记作A、B、C、D，其中A、B为意大利，C、D分别记作比利时和英国，
列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中抽到的两位获奖者的国籍恰好都是意大利的有2种结果，
所以抽到的两位获奖者的国籍恰好都是意大利的概率为＝．
44．（2023•西丰县一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在40≤x＜60范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40
不完整的统计图表：
结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 5 ；统计图中B组对应扇形的圆心角为 144 度；
（2）阅读时间在40≤x＜60范围内的数据的众数是 40 min；
（3）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数．
（4）A等级学生中只有一名男生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）5，144；
（2）40；
（3）480名；
（4）．
【解答】解：（1）由题意得，a＝20×25%＝5，
b＝20﹣3﹣5﹣8＝4．
统计图中B组对应扇形的圆心角为360°×＝144°，
故答案为：5，144；
（2）由题意可知，阅读时间在40≤x＜60范围内的数据的众数是40，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是＝42.5．
故答案为：40；
（3）800×＝480（名），
答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于40min的人数大约为480名；
（4）∵b＝4，
∴A等级学生中有1个男生，3个女生，
列表如下：
一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等
恰好是一名男生和一名女生的情况有6种，
∴P（一名男生一名女生）＝
【题型10 几何概率】
45．（2023春•宿州月考）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，
∵两个菱形相同，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴DC＝DB，
∴∠DCB+∠DAB＝90°，∠DBC+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴DB＝DA，
∴DB＝DA＝DC，
∴阴影部分的面积＝部分重叠的两个菱形面积﹣阴影部分面积，
∴最后停留在阴影部分的概率为．
故选：B．
46．（2023春•梅州期末）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：若将每个三角形地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为20阴影部分的面积为1，
∴该小球停留在黑色区域的概率为．
故答案为：．
47．（2023春•白银期末）如图，是小鹏自己创作的正方形飞镖盘，并在盒内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影部分的概率为；
故答案为
48．（2023•商河县一模）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：（2+1+2）÷16＝．
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．1
2
3
1
3
4
2
3
5
3
4
5
﹣4
﹣2
1
3
﹣4
﹣6
﹣3
﹣1
﹣2
﹣6
﹣1
1
1
﹣3
﹣1
4
3
﹣1
1
4
郑
州
加
油
郑
（州，郑）
（加，郑）
（油，郑）
州
（郑，州）
（加，州）
（油，州）
加
（郑，加）
（州，加）
（油，加）
油
（郑，油）
（州，油）
（加，油）
﹣1
﹣2
3
4
﹣1
﹣﹣﹣
（﹣2，﹣1）
（3，﹣1）
（4，﹣1）
﹣2
（﹣1，﹣2）
﹣﹣﹣
（3，﹣2）
（4，﹣2）
3
（﹣1，3）
（﹣2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
4
（﹣1，4）
（﹣2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
和
﹣2
﹣3
0
5
﹣2
﹣4
﹣5
﹣2
3
﹣3
﹣5
﹣6
﹣3
2
0
﹣2
﹣3
0
5
5
3
2
5
10
乙
甲
红
白
白
（白，红）
（白，白）
红
（红，红）
（红，白）
蓝
（蓝，红）
（蓝，白）
年龄/岁
27
29
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
45
人数
1
3
5
4
4
4
6
5
9
9
7
7
1
年龄x/岁
人数（频数）
25≤x＜29
1
29≤x＜33
12
33≤x＜37
m
37≤x＜41
32
41≤x≤45
1
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C
（B，C）
（D，C）
D
（A，D
（B，D）
（C，D）
课外阅读时间x（min）
等级
人数
0≤x＜20
D
3
20≤x＜40
C
a
40≤x＜60
B
8
x≥60
A
b
女1
女2
女3
男
女1
（女1，女2）
（女1，女2）
（女1，男）
女2
（女2，女1）
（女2，女3）
（女2，男）
女3
（女3，女1）
（女3，女2）
（女3，男）
男
（男，女1）
（男，女2）
（男，女3）
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