初中6.5 相似三角形的性质课后复习题

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2.灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
3.理解并掌握射影定理，运用相似的性质解决有关射影定理图模；
4.运用相似三角形的性质解决综合问题。
知识点1 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则

图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
知识点2 相似三角形的性质与判定综合
知识点3 射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
很容易推出：．
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
．
AC＋BC＜AB＋CD．
用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ；
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．
利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边
【题型1 相似三角形的性质】
【典例1】（2022秋•昌图县期末）已知两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（ ）
A．1：3B．1：6C．1：9D．3：1
【变式1-1】（2023•南明区校级模拟）若两个相似三角形的对应高的比为3：5，则它们对应周长的比为（ ）
A．3：5B．9：25C．1：3D．1：5
【变式1-2】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（ ）
A．75°B．105°C．60°D．45°
【变式1-3】（2023•江安县一模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2023•泸县一模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
【典例2】（2023•蕉城区校级一模）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
【变式2-1】（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．
（1）求∠ADC度数；
（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．
【变式2-2】（2023春•海阳市期末）如图，在正方形ABCD中，CD＝4，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED与AB交于点G，与DA的延长线交于点F．
（1）求证：△BEG∽△CDE；
（2）求△AFG的面积．
【变式2-3】（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
【题型3 作图-相似变换】
【典例3】（2023秋•永安市期中）已知△ABC中，，，BC＝6，点M为AB的中点．
（1）在线段AC上求作一点N，使△AMN∽△ABC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下求线段MN的长．
【变式3-1】（2023秋•南安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D．
（1）在斜边BC上求作点E，使△BDE∽△BAD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝6，BE＝8，求DE的长．
【变式3-2】（2023秋•鲁山县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）在AB上求作一点D，使△ABC∽△CBD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求△BCD的周长．
【变式3-3】（2023•白山模拟）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：
（1）在图1中画△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1．
（2）在图2中画△MNP，使得△MNP∽△DEF，且面积比为2：1．
【题型1 相似三角形的性质】
【典例4】（2023春•梁溪区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AB＝8，AD＝6，求CD的长．
【变式4-1】（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
【变式4-2】（2022秋•普兰店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长．
【典例5】（2023春•烟台期末）如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．
【变式5】（2022秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．
（1）求BC边上的高AD的长度；
（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH的边长．
1．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2023•重庆）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）
A．4B．9C．12D．13.5
4．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝ m．
7．（2023•南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则＝
8．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝ ．
9．（2023•云南）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．
（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．
1．（2023秋•永春县期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD＝2：3，CD＝3cm，则AF的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
2．（2023秋•顺德区期中）两个相似三角形的相似比为1：2，较小的三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为（ ）
A．2B．8C．16D．1
3．（2023秋•秦都区期中）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上，AB∥DE，AC∥DF，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋•商河县期中）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋•滦州市期中）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，过点F作AD的平行线分别交DC、AB于点M、N，则S△BNF：S△DMF等于（ ）
A．9：4B．4：1C．3：1D．2：1
6．（2023秋•宜兴市月考）如图，点D是△ABC边AC的上一点，且∠ABD＝∠C，如果，那么＝（ ）
A．B．C．D．
7．（2023•鹤峰县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（ ）
A．4B．6C．2D．3
8．（2023秋•福田区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC交于点H，FH＝3cm，EH＝6cm，AH＝4cm，则HC的长为（ ）
A．22cmB．20cmC．18cmD．16cm
9．（2023秋•慈溪市校级期中）如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．若AC＝BD．则EC的长为（ ）
A．B．1C．D．
10．（2023•广水市模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：25
11．（2023秋•虹口区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G．那么下列结论正确的是（ ）
A．AE2＝EF•FGB．AE2＝EF•AGC．AE2＝EG•FGD．AE2＝EF•EG
12．（2023秋•昌平区期中）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为：1．
13．（2023秋•立山区期中）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）若AC＝8，BC＝9，G为AC中点，求CD的长．
14．（2023秋•虹口区期中）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝4，DC＝3，求AP的长．
15．（2023秋•云溪区期中）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．
16．（2023秋•高新区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．