初中数学苏科版九年级下册第7章 锐角函数7.5 解直角三角形当堂达标检测题

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2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

知识点1 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
注意：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
知识点2 解直角三角形的常见类型及解法
注意：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

【典例1】（2023•雨花区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴sin∠B＝＝＝．
故选：D．
【变式1-1】（2023•子洲县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，，则AC的长为（ ）
A．4.5B．5C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵csB＝，
∴＝，
∵AB＝6，
∴CB＝×6＝4，
∴AC＝＝＝2．
故选：C．
【变式1-2】（2023春•东城区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解答】解：由图可知∠ACB＝90°，且AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∴．
故选：D．
【变式1-3】（2023•沭阳县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，csB＝，则AC的长为（ ）
A．6B．2C．3D．9
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，csB＝，
∴BC＝AB•csB＝9×＝6，
∴AC＝＝＝3，
故选：C．
【典例2】（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（ ）
A．sinC＝B．sinC＝C．sinC＝D．sinC＝
【答案】C
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，csC＝，tanC＝，
故A、B不符合题意；
在Rt△BAC中，sinC＝，
故C符合题意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cs∠BAD＝，
∴csC＝cs∠BAD＝，
故D不符合题意；
故选：C．
【变式2-1】（2023•耿马县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝8，，那么tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∵AD＝8，，
∴＝，
解得BD＝4，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
【变式2-2】（2023春•巴东县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD•DB，
∵，
设AD＝3a，DB＝2a，
则CD2＝3a•2a＝6a2，
∴CD＝，
∴tan∠B＝．
故选：C．
【变式2-3】（2023•巧家县校级三模）如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，则边AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵sin∠DAC＝，
∴tan∠DAC＝，
∴＝，
∵BD＝6，CD＝3，
∴AD＝6，
由勾股定理可知：AB2＝BD2+AD2，
∴AB＝6，
故选：D．
【典例3】（2023•仓山区校级模拟）如图，平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：作PA⊥x轴于A，如图．
∵P（3，4），
∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝5，
∴csα＝＝．
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•乳山市期末）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，PN＝OM，
∵P（4，3），
∴ON＝PM＝4，PN＝3，
在Rt△PON中，由勾股定理得
OP＝，
∴，
故选：B．
【变式3-2】（2023•陇县一模）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，，则sin∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠BAD＝＝＝，
∴AB＝3，
∴AC＝AB＝3，
由勾股定理得，AD＝＝＝2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝2，
由S△ABC＝BC•AD＝AC•BE得，
BE＝＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
【典例4】（2022秋•泉州期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C．
BO＝＝2，
AO＝＝2．
∵S△AOB＝×2×2＝2，
∴AO•BC＝2．
∴BC＝＝．
∴sin∠AOB＝＝＝．
故选：B．
【变式4-1】（2023•长丰县模拟）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵小正方形的边长均为1，
∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝．
故选：C．
【变式4-2】（2023•海港区一模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解答】解：如图：连接BD，
由题意得：
AD2＝22+22＝8，
BD2＝12+12＝2，
AB2＝12+32＝10，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：B．
【变式4-3】（2022秋•离石区期末）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cs∠AOB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO＝＝2，
AC＝＝，
OC＝＝，
所以，AO2＝AC2+OC2＝20，
所以，△AOC是直角三角形，
cs∠AOB＝＝＝．
故选：B．
【典例5】（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE为AC边上的中线．
（1）若∠EDA＝3∠BAD，求∠C的度数；
（2）若tan∠EDA＝4，AB＝5，求点A到BC的距离．
【答案】（1）22.5°；
（2）．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，DE为AC边上的中线，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴AE＝DE＝CE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EDA＝3∠BAD，
∴∠EAD＝3∠BAD，
∵∠BAC＝90°，
∴3∠BAD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝22.5°，
∴∠C＝22.5°；
（2）由（1）可知：∠EAD＝∠EDA，
∴，
设AD＝x，则CD＝4x，
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，即，
∴AC＝20，
∴，
∴，
即点A到BC的距离为．
【变式5-1】（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
【答案】（1）2；（2）．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD、△BCD均为直角三角形．
在Rt△CDB中，
∵BD＝6，tanB＝＝，
∴CD＝4．
在Rt△CDA中，
AC＝
＝
＝2．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF．
又∵点E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．
∴AF＝AD+DF＝5．
在Rt△AEF中，
AE＝
＝
＝．
∴sin∠EAB＝
＝
＝．
【变式5-2】（2023春•梅江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A＝60°，求BC的长；
（2）若sinE＝，求AD的长．
【答案】（1）＝6﹣6；
（2）6．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，
∴∠E＝30°，BE＝tan60°•6＝6，
又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE＝，∠E＝30°，
∴CE＝＝6，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣6；
（2）∵sinE＝，
∴sinA＝，
∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，
∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，
∴3x＝6，得x＝2，
∴BE＝8，AE＝10，
∴tanE＝＝＝＝，
解得DE＝4，
∴AD＝AE﹣DE＝10﹣4＝6，
即AD的长是6．

1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cs∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，
∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
∴csA＝＝＝．
故选：C．
2．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，
∴AC＝5，
∴sin∠BAC＝＝，
故选：C．
3．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．
∴cs∠APC＝cs∠EDC＝＝．
故选：B．
4．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．2
【答案】C
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，
∴，
解得AC＝，
∴AB＝，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
故选：C．
5．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cs∠ADF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴cs∠ADF＝，
故选：C．
6．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（ ）
A．3B．3C．6D．3
【答案】C
【解答】解：∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故选：C．
7．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝ ．
【答案】．
【解答】解：设AD＝t，
∵BD＝CD，＝，
∴BD＝CD＝3t，
∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
8．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
则BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故答案为：．
9．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为 （，0） ．
【答案】（，0）．
【解答】解：设C（a，0），
∴OC＝a，
∵点A（1，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，
在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，
∴∠OBA＝∠ABC，
过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，
∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，
∴，CD＝BC，
∴，
∴，
解得a＝0（舍去）或a＝，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
10．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
【答案】（1）详见解答；
（2）点O到AC的距离为4，sin∠ACD＝．
【解答】解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．

1．（2022秋•惠来县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，csB＝，则AC的长为（ ）
A．9B．10C．12D．13
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝15，csB＝＝，
∴BC＝12．
∴AC＝
＝
＝9．
故选：A．
2．（2023•深圳模拟）数学中余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccsA，b2＝a2+c2﹣2accsB，c2＝a2+b2﹣2abcsC．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC的值是（ ）
A．5B．C．D．2
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，
∴BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•csA
＝32+42﹣2×3×4×cs60°
＝9+16﹣24×
＝25﹣12
＝13，
∴BC＝或BC＝﹣（舍去），
∴BC＝，
故选：C．
3．（2022秋•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝8，BD＝4，
∴，
解得CD＝4，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
4．（2022秋•北塔区期末）如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的角平分线，如果AB＝AC＝10，BC＝12，那么tan∠ABE的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解答】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，
∴，
∴，
过点O作OF⊥AB于F，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴OF＝OD，∠ABE＝∠OBD，
∵
∴，即：，
解得：OD＝OF＝3，
∴，
故选：A．
5．（2022秋•莲池区校级期末）点M（﹣sin60°，cs60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）
【答案】B
【解答】解：∵sin60°＝，cs60°＝，
∴点M（﹣）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．
故选：B．
6．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则BD的长为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
过点D作DE⊥AB于点E，如图，已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，