2024年安徽省宿州市萧县中考数学二模试卷

这是一份2024年安徽省宿州市萧县中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（4分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的名称是（ ）
A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．正方体
3．（4分）2023年全国粮食总产量约为13908亿斤，13908亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.3908×1012B．1.3908×1011
C．1.3908×1010D．13.908×1011
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3﹣x2＝xB．3m2﹣m2＝2
C．2a2b+3ba2＝5a2bD．
5．（4分）在下列四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝4，AC＝6，BD＝10，则BC的长为（ ）
A．8B．6C．D．
7．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）2024年春晚的魔术表演备受瞩目，魔术师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌．小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这两张扑克牌对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，BC，DE⊥BC于点E，若AC＝4，CE＝6，DE＝2，则直径AB的长为（ ）
A．B．10C．D．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，P，Q分别是边AB，AC上的动点，则BQ+PQ的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）不等式2x﹣3＞x+2的解集是 ．
12．（5分）分解因式：ab2﹣a3＝ ．
13．（5分）如图，在菱形OACB中，O是坐标原点，点B在x轴上，点A，C都在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与线段BC交于点F，，则△AOF的面积是 ．
14．（5分）如图，D，E，F是△ABC的边BC，AB，AC上的点，且满足DB＝DE，DC＝DF，DC＝DF，∠BDF＝∠CDE＝135°，连接BF，CE，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
（1）∠A的度数是 ．
（2）若AH＝5，AF＝4，则EH＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．
（1）依据题意，填写下表．
（2）如果一个运动员每餐需要32单位蛋自质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长都为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1．
（1）画出平移△ABC后得到的△A1B1C1，其中点A的对应点为A1．
（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以由AB绕点A经过怎样的旋转得到．
18．（8分）观察下列各等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式： ．
（2）请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）2023年中国航天共发射了67次火箭，成功地将200多个航天器送入太空，如图是一枚火箭从地面L处垂直发射，当火箭到达A处时，在地面R处的雷达站测得AR＝6km，仰角是43°，1s后，火箭到达B处，此时，在R处测得仰角为45.54°，求这枚火箭从点A到点B的平均速度．
（精确到0.1km/s，参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cs45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02）
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDA．
（2）若CE＝2，tanA＝，求直径AB的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了宣传防范电信网络诈骗，某中学对九年级480名学生举行了“防范电信网络诈骗”知识竞赛，现随机从九（1）班、九（2）班中抽取相同人数的学生，对学生的竞赛成绩进行整理（成绩均在60分以上），将成绩分为A（90≤分数≤100），B（80≤分数＜90），C（70≤分数＜80），D（60≤分数＜70）四个等级，并制作如图统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）一班抽取的学生人数是 人，二班抽取的学生的竞赛成绩为B等级的人数占二班抽取学生人数的百分比是 ．
（2）一班抽取的竞赛成绩的中位数落在 等级，二班抽取的竞赛成绩的中位数落在 等级．
（3）若成绩不低于80分为优良，估计九年级全体学生竞赛成绩为优良的学生人数．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知E是△ABC外一点，D是△ABC所在平面内一点，且满足∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE．
（1）如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE．
（2）如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，，求的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线y＝kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点E的横坐标是﹣3，求点M的坐标．
（3）若0＜k＜2，求四边形MCDB的面积的最小值．
2024年安徽省宿州市萧县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（4分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（4分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的名称是（ ）
A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．正方体
【分析】有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱．
【解答】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体；掌握常见几何体的三视图是解决本题的突破点．
3．（4分）2023年全国粮食总产量约为13908亿斤，13908亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.3908×1012B．1.3908×1011
C．1.3908×1010D．13.908×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：13908亿＝1390800000000＝1.3908×1012，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x3﹣x2＝xB．3m2﹣m2＝2
C．2a2b+3ba2＝5a2bD．
【分析】利用合并同类项法则及负整数指数幂逐项判断即可．
【解答】解：x3与x2不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
3m2﹣m2＝2m2，则B不符合题意；
2a2b+3ba2＝5a2b，则C符合题意；
（）﹣2＝4，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（4分）在下列四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝4，AC＝6，BD＝10，则BC的长为（ ）
A．8B．6C．D．
【分析】首先根据“平行四边形的对角线互相平分”的性质求得OA、OB的长度；然后由勾股定理的逆定理推知△AOB为直角三角形，且∠BAO＝90°；最后在直角△ABC中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，则AO＝AC＝3，BO＝BD＝5．
在△AOB中，AB＝4，AO＝3，BO＝5，则AB2+AO2＝BO2．
所以∠BAO＝90°，
在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，则由勾股定理知：BC＝＝＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
7．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象可找出a＜0，﹣＞0，c＞0，进而可得出b＞0，再根据一次函数图象与系数的关系及反比例函数的图象，即可找出一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴a＜0，﹣＞0，c＞0，
∴b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．
8．（4分）2024年春晚的魔术表演备受瞩目，魔术师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌．小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这两张扑克牌对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将四个半张扑克牌分别记为A，a，B，b，其中A和a能合成同一张牌，B和b能合成同一张牌．
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的结果有：（A，a），（a，A），（B，b），（b，B），共4种，
∴小明抽到的两个半张扑克牌恰好能合成同一张牌的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，BC，DE⊥BC于点E，若AC＝4，CE＝6，DE＝2，则直径AB的长为（ ）
A．B．10C．D．
【分析】连接AD、CD，AD交BC于点F，根据勾股定理求出CD＝2，根据圆周角定理、垂直的定义求出∠ACB＝∠DEF＝90°，结合∠CFA＝∠EFD，推出△CFA∽△EFD，根据相似三角形的性质求出EF＝2，CF＝4，根据勾股定理求出AF＝4，DF＝2，根据圆周角定理求出∠BCD＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC，即可判定△CFD∽△AFB，再根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接AD、CD，AD交BC于点F，
∵DE⊥BC，CE＝6，DE＝2，
∴∠DEF＝90°，CD＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠DEF，
又∵∠CFA＝∠EFD，
∴△CFA∽△EFD，
∴＝，
∵CE＝6，
∴CF＝6﹣EF，
∴＝，
∴EF＝2，
∴CF＝4，
∴AF＝＝＝4，DF＝＝＝2，
∵∠BCD＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC，
∴△CFD∽△AFB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练运用相似三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，P，Q分别是边AB，AC上的动点，则BQ+PQ的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】延长BC到B'，使CB'＝CB＝1，连接QB'，过点B'作B'H⊥AB于点H，推出BQ+PQ的最小值是B'H，再求出B'H的长即可．
【解答】解：延长BC到B'，使CB'＝CB＝1，连接QB'，过点B'作B'H⊥AB于点H，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴点B'与点B关于AC轴对称，
∴BQ＝B'Q，
∴BQ+PQ＝B'Q+PQ≥B'H，
∴BQ+PQ的最小值是B'H，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
在Rt△BB'H中，
B'H＝BB'•sin60°＝2×＝．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称，垂线段最短，三角函数，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）不等式2x﹣3＞x+2的解集是 x＞5 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
【解答】解：2x﹣3＞x+2，
移项得：2x﹣x＞2+3，
合并同类项得：x＞5，
故答案为：x＞5．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．（5分）分解因式：ab2﹣a3＝ a（b+a）（b﹣a） ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：ab2﹣a3＝a（b2﹣a2）＝a（b+a）（b﹣a）．
故答案为：a（b+a）（b﹣a）．
【点评】此题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13．（5分）如图，在菱形OACB中，O是坐标原点，点B在x轴上，点A，C都在第一象限，反比例函数的图象经过点A，与线段BC交于点F，，则△AOF的面积是 40 ．
【分析】根据和k＝48求出点A的坐标，再求出菱形面积，由S△AOF＝S菱形OBCA＝×10×8＝40即可．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴，垂足为D，
根据设A（3m，4m）
∵点A在反比例函数图象上，
∴3m×4m＝48，
∴m＝2或﹣2（舍去），
∴A（6，8），
∴AO＝OB＝10，
∴S△AOF＝S菱形OBCA＝×10×8＝40．
故答案为：40．
【点评】本题考查了反比例函数的k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是解答本题的关键．
14．（5分）如图，D，E，F是△ABC的边BC，AB，AC上的点，且满足DB＝DE，DC＝DF，DC＝DF，∠BDF＝∠CDE＝135°，连接BF，CE，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
（1）∠A的度数是 45° ．
（2）若AH＝5，AF＝4，则EH＝ 1 ．
【分析】（1）先根据邻补角定义及∠CDE＝135°得∠CDF＝45°，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得∠DBE＝67.5°，同理∠DCF＝67.5°，由此可得∠A的度数；
（2）在AB上截取AG＝AF＝4，连接CG，则GH＝AH﹣AG＝1，证△BDF和△EDC全等得BF＝CE，再证△ACG和△ABF全等得CG＝BF，从而得CG＝CE，然后根据等腰三角形的性质可得EH的长．
【解答】解：（1）∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠CDE＝135°，
∴∠CDF＝180°﹣∠BDF＝45°，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝（180°﹣∠BDE）＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
同理：∠DCF＝67.5°，
∴∠A＝180°﹣（∠DBE+∠DCF）＝180°﹣（67.5°+67.5°）＝45°，
故答案为：45°．
（2）在AB上截取AG＝AF＝4，连接CG，如下图所示：
∵AH＝5，
∴GH＝AH﹣AG＝5﹣4＝1，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（SAS），
∴BF＝CE，
由（1）可知：∠DCF＝67.5°，∠DBE＝67.5°，
∴∠DCF＝∠DBE，
即∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
在△ACG和△ABF中，
，
∴△ACG≌△ABF
∴CG＝BF，
∴CG＝CE，
∵CH⊥AB，
∴EH＝GH＝1．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的难点．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】利用有理数的乘方法则，算术平方根的定义，负整数指数幂计算即可．
【解答】解：
＝﹣1+5﹣3
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．（8分）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．
（1）依据题意，填写下表．
（2）如果一个运动员每餐需要32单位蛋自质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
【分析】（1）根据每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．分别列出代数式即可；
（2）设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，根据一个运动员每餐需要32单位蛋自质和40单位铁质，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意填表如下：
故答案为：0.4x，y，0.8x，0.8y；
（2）设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，
根据题意得：，
解得：，
答：每餐含甲原料30克，乙原料20克时恰好能满足运动员的需要．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长都为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1．
（1）画出平移△ABC后得到的△A1B1C1，其中点A的对应点为A1．
（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以由AB绕点A经过怎样的旋转得到．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据轴对称变换的性质作出图形．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
18．（8分）观察下列各等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式： ．
（2）请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据题中给出的等式的规律即可写出第5个等式；
（2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可．
【解答】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……；
第5个等式：；
故答案为：；
（2）第n个等式：，
证明：左边＝，
右边＝，
∵左边＝右边，
∴等式成立．
【点评】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）2023年中国航天共发射了67次火箭，成功地将200多个航天器送入太空，如图是一枚火箭从地面L处垂直发射，当火箭到达A处时，在地面R处的雷达站测得AR＝6km，仰角是43°，1s后，火箭到达B处，此时，在R处测得仰角为45.54°，求这枚火箭从点A到点B的平均速度．
（精确到0.1km/s，参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cs45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02）
【分析】根据题意可得：BL⊥LR，然后在Rt△ALR中，利用锐角三角函数的定义求出AL和LR的长，从而在Rt△BLR中，利用锐角三角函数的定义求出BL的长，最后利用线段的和差关系求出AB的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：BL⊥LR，
在Rt△ALR中，AR＝6km，∠ARL＝43°，
∴AL＝AR•sin43°≈6×0.68＝4.08（km），
LR＝AR•cs43°≈6×0.73＝4.38（km），
在Rt△BLR中，∠BRL＝45.54°，
∴BL＝LR•tan45.54°≈4.38×1.02＝4.4676（km），
∴AB＝BL﹣AL＝4.4676﹣4.08＝0.3876（km），
∴这枚火箭从点A到点B的平均速度＝≈0.4（km/s），
∴这枚火箭从点A到点B的平均速度约为0.4km/s．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDA．
（2）若CE＝2，tanA＝，求直径AB的长．
【分析】（1）由切线的性质得出∠OCD＝90°，于是有∠ACO+∠ECD＝90°，由∠E＝90°得出∠EDC+∠ECD＝90°，从而推出∠ACO＝∠EDC，继而证得∠A＝∠ACO＝∠EDC，又∠E为公共角，于是根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证；
（2）根据tan∠EDC＝tanA＝，CE＝2，即可求出DE的长，继而求出AE的长，AC的长，再证得∠ACB＝90°，即可求出BC的长，最后根据勾股定理即可求出直径AB的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
即∠OCD＝90°，
∴∠ACO+∠ECD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠ACO＝∠EDC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝∠EDC，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDA；
（2）解：如图2，连接BC，
∵，
∴，
在Rt△ECD中，，
∴DE＝2CE＝4，
在Rt△ADE中，，
∴AE＝2DE＝8，
∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴BC＝3，
由勾股定理，得．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，锐角三角函数，圆周角定理及推论，切线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了宣传防范电信网络诈骗，某中学对九年级480名学生举行了“防范电信网络诈骗”知识竞赛，现随机从九（1）班、九（2）班中抽取相同人数的学生，对学生的竞赛成绩进行整理（成绩均在60分以上），将成绩分为A（90≤分数≤100），B（80≤分数＜90），C（70≤分数＜80），D（60≤分数＜70）四个等级，并制作如图统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）一班抽取的学生人数是 20 人，二班抽取的学生的竞赛成绩为B等级的人数占二班抽取学生人数的百分比是 10% ．
（2）一班抽取的竞赛成绩的中位数落在 B 等级，二班抽取的竞赛成绩的中位数落在 C 等级．
（3）若成绩不低于80分为优良，估计九年级全体学生竞赛成绩为优良的学生人数．
【分析】（1）把条形统计图中的数据相加，得出一班抽取的学生人数；再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出二班抽取的学生的竞赛成绩为B等级的人数占二班抽取学生人数的百分比；
（2）根据中位数的定义即可得出答案；
（3）先求出抽查中成绩不低于80分的人数，再用总人数乘以成绩不低于80分的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）一班抽取的学生人数是：5+10+2+3＝20（人），
二班抽取的学生的竞赛成绩为B等级的人数占二班抽取学生人数的百分比是：1﹣35%﹣30%﹣25%＝10%，
故答案为：20，10%
（2）共有20人，中位数是第10、11个数的平均数，
一班抽取的竞赛成绩的中位数落在B等级，二班抽取的竞赛成绩的中位数落在C等级；
故答案为：B，C；
（3）根据题意得：
5+10+（10%+35%）×20＝24（人），
480×＝288（人），
答：估计九年级全体学生竞赛成绩为优良的学生人数有288人．
【点评】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知E是△ABC外一点，D是△ABC所在平面内一点，且满足∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE．
（1）如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE．
（2）如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，，求的值．
【分析】（1）由∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE，证明△BAD∽△CAE，得，变形为，再证明∠CAB＝∠EAD，则△ABC∽△ADE；
（2）由相似三角形的性质得＝，∠ABC＝∠ADE＝∠ACE＝30°，∠DAE＝∠BAC＝90°，则＝＝，＝tan30°＝，所以AE＝CE＝AD，则AD＝3CE，再证明△AFD∽△EFC，得＝＝3．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴△ABC∽△ADE．
（2）解：如图2，由（1）得△BAD∽△CAE，△ABC∽△ADE，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD＝1，AD＝，
∴＝，∠ABC＝∠ADE＝∠ACE＝30°，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴＝＝＝，＝tan∠ADE＝tan30°＝，
∴AE＝CE＝AD，
∴AD＝3CE，
∵∠ADF＝∠ECF＝30°，∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴＝＝3，
∴的值为3．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△BAD∽△CAE，进而证明△ABC∽△ADE是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线y＝kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点E的横坐标是﹣3，求点M的坐标．
（3）若0＜k＜2，求四边形MCDB的面积的最小值．
【分析】（1）依据题意，把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，求出b，c后即可求得解析式；
（2）依据题意，把x＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3，从而可得点E的坐标是（﹣3，﹣12），再代入y＝kx，可直线的解析式，进而联立方程组，解得，，故可得解；
（3）依据题意，把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，从而可得点C的坐标是（0，3）及OC，又y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，可得点D的坐标是（1，4），又把y＝﹣x2+2x+3与y＝kx联立方程组，得x2+（k﹣2）x﹣3＝0，可得，连接OD，又S四边形MCDB＝，再结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
∴．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由题意，把x＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3，
∴y＝﹣9﹣6+3＝﹣12．
∴点E的坐标是（﹣3，﹣12）．
把点E（﹣3，﹣12）代入y＝kx，得﹣3k＝﹣12，
∴k＝4．
∴直线的解析式是y＝4x．
联立方程组，得，．
∴．
∴点M的坐标是（﹣1，﹣4）．
（3）由题意，把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴点C的坐标是（0，3），OC＝3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D的坐标是（1，4）．
把y＝﹣x2+2x+3与y＝kx联立方程组，得x2+（k﹣2）x﹣3＝0，
∴．
如图，连接OD．
S四边形MCDB＝S△OCD+S△OBD﹣S△OCM﹣S△OBM
＝
＝．
∵，
当时，S四边形MCDB有最小值，最小值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．项目
甲原料x/克
乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位


其中所含铁质/单位


A
a
B
b
A
（A，a）
（A，B）
（A，b）
a
（a，A）
（a，B）
（a，b）
B
（B，A）
（B，a）
（B，b）
b
（b，A）
（b，a）
（b，B）
项目
甲原料x/克
乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位
0.4x
y
其中所含铁质/单位
0.8x
0.8y
项目
甲原料x/克
乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位
0.4x
y
其中所含铁质/单位
0.8x
0.8y