福建省福清西山学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

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一、单选题
1．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．某测量爱好者在城市CBD核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得摩天大楼顶部点P的仰角依次为30°，45°，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ）
A．350米B．400米C．450米D．500米
6．以下4个命题，其中正确的命题的个数为（ ）
（1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
（2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件；
（3）已知向量，若，，则；
（4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则.
A．0B．1C．2D．3
7．已知球O为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
8．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人．”
A．200B．100C．120D．140
二、多选题
9．已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．是方程的一个根
10．的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．
C．角A的最大值为D．面积的最大值为
11．已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（ ）
A．时，平面
B．时，平面平面
C．任意，三棱锥的体积为定值
D．过点的平面分别交于，则的范围是
三、填空题
12．设复数的共轭复数为，若，则 .
13．已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .
14．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则 .
四、解答题
15．已知的内角所对的边分别为，向量与平行.
(1)求；
(2)若，求的面积．
16．如图：在正方体中，为的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)若为的中点，求证：平面平面.
17．在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
18．如图1，在矩形中，，是与的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积的最大值.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，设点P为的费马点，求；
(3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值.