广东省清远市南阳中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（期中）数学试题

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选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ）
A．16B．12C．8D．4
3．已知平面向量，且，则（ ）
A．B．C．D．1
4．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
6. 在中，已知，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
7．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2016年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（ ）
A．B．C．D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
10.在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．周长的最大值为 D．面积的最大值12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，其中是实数，则__________.
13．设实数，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据，，的方差为____．
14．在中，已知向量与满足，且， 则角____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
已知向量.
（1）求和的值； （2）若向量与互相垂直，求的值.
16.（本题满分15分）
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
17.（本题满分15分）
已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，，点D在边上，且，求的长.
18.（本题满分17分）
如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．
（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体的体积；
（3）求证：平面平面AB1D．
（本题满分17分）
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值。