江西省新八校2024届高三下学期第二次联考（二模）数学试卷(含答案)

这是一份江西省新八校2024届高三下学期第二次联考（二模）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知角的终边经过点,则( )
A.B.C.D.
2．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点,则m的值为( )
A.4B.-2C.2D.-4
3．已知等比数列的前n项和为,,且,则( )
A. 120B. 40C. 48D. 60
4．从甲队60人、乙队40人中,按照分层抽样的方法从两队共抽取10人,进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1,方差为1;乙队答对题目的平均数为1.5,方差为0.4,则这10人答对题目的方差为( )
A. 0.8B. 0.675C. 0.74D. 0.82
5．已知,,且,则的最小值为( )
A.10B. 9C. D.
6．已知正方体的棱长为4,点满足,若在正方形内有一动点满足平面,则动点P的轨迹长为( )
A.4B.C.5D.
7．已知定义在R上的函数满足,,且,则( )
A.B.C.D.
8．已知,求( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设z,,为复数,且,下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则最大值为3
C.若,则
D.若,则在复平面对应的点在一条直线上
10．已知中,,,,为的角平分线,交于点E,D为中点,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.的面积为
D.P在的外接圆上,则的最大值为
11．若恒成立,则实数a的取值可以是( )
A.0B.C.D.
三、填空题
12．若集合,,且,则___________.
13．已知,分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上且不与顶点重合,满足,则该双曲线的离心率为____________．
14．球面上的三个点,每两个点之间用大圆劣弧相连接,三弧所围成的球面部分称为球面三角形．半径为的球面上有三点A,B,C,且,则球面三角形的面积为____________．
四、解答题
15．如图,圆台的轴截面为等腰梯形,,B为下底面圆周上异于A、C的点．

（1）点P为线段的中点,证明：直线平面;
（2）若四棱锥的体积为3,求直线与平面夹角的正弦值．
16．若数列满足条件：存在正整数k,使得对一切,都成立,则称数列为k级等差数列．
（1）若数列为2级等差数列,且前四项分别为2,0,2,4,求数列的前项和;
（2）若,且是3级等差数列,求数列的前项和．
17．已知函数
（1）当时,求函数的极值;
（2）设函数有两个极值点,,且,若恒成立,求m最小值．
18．已知椭圆,,分别是椭圆的左、右焦点,P是椭圆上的动点,直线交椭圆于另一点A,直线交椭圆于另一点B．
（1）求面积的最大值;
（2）求与面积之比的最大值．
19．在三维空间中,立方体的坐标可用三维坐标表示,其中,,而在n维空间中,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标,其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和,即为．回答下列问题：
（1）求出n维“立方体”的顶点数;
（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离．
①求X的分布列与期望;
②求X的方差．
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意,
由三角函数的定义得.
故选：A.
2．答案：D
解析：双曲线的右焦点为,所以抛物线的准线为,
,解得.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为数列为等比数列,设数列的公比为q,
若,则,
此时,由已知,即,
解得,不成立,所以;
因为,,
则有：,解得,,
所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：根据题意,按照分层抽样的方法从甲队中抽取人,
从乙队中抽取人,
这10人答对题目的平均数为,
所以这10人答对题目的方差为.
5．答案：C
解析：由已知,令,,
所以,,代入得：,
因为,,
所以
.
当且仅当时,即时等号成立.
的最小值为.
故选：C.
6．答案：C
解析：如图,在棱,上分别取点E,F,使得,,
连接,,,,,
因为,,
所以,,
因为平面,平面,
所以平面,
因为,所以,
又,正方体的棱长为4,
所以,,,
在棱上取点G,使得,
则且,又且,
所以且,所以四边形是平行四边形,
所以,
又且,则四边形是平行四边形,
所以,所以,
因为,
所以,则,
所以四边形是平行四边形,所以,
因平面,平面,
所以,平面,
因为,平面,
所以平面平面,
因为平面平面,
所以,在正方形内有一动点P满足平面时,
点P的轨迹为线段,
因为,
所以,动点P的轨迹长为5.
故选：C.
7．答案：A
解析：由,可知关于对称,又,则,
又,则,
,.
故选：A.
8．答案：D
解析：根据题意,,
由诱导公式,可得,
所以,
则
.
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A,令,,满足,但不成立,故A错误;
对于B,设,a,,
因为,则复数z的对应点在以原点为圆心,1为半径的圆上,的几何意义为到的距离,其最大值为,故B正确;
对于C,令,,则,,
满足,但,故C错误;
对于D,因为,设,对应的点为A,B,
若,则在复平面内对应点到A和B的距离相等,即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上,所以z在复平面对应的点在一条直线上,故D正确;
故选：BD．
10．答案：ACD
解析：在中,由余弦定理得,,
由角平分线定理得：,,所以A正确;
由得,解得,所以B错误;
,所以C正确;
在中,
设,则,由正弦定理得：
,其中,所以D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：由题知,,
①当时,在恒成立,
②当时,由,则,即恒成立,
设,则,令得,
所以当时,,则在单调递减,
当时,,则在单调递增,
所以,则,
所以,即满足题意;
③当时,设,则,令,,
当时,,则在单调递减,
当时,,则在单调递增,
所以在单调递增,且,,
所以,使得;
当时,,即,设,,
则,所以在上单调递减,
所以当时,;
当时,即,设,,
则,设,,
,设,,
则,
可知在内单调递增,
所以,即,
所以,
所以,
所以在上单调递增,
所以当时,,
又因为当时,,
所以当时,,解得,
又,所以,
综上,,
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为,,且,
所以且,显然,所以且,所以,
所以,,
所以.
故答案为：.
13．答案：或
解析：因为,所以,
所以,故P点在左支上,
作的内切圆M,设内切圆M与切于点C,与切于点B,
该内切圆M切于A点,
连接,,,,,则,,,
且平分,平分,
接下来证明点A为双曲线左顶点：
由双曲线的定义可知：,
因为,,,
所以,设点A坐标为,
则,解得：,故点A为双曲线的左顶点,
因为,
所以,所以
所以,所以,
所以,所以．
故答案为：.
14．答案：
解析：如图1所示,设过的大圆与过的大圆交于直径,过点A,B分别作,
垂足为M,连接,则,,
在中,由余弦定理得,,则,
所以,则,,
在中,由余弦定理得,,即,
由二面角定义得,二面角为,
在图2中,设过的大圆与过的大圆交于直径,过的大圆与过的大圆交于直径,同理可得,二面角为,二面角为;
设球的表面积为,则,设球面三角形的面积为,
则所在的大圆和所在的大圆,将球面分成了四个部分,其中面积较大的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍,
即,类似可定义,,且同理有,,
而根据球面被这三个大圆的划分情况,又有,
所以,
所以,
故答案为：．
15．答案：（1）证明见解析
（2）或
解析：（1）取中点H,连接,,则有,,
如图：

在等腰梯形中,,,
所以,,
则四边形为平行四边形,所以,
又平面,平面,所以直线平面．
（2）过点B作于D,在等腰梯形中,,
所以梯形的高,所以等腰梯形面积为,
所以四棱锥的体积,解得,
在中,由射影定理得,或,,
当,时,以为坐标原点,以过点平行与的方向,,所在直线为x,y,z坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系;
则有,,,
故,,,
设平面的法向量,故,
令,得,
设直线与平面夹角的大小为,
则,
所以直线与平面夹角的正弦值为;
当,时,以为坐标原点,以过点平行与的方向,,所在直线为x,y,z坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系;
则有,,,
故,,,
设平面的法向量,故,
令,得,
设直线与平面夹角的大小为,
则,
所以直线与平面夹角的正弦值为,
综上所述,直线与平面夹角的正弦值为或．
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为数列为2级等差数列,所以,对一切都成立,
因为,,
若n为奇数,由可知奇数项是常数列;
若n为偶数,由可知偶数项是首项为0,公差为4的等差数列;
所以．
（2）因为是3级等差数列,所以,对一切,都成立,
所以,
,
所以或,
当时,,
当时,,,
又因为,所以,此时
由于,
所以,
所以
．
17．答案：（1）极大值;极小值-2
（2）
解析：（1）当时,有,
令,即,解得或,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增;
所以时,取得极大值,极大值为,
时,取得极小值,极小值为.
（2）因为,
所以
由已知函数有两个极值点,,
所以方程有两个相异的正根
所以,即或,
又,所以,,所以;
所以对称轴为,二次函数与x轴交点为、,
且,所以在对称轴的右侧,则有,
因为,即 ,
所以,其中,
令,
则,
令,解得均不在定义域内,
所以时,,在上单调递减,
,
所以,即m最小值为.
18．答案：（1）3
（2）
解析：（1）设,,
设直线的方程为,
联立方程组,得,
所以,,
则,
点到直线距离为：,
所以,
令,
则,当即时面积取得最大值,
所以面积的最大值为3.
（2）设,,
设直线的方程为,
联立方程组,得,
即
所以,即,
同理可得：,
所以
化简得：,
当时,取得最大值.
19．答案：（1）个
（2）①分布列见解析,;②
解析：（1）对于n维坐标,,
所以共有种不同的点,即共有个顶点．s
（2）①对于的随机变量,在坐标与中有k个坐标值不同,剩下个坐标相同,此时对应情况数有种,
所以,
则X的分布列为：
所以,
倒序相加得,,
所以;
②
,
设,
两边求导得,,
两边乘以x后得,,
两边求导得,,
令得,,
所以．
X
1
2
P