江西省上进联考2024届高三下学期5月高考适应性大练兵试题数学含解析
展开高三数学试卷
试卷共4页,19小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内,复数对应的点的坐标为,则( )
A.B.C.D.
2.椭圆的长轴长与焦距之差等于( )
A.B.C.D.
3.函数的一个单调递减区间为( )
A.B.C.D.
4.已知平面向量,,其中,若,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
5.设是两个不同的平面,是两条共面直线,,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.为积极落实“双减”政策,丰富学生的课外活动,某校成立了手工艺社团,并开设了陶艺、剪纸等6门课程.该校甲、乙2名同学报名参加手工艺社团,每人仅报2门课程,其中甲不报陶艺、乙不报剪纸,且甲、乙两人所报课程均不相同,则甲、乙报名课程的方案种数为( )
A.18B.24C.36D.42
7.已知函数的图象关于点中心对称,则( )
A.3或B.2或C.或D.或
8.如图,将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到,其中,构成一个三棱锥.若该三棱锥的外接球半径不超过,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知是等比数列的前5项中的其中3项,且,则的前7项和可能为( )
A.B.C.D.
10.已知集合,,则下列结论正确的是( )
A.对,B.当时,
C.当时,D.,使得
11.已知定义在上的函数满足,的导函数为,则( )
A.B.是单调函数
C.D.为偶函数
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某新能源汽车店五月份的前8天汽车销量(单位:辆)分别为:,则这组数据的分位数为______.
13.在中,内角所对的边分别为,是的中点,,则______.
14.已知抛物线的焦点为,直线经过点交于两点,两点在的准线上的射影分别为,且的面积是的面积的4倍,若轴被以为直径的圆截得的弦长为,则的值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数,且曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)求的单调区间与最大值.
16.(15分)如图,在正三棱柱中,为的中点.
(1)证明:;
(2)若,,求直线与平面所成角的正弦值.
17.(15分)已知双曲线的离心率为2,顶点到渐近线的距离为.
(1)求的方程;
(2)若直线交于两点,为坐标原点,且的面积为,求的值.
18.(17分)已知袋中装有除颜色外均相同的4个黑球、1个白球,现从袋中随机抽取1个小球,观察颜色,若取出的是黑球,则放回后再往袋中加进1个黑球;若取出的是白球,则放回后再往袋中加进2个白球;第二次取球重复以上操作,记第次操作后袋中黑球与白球的个数之差为.
(1)求的分布列与数学期望;
(2)求在第2次操作中取出黑球的条件下,的概率.
19.(17分)我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究,即“垛积术”.对于数列,①,从第二项起,每一项与它前面相邻一项的差构成数列,②,称该数列②为数列①的一阶差分数列,其中;对于数列②,从第二项起,每一项与它前面相邻一项的差构成数列,③,称该数列③为数列①的二阶差分数列,其中按照上述办法,第次得到数列,④,则称数列④为数列①的阶差分数列,其中,若数列的阶差分数列是非零常数列,则称数列为阶等差数列(或高阶等差数列).
(1)若高阶等差数列为,求数列的通项公式;
(2)若阶等差数列的通项公式.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)求数列的前项和.
附:.
2023—2024学年高三5月高考适应性大练兵联考
高三数学参考答案及评分细则
1.【答案】A
【解析】 由题得,所以,所以.故选A.
2.【答案】B
【解析】 由题得,,所以,,所以长轴长,焦距,所以长轴长与焦距之差等于.故选B.
3.【答案】C
【解析】 令,则,由复合函数的单调性可知的单调递减区间为函数的单调递减区间,又函数为偶函数,结合图象可知函数的单调递减区间为和,即的单调递减区间为和.故选C.
4.【答案】A
【解析】 因为,所以,又,所以,当且仅当时等号成立.故选A.
5.【答案】B
【解析】 如图,,,,此时无法推出,所以“”不是“”的充分条件;由共面,设,则,,又因为,所以,所以“”是“”的必要条件,综上,“”是“”的必要不充分条件.故选B.
6.【答案】D
【解析】 按甲报的课程分为两类:①若甲报剪纸,则从除了陶艺的其他4门课程中再选1门,有种结果,乙再从剩余4门课程中选2门,有种结果,有种;②若甲不报剪纸,则从除了陶艺、剪纸的其他4门课程中选2门,有种结果,乙再从剩余除剪纸外的3门课程中选2门,有种结果,有种,综上,共有种方案.故选D.
7.【答案】A
【解析】 ,其中,.因为的图象关于点中心对称,所以,所以,所以,,所以,当时,;当时,,综上,或.故选A.
8.【答案】C
【解析】 如图,由正知,取线段的中点,取线段上靠近点的三等分点,则为正的外心.取的中点,连接,由知,为线段的中垂线.在平面内过作的垂线交于,连接,则即为三棱锥的外接球球心,翻折的角即为的大小.设,易知,,,,,则,化简得,又,所以,解得,结合,可解得,故,即.故选C.
9.【答案】AB(每选对1个得3分)
【解析】 设等比数列的公比为,由于等比数列中所有奇数项同号,所有偶数项同号,结合已知可知,其中2,8这两项的奇偶性相同,又,故或8.①若,,可得,此时,符合题意,所以的前7项和为;②若,,可得,此时,,符合题意,所以的前7项和为.综上,的前7项和为或.故选AB.
10.【答案】AB(每选对1个得3分)
【解析】对,A正确;当时,联立解得所以,B正确;当时,若,则;若,则直线与直线平行,所以,解得,C错误;若,则,无解,D错误.故选AB.
11.【答案】ACD(每选对1个得2分)
【解析】 令,得,得,令,得,得,A正确;由可知不是单调函数,B错误;令,得,所以,所以,C正确;对两边求导得,即,所以为偶函数,D正确.故选ACD.
12.【答案】13
【解析】将这8个数据从小到大排列得,因为,所以这组数据的分位数为.
13.【答案】
【解析】由题得,所以,即,所以,所以.
14.【答案】
【解析】当点在第一象限时,由抛物线的定义可得,,所以,所以,所以.如图,过点作于点,所以,所以,所以,所以,所以直线的斜率.则直线,与联立得,解得,,所以,所以以为直径的圆的半径,圆心到轴的距离,所以弦长为,解得.当点在第三象限时,由对称性可得.综上,.
15.解:(1)由题得,所以切点的坐标为,
代入切线方程得,解得.
所以切线方程为,所以.
又,所以,解得.
(2)由(1)知,所以,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为,
所以的最大值为.
【评分细则】
第(2)问中结果为也正确.
16.(1)证明:取的中点,连接,又为的中点,所以,
又,所以,所以直线确定一个平面,
因为平面,平面,所以,
又,所以,
又,所以平面,
又平面,所以.
(2)解:由(1)可得平面,平面,平面,所以,,以为原点,的方向分别为轴的正方向建系如图,
则,,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
由得
取,则,,所以,
设直线与平面所成的角为,
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
【评分细则】
1.第(1)问中可用空间向量法求解,若采用不同方法建系,酌情给分;
2.第(2)问若采用几何法求解,酌情给分.
17.解:(1)记的半焦距为,由题得的离心率,①
由对称性不妨设的顶点为,渐近线方程为,则,②
又,③
联立①②③解得,,,
所以的方程为.
(2)设,联立得,
所以解得,且
,,
所以.
又点到直线的距离,
所以的面积,
解得或.符合式,
所以或.
【评分细则】
1.第(1)问中求双曲线方程不写成标准形式,不扣分;
2.第(2)问中不列判别式扣1分;
3.第(2)问中求出值后不检验扣2分.
18.解:(1)两次操作取出的球均为黑球,则第2次操作后袋中有6个黑球、1个白球,此时,
所以;
两次操作取出的球均为白球,则第2次操作后袋中有4个黑球、5个白球,此时,
所以;
两次操作取出的球中黑、白球各一次,则第2次操作后袋中有5个黑球、3个白球,此时,
所以,
所以的分布列为
所以.
(2)记事件为“在第次操作中取出黑球”,事件为“第3次操作后袋中黑球与白球的个数之差为3”.
则,
若第1次操作取到的是白球,且第2次操作取到的是黑球,则第2次操作后袋中有5个黑球、3个白球,
①若第3次取到的是白球,则第3次操作后袋中有5个黑球、5个白球,此时;
②若第3次取到的是黑球,则第3次操作后袋中有6个黑球、3个白球,此时;
若第1次操作取到的是黑球,且第2次操作取到的是黑球,则第2次操作后袋中有6个黑球、1个白球,
①若第3次取到的是白球,则第3次操作后袋中有6个黑球、3个白球,此时;
②若第3次取到的是黑球,则第3次操作后袋中有7个黑球、1个白球,此时,
所以表示第1次操作取到的是白球,且第2次和第3次操作取到的是黑球或第1次和第2次操作取到的是黑球,且第3次操作取到的是白球,所以,
所以.
【评分细则】
1.第(1)问中求也可用直接法求;
2.第(1)问中计算各概率值时,概率值未写成最简分数的形式,不扣分;
3.第(1)问期望值和第(2)问概率值均非最简结果,扣掉1分,只有一个不是最简结果,不扣分.
19.解:(1)数列的一阶差分数列为,
二阶差分数列为,为非零常数列,
所以,即,且,
所以数列是首项为1、公差为4的等差数列,
所以,即,且,
所以当时,
,
当时,,也满足上式,
综上,数列的通项公式为.
(2)(ⅰ),所以,
,
所以,
所以,
所以数列是4阶等差数列,即.
(ⅱ)
,
所以,
又
,
所以
.
【评分细则】
1.第(ⅰ)问通过观察猜测通项公式,写对给2分;
2.第(ⅱ)问若用其他解法,酌情给分.
2
5
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