广东省广州市普通高中2024届高三冲刺训练(三)数学试卷含答案
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答案:B【详解】因为复数,所以对应的点为,位于第二象限.
3.答案:B【详解】因为为等差数列,,所以,所以.
4.【答案】C【详解】选项A:当满足时,可能相交,如图:用四边形代表平面,用四边形代表平面,故A错误;选项B:当满足时,可能相交,如图:用四边形代表平面,用四边形代表平面,故B错误;选项C:因为,又,所以,故是的一个充分条件,故C正确;
当满足与相交时,可能相交,如图:用四边形代表平面,用四边形代表平面,故D错误;
5.【答案】D【详解】由题意知,抛物线的准线方程为,又因为,
则点,又因为点在双曲线的渐近线上,所以,
所以双曲线的离心率
6.【答案】C【详解】由,得,
于是,即,
由,,得,则或,
即或(不符合题意,舍去),所以.故选:C
7.【答案】D【详解】设正四面体的棱长为,则其内切球、棱切球、外接球的半径分别为.由题意知,球的球心落在正四面体的几何中心,即内切球、棱切球、外接球公共的球心,又球的半径为定值。当球是正四面体的外接球时,棱长最小,此时,得.当球是正四面体的内切球时,最大,此时,得
故正四面体的棱长的取值范围为.故选:D.
8.【答案】A【详解】由题意知,设,则,如图所示,
由可得,
整理得,即,又因为,所以,
所以,所以,
在中,由余弦定理得,所以,
由中线长公式,中线长,
9答案:BCD
10.答案:ACD【详解】对A:由题意可知的定义域为,,
令,解得,当时,,当时,,故A正确;
对B:当时,取得极大值为,故B错误;
对C:由上分析可作出的图象,要使方程有两个不等实根,只需要与有两个交点,由图可知,,所以实数的取值范围为,故C正确.
对D:设曲线在处的切线经过坐标原点,则切线斜率,解得,,所以切线斜率,所以切线方程为,故D正确.
11.答案:ABD【详解】对于A,设点在准线上的投影为,准线与轴交于点,
又,,则,所以,故A正确;
对于B,设点在准线上的投影为点,易证,又,
,即,,,故B正确;
对于C,分两种情况:当点都在第一象限,设,,
由焦半径公式可得,,,
令,
设,且,
,当且仅当时取得最小值.
当点在第二象限时,设,,
则,,所以,
同理令,且,,
所以,当且仅当时取得最小值,
综上,面积的最小值为,故C错误;
对于D,当点都在第一象限,,,
则,所以,即,,
当点在第二象限时,同理可得,即,,
综上,的面积大于,故D正确. 故选:ABD.
12.【答案】20 【详解】由,
令可得,,∴.
在 中,令,可得,
∴
13.【答案】【详解】根据题意,设甲获胜为事件,比赛进行三局为事件,
,,
故.
14.【答案】【详解】不等式,即,
设,,
设,,所以单调递增,且,,
所以存在,使,即,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以,
因为,所以,
当时,,当时,,
不等式有整数解,即有整数解,
若时,即,因为函数在上单调递减,在上单调递增,
所以时,,所以无整数解,不符合题意,
当时,因为,显然是的两个整数解,符合题意,
综上可知,.
15.【详解】(1)解:由题意知:数列是公差为的等差数列,
当时,,所以,整理得:, 分
又当时,, 分
因为满足上式, 分
所以,故数列的通项公式为 分
(2)解:由(1)知,可得, 分
故; 分
解法1:由,可得, 分
即,则, 分
又由, 分
当且仅当时取等号,故实数的取值范围为. 分
解法2:由, 分
可得, 分
当,即时,, 分
则,故实数的取值范围为. 分
16. 分
,,, 分
, 分
延长BC,AD,设BC的延长线和AD的延长线交点为M,连接PM,
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM 分
证明:取AD的中点E,连接PE,,E是AD的中点,
,平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,,平面ABCD, 分
,,即 分
以点B为坐标原点,以直线BA、BM分别为轴,以过点B作平面ABCD的的垂线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 分
则,,,,
,,, 分
设,则, 分
设平面PCD的法向量为,则,即,
令,得, 分
设平面CDN的法向量为,则,
即
令,可得, 分
夹角的余弦值为
,, 分
解得:或, 分
即在直线l上存在点N,的夹角的余弦值为,
此时或 分
17、【详解】(1)设最低正常使用零下温度的第60百分位数为,
由直方图可知最低正常使用零下温度在的频率为0.4,
在的频率为0.65,因此最低正常使用零下温度的第60百分位数一定在内,分
则有,解得,
所以最低正常使用零下温度的第60百分位数为28℃. 分
(2)①由题意可知的可能值是0,1,2,3,, 分
; 分
; 分
; 分
,
所以的分布列为
分
②由题意可知,设抽到类锂电池的数量为,则, 分
若抽到块的可能性最大,
则,, 分
即 分
即解得, 分
由于,故. 分
18、【详解】(1)解:设所求轨迹E上的任意点为(x,y),与x2+y2=2对应的点为(x1,y1),
根据题意,可得x=x1y=22y1,即x1=xy1=22y,
代入方程x2+y2=2,可得x2+(22y)2=2,整理得x22+y2=1,
所以曲线E的轨迹方程为x22+y2=1. - ------5分
(2)方法一:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
设直线AC的方程为x=ty+1−−−−−−−6分,
联立方程组x=ty+1x22+y2=1,整理得(t2+2)x2+2ty−1=0,−−−−−−−8分
则y1+y3=−2tt2+2,y1y3=−12+t2−−−−−−−9分,
又因为t=x1−1y1,点A(x1,y1)在椭圆x22+y2=1上;
所以y3=−12+t21y1 = −y12y12+(x−1)2=y12x1−3;−−−−−−−11分
x3=ty3+1=x1−1y1y12x1−3+1=3x1−42x1−3,−−−−−−−12分
C(3x1−42x1−3,y12x1−3),同理可得D(3x2−42x2−3,y22x2−3),−−−−−−−13分
又因为P,A,B三点共线,可得y1x1+2=y2x2+2,−−−−−−−14分
即x2y1−x1y2=2(y2−y1),−−−−−−−15分
所以kCD=y22x2−3−y12x1−33x2−42x2−3−3x1−42x1−3=2(x2y1−x1y2)+3(y2−y1)x2−x1=7(y2−y1)x2−x1=4kAB,−−−−−−−16分
所以tanαtanβ=kABkCD=17.−−−−−−−17分
方法二:解:设直线AC的方程为y=k(x−1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
联立方程组y=k(x−1)x22+y2=1,整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0,
则Δ=(−4k2)2−4(1+2k2)(2k2−2)>0,且x1+x3=4k21+2k2,x1x3=2k2−21+2k2,
可得32x1+x3−x1x3=2+4k21+2k2=2,所以x3=3x1−42x1−3,
可得y3=y1x1−1⋅(3x1−42x1−3−1)=y12x1−3,
所以C(3x1−42x1−3,y12x1−3),下同方法一。
19、【详解】(1)根据题意可知,不等式在上恒成立,
设,则,,
设,则,,则,
若,存在区间,使在区间上单调递减;
则,则在区间上单调递减,
则,不满足题意,故,即.
下证明:当时,不等式成立,因为,,
设,则,
设,则,所以在上单调递增,
则,则成立,
故在上单调递增,则,所以恒成立,得证,
综上知,. 分
(2)当时,,设,
则,则函数单调递增,,单调递增,
,,
在上单调递减,上单调递增,
又,,
,,
,.
由于,,,,
由于在上单调递增,.
累加得. 分
(3)要证即证.
即证.,设
,时,在上单调递增,即在上单调递增,
设,,
由于在上单调递增,,,在单调递增.
又,时
因此恒成立,
原不等式恒成立,得证. 分0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216