广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月阶段性联合调研考试数学试题

这是一份广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月阶段性联合调研考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．样本数据12，11，7，15，9，10，12，8的中位数是
A．12B．11C．10D．10.5
2．为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本．已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550．现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为
A．9B．10C．11D．12
3．已知在R软件的控制台中，输入“”，按回车键，得到的4个范围内的不重复的整数随机数为12，6，10，4，则这4个整数的标准差为
A．B．C．40D．10
4．如图所示，，，则
A．B．C．D．
5．一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为
A．225B．295C．235D．305
6．已知样本数据，，…，的平均数为14，样本数据，，…，的平均数为a，若样本数据，，…，，，，…，的平均数为，则
A．12B．10C．2D．11
7．已知，且，则在上的投影向量为
A．B．C．D．
8．P是内一点，，，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，则下列结论正确的是
A．若z为实数，则B．若，则
C．若z在复平面内对应的点位于第一象限，则D．若，则
10．一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是
A．“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件
B．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件
C．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件
D．“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件
11．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，，点C的曲率为，D，E，F分别为，，的中点，则
A．直线平面B．在三棱柱中，点A的曲率为
C．在四面体中，点E的曲率小于D．二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．复数的虚部为 ▲ ．
13．已知向量，，．若，则 ▲ ；若，则向量与a的夹角为 ▲ ．
14．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，河北廊坊市某校开发出文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程．为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为x，y，z，m，n（，x，y，z，m，）．已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 ▲ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知第届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示．
（1）求第届亚运会中国队获得的金牌数的极差；
（2）剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；
（3）设第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由．
16．（15分）
在△ABC中，．
（1）求角C的大小；
（2）若D在边上，，且，，求的面积S．
17．（15分）
暑假将至，小梁计划外出旅游，翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱，但因时间太久，小梁已经忘记了密码，只记得这个密码是一个三位数，并且每个数位上的数字都是7，8，9中的一个．
（1）若小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率；
（2）若在小梁通过技术获得了这个密码的首位数字后，小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码正确的概率．
18．（17分）
已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）．
尺寸大于M的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器中．
（1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数．
（2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件．
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于M的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于M的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元．
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元．
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案．
19．（17分）
如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且E，F，H分别为线段，，的中点．
（1）证明：．
（2）证明：平面平面．
（3）若，，，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积V．
高一年级5月阶段性考试
数学参考答案
1．D 将数据从小到大排列：7，8，9，10，11，12，12，15．故这组数据的中位数是．
2．A 依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为．
3．B 这4个整数的平均数为，
则这4个整数的标准差为．
4．C ．
5．C 因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为，故样本中数据在内的个数为．
6．B 根据题意可得，解得．
7．A 如图，依题意可得点O为的外心．
因为，所以，所以，则四边形为菱形．设，则．因为，所以在上的投影向量为．
8．D 设，因为，所以．
由正弦可得，，
则，
则，
解得．
9．AD 若z为实数，则，A正确．若，则，则
，解得，B错误．若z在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得，C错误．若，则，解得，，则，D正确．
10．ABD 一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆的基本事件有，，，，，，则“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件，A正确．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件，B正确．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”不是互斥事件，C错误．“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件，D正确．
11．ABD 取的中点G，连接，．因为D，E，F分别为，，的中点，所以可证平面平面，因为平面，所以直线平面，A正确．
在直三棱柱中，平面，则，，所以点C的曲率为，解得，因为，所以，所以点A的曲率为，B正确．
连接，易证平面，则，所以，又，所以，在四面体中，点E的曲率为，C错误．
过A作的延长线，垂足为H，连接，则，则为二面角的平面角，通过计算得，则，所以，D正确．
12．2 因为，所以复数的虚部为2．
13．3； 若，则，得．若，则，即，解得，则，．设向量与的夹角为，则，因为，所以．
14．0 依题意得，，化简得，．易知，，得．
又因为，所以，，，，这5个数的绝对值不超过4．当时，，无解；当时，，由，x，y，z，m，，得这四个平方数只能为0，1，1，9，则，，，，符合题意，此时；当时，，无解．综上，．
15．解：（1）第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为．
（2）剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为．
（3）．
理由如下：
因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性比第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以．
16．解：（1）由题意得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）因为，所以．
在中，由正弦定理得，解得，
则或（舍去），
得，则．
故．
17．解：由题可知，所有的密码情况包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共27种．
（1）不妨设正确的密码为，则恰有两位数字正确的密码包括，，，，，，共6种，
故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率为．
（2）不妨设正确的密码为，小梁通过技术获得了这个密码的首位数字为9，则小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码可能为，，，，，，，，，共9种，
故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码正确的概率为．
18．解：（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为．
（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为．
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为．
故．
因为，所以．
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二．
19．（1）证明：如图，连接，与交于点O．
因为平面，平面，所以．
又因为，，所以平面．
因为平面，所以．
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则．
因为平面，所以，，
所以，即．
（2）证明：延长交于点M，连接．
由中位线性质可得，因为，所以．因为平面，平面，所以平面．
易得M为的中点，则．
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面．
（3）解：设，．因为，所以，则，
，．
设点B到平面的距离为d，与平面所成的角为，
则．
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大．
的体积
．