河南省郑州市郑中国际学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷

这是一份河南省郑州市郑中国际学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列能断定为等腰三角形的是( )
A. ，B. ，
C. D. ，，周长为13
2.如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列说法不正确的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4.如图，在中AB、AC的垂直平分线，相交于点O，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.下列命题中错误的命题有个( )
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③有一组对应角是的两个等腰三角形全等；④顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；⑤一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等．
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.关于x的不等式组的解集是，那么a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，BD，CD分别是和的角平分线，过点D作于点已知，的周长为14，则的面积为( )
A. 7
B. 14
C. 8
D. 16
9.在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放.点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，设第n秒点P运动到点为正整数，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
10.如图，C为线段AE上一动点不与点A、E重合，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论：
①；②；③；④；⑤；
⑥是等边三角形；⑦点C在的平分线上，其中正确的有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设__________.
12.已知关于x、y的方程组的解是正数，则a的取值范围是______.
13.现有一批学生住若干间宿舍，若每间住4人还余19人，若每间住6人将有一间宿舍不满不空，则学生人数最多有______人.
14.如图，在中，，，，点D在边BC上，，连接将沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，作，垂足为F，则______.
15.如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，，若，，则______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：
；
17.本小题6分
两个小区A、B与两条马路公路，位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在C处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区A、B的距离必须相等，到两条马路，的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点
18.本小题9分
已知关于x，y的方程组
若该方程组的解满足，求m的值；
若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围；
在的条件下，若不等式的解为，求m的整数值.
19.本小题10分
如图，已知AC平分，于E，于F，且
求证：；
若，，，求CF的长．
20.本小题10分
如图所示，在四边形ABCD中，，E为C的中点，连结，延长AE交BC的延长线于点
求证：；
若，则BE与AF垂直吗？为什么？
21.本小题10分
给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如：，，，，试解决下列问题：
填空：若，则实数a的取值范围为______；
已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围.
求满足的所有非负实数c的值.
22.本小题10分
“人间烟火气，最抚凡人心.”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度.某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元.
求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元.结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案.
23.本小题12分
问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接
①的度数为______；
②线段AE、BD之间的数量关系为______；
拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接AE，试求的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；
B、，有相等的角，则是等腰三角形，选项正确；
C、，
，
，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；
D、，，周长为13，
，没有相等的边，则不是等腰三角形，选项错误；
故选
判断三角形中是否有相等的角，以及根据定义，是否有相等的边即可判断．
本题考查了等腰三角形的判定定理，理解定理是关键．
2.【答案】B
【解析】解：如图，
直尺的两边互相平行，
，
，
故选：
根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，准确识图是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由得，，说法正确，故A不符合题意；
由得，，说法正确，故B不符合题意；
由得，当时，，原说法错误，故本选项符合题意；
若，则，说法正确，故D不符合题意．
故选：
根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：连接AO，
垂直平分AB，垂直平分AC，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故选：
由垂直平分线的性质可得，，根据“等边对等角”可得，，从而，根据三角形的内角和定理求得，从而得到，根据可求得
本题考查垂直平分线的性质，关键是垂直平分线性质定理的应用．
5.【答案】D
【解析】解：两个全等的三角形不一定关于某直线对称，①是假命题；
等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，②是假命题；
有一组对应角是的两个等腰三角形不一定全等，③是假命题；
顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，④是真命题；
一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形不一定全等，⑤是假命题；
故选：
根据轴对称的概念、等腰三角形的三线合一、全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】A
【解析】解：解不等式，
得：，
关于x的不等式组的解集为，
故选：
先解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可得到a的取值范围．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．掌握一般解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是关键．
7.【答案】B
【解析】解：观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为
故选：
根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：过D点作于F，于H，连接AD，如图，
，CD分别是和的角平分线，，
，，
故选：
过D点作于F，于H，连接AD，如图，根据角平分线的性质得到，，再根据三角形的面积公式得到
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9.【答案】D
【解析】解：，，，，，，……，6个点为一个循环，
……1，
的坐标是，
故选：
先求出前6个点的坐标，找出规律，再计算求解．
本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图1如示：
和是正三角形，
，，，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
结论①正确；
≌，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，
结论②、③、⑥正确；
≌，
，
又，
，
，
，
又，
，
结论⑤正确；
若，
，
，
，
又，
与是等边三角形相矛盾，假设不成立，
结论④错误；
过点C分别作，于点M、N两点，
如图2所示：
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又在的内部，
点C在的平分线上，
结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故选：
由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明≌，其性质得结论①正确；角边角证明≌得，其结论③正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论⑥正确；判定两线，结论②正确；角角边证明≌，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点C在的平分线上，结论⑦正确；反证法证明命题，结论④错误；即正确结论共6个．
本题综合考查了全等三角的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
11.【答案】三角形的三个内角都小于
【解析】解：用反证法证明三角形中至少有一个角不小于，
第一步应假设结论不成立，
即三角形的三个内角都小于
故答案为：三角形的三个内角都小于
熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．
此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
12.【答案】
【解析】解：解方程组，
得：，
、y是正数，
，
解得：，
故答案为：
要先用字母a表示出方程组的解，然后根据方程组的解的情况得到关于a的不等式组即可．
主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确进行计算是解题关键．
13.【答案】67
【解析】解：方法1：设有x间宿舍，
最后一间不空也不满，
最后一间房的人数大于0小于6，
或或或或，
解得，11，12，
当时，；
当时，；
当时，；
故学生人数最多有67人．
方法2：设有x间宿舍，依题意有
，
解得，
则当时，人
故学生人数最多有67人．
故答案为：
设有x间宿舍，则有学生人，理解“有一间宿舍不满不空”，最后一间房的人数大于0小于6，根据题意列出方程即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用，这类题考查分析理解能力，并且要结合实际求出问题答案，思考要周密，重点理解不满不空的意思．
14.【答案】2
【解析】解：，，
在中，
，，，
是等边三角形，
，
根据翻折的性质可得，，，
又，
，
，
故答案为：
先证明是等边三角形，则可得，则，根据翻折的性质，可得，DE的长．在中，根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”即可求出FD的长．
本题主要考查等边三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质．熟练掌握以上知识，证明是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：在CD外侧作等边，连接AE，则，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
故答案为：
在CD外侧作等边，连接AE，易证，进而可以证明≌，可得，在中根据勾股定理可以求得DE的长，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，证明≌是解题的关键．
16.【答案】解：，
不等式去分母，得，
去括号，移项，得，
解得，
在数轴上表示为：
，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

【解析】根据解不等式的方法，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可；
先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分，得到不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．
17.【答案】解：如图，点C即为所求．

【解析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的判定解决问题．
作的角平分线OP，作线段AB的垂直平分线MN，MN交OP于点C，点C即为所求．
18.【答案】解：，
①+②得：，即，
代入得：，
解得：，
故m的值为2023；
，
①+②得：，即③，
③+②得，
，
③-①得，
，
，y均为正数，
，
解得：；
不等式移项得：，
不等式的解为，
，
解得：，
又，
的取值范围为，
整数m的值为或
【解析】用加减消元法解出x和y的值，把x和y用含有m的式子表示，代入，求出m的值即可；
将m暂时当做已知数解方程组，把x和y用含有m的式子表示出来，再根据x，y均为正数，列出关于m的一元一次不等式组，解之即可，
不等式的解为，根据不等式得性质得到，得到m的取值范围，再根据的范围，求得m最终的取值范围，即可得到答案．
本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
19.【答案】证明：平分，于E，于F，
，，
在和中，
，
≌；
由知：，≌，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
在中，根据勾股定理可求得，

【解析】由角平分线的定义及所给条件利用AAS可证明≌，进而解答即可；
结合中的全等可证明，可得，再由，可证得，利用线段和差可求得BE、AE，在中可求得CE，则可求得
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和
20.【答案】证明：，
，
是CD的中点，
，
在与中，
，
≌，
；
解：
理由：由知≌，
，，
，
，
即，
≌，
，

【解析】只要证明≌即可；
想办法证明，理由等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有2个得，，
故；
，为整数，设，k为整数，
则，
，
，，
，
，1，2，
则，，
根据题意列不等式即可得到结论；
首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围；
利用，设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可；
此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
22.【答案】解：设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
设购进腊梅m束，则购进百合束，
根据题意得：，
解得：，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，则，
即，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最大值，最大值元，此时束
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据“购进腊梅5束，百合3束，需要114元；购进腊梅8束，百合6束，需要204元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进腊梅m束，则购进百合束，根据“购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每束花的销售利润销售数量购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
23.【答案】解：①；②
，理由如下：
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
都是等腰直角三角形，CM为中DE边上的高，
，
；

【解析】【分析】
①由“SAS”可证≌，根据全等三角形的性质求出的度数；
②根据全等三角形的性质解答即可；
根据≌得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段CM、AE、BM之间的数量关系；
根据≌解答即可．
【解答】
解：①和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
②≌，
，
故答案为：；
见答案；
是等腰三角形，，
，
，
≌，
，
，
是等腰三角形，，
，
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．