广东省茂名市高州市2024届高三第一次模拟考试数学试题（学生版+教师版）

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4. Gmpertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A. 16B. 32C. 64D. 128
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆，则（ ）
A. 圆的圆心坐标为
B. 圆的周长为
C. 圆与圆外切
D. 圆截轴所得的弦长为3
10. 中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、颂月等活动，以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A. 样本的众数为75
B. 样本的分位数为75
C. 样本的平均值为68.5
D. 该校学生中得分低于60分的约占
11. 已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（ ）
A. 是奇函数B.
C. 的图象关于对称D.
12. 如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（ ）
A. 球体积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 最大值为3
D. 若为中点，则平面截球的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏.
14. 如图，在边长为1小正方形组成的网格中，则______.
15. 已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为______.
16. 已知函数的图象过点，其导函数的图象如图所示，若方程在上有且仅有两个实数根，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在中，内角的对边分别是，且.
（1）求的大小；
（2）若是边的中点，且，求面积的最大值.
18. 已知等差数列的前项和为，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19. 近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零部件进行检测.
（1）若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率；
（2）若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数的分布列及其期望值.
20. 如图，在三棱柱中，，，，平面，为的中点，为线段上的动点.
（1）当为中点时，求证：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
21. 已知抛物线，为抛物线的焦点，其为准线上的两个动点，且.当时，.
（1）求抛物线标准方程；
（2）若线段分别交抛物线于点，记的面积为，的面积为，当时，求的长.
22. 设函数，.
（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若在上存在零点，求实数的取值范围.