广东省韶关市乐昌市第二中学2024届高三下学期保温测试（5月模拟）数学试题（学生版+教师版）

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1. 已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，若，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知，则（ ）
A B.
C. D.
5. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A. B. C. 4D. 6
8. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）
A. 与相互独立B. 与互斥C. D.
11. 已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D. 若圆的半径为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为虚数单位．若集合，，且，则______．
13. 已知轴为函数图像的一条切线，则实数的值为___________.
14. 在平面直角坐标系中，圆方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且．
（1）求角；
（2）若，，求．
16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.
（1）证明：；
（2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为.
17. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．
（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；
（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据及公式：，，，．
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均可支配收入
3.65
3.89
4.08
4.30
4.65
4.90
5.12