辽宁省沈阳铁路实验中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷（学生版+教师版）

这是一份辽宁省沈阳铁路实验中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷（学生版+教师版），文件包含辽宁省沈阳铁路实验中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷教师版docx、辽宁省沈阳铁路实验中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。

命题：邢晓研 审题：倪生利
时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.
1. 等比数列中，，，则（ ）
A. 32B. 24C. 20D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知求出首项和公比,再求.
【详解】由题得
所以.
故选：A.
2. 已知5个成对数据的散点图如下、若去掉点，则下列说法错误的是（ ）
A. 变量x与变量y呈负相关B. 变量x与变量y的相关性变强
C. 残差平方和变小D. 样本相关系数r变大
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可.
【详解】由散点图可知，去掉点D后，与的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确，
由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确，
由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误，
故选：D.
3. 在数列中，，，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解.
【详解】由题意可得：，
由此可以发现数列的周期是3，
从而.
故选：A.
4. 从一批含有13件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由数学期望的性质即可求解.
【详解】由题意,故.
故选：B.
5. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：
由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解.
【详解】因为，
所以，
即经验回归方程，
当时，，
所以，
即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，
故选：B
6. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A. 15B. C. 或15D. 或-15
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件先求解出的值，然后根据等比数列前项和公式求解出结果.
【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，
因为成等差数列且，
所以，
所以，解得或（舍），
因为，所以，
所以.
故选：B.
7. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决.
【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.
乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为.
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为.
解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为.
故选：C.
8. 一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ）
A. 事件与事件不为互斥事件B. 事件与事件不是相互独立事件
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球，进而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再讨论各选项即可得答案.
【详解】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球.
故事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个白球，且；
事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个红球，且；
事件包含：个红球个白球；个红球个白球，且.
所以，，，
因为，则事件与事件不为互斥事件，A选项正确；
，故事件与事件不是相互独立事件，B正确；
，故D错误；
，故C正确；
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分对给部分分，有选错得0分.
9. 数列的前n项和为，已知，则（ ）
A. B. 是递减数列
C. 当时，D. 当或4时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据的关系求出数列的分段表达式，然后结合数列的性质即可逐一判断各个选项求解.
【详解】，时，
，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，显然，当时，当且仅当，故C正确；
对于D，由于，所以当或4时，取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
参考公式及数据：①，
②当时，.
A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试；男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
D. 根据小概率值的独立性检验，没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关
【答案】BD
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断B，根据平均公式判断C，计算出卡方，即可判断D，.
【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误；
对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人，
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确；
对于C：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为、，
又男生的平均成绩为，女生的平均成绩为，所以参加测试的学生成绩的均值为，故C错误；
对于D：因为，
所以根据小概率值的独立性检验，没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关，故D正确；
故选：BD.
11. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A. 数列是等比数列
B. 数列是等差数列
C. 数列通项公式为
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由可得，，可判断A,B的正误，再求出，可判断C的正误，利用裂项相消法求，可判断D的正误.
【详解】因为，
所以，，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；
所以，即，故C正确；
因为，
所以，
故D错误；
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共15分.
12. 设等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】26
【解析】
【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.
【详解】由已知，所以.
则.
故答案为：.
13. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
【答案】32
【解析】
【分析】
因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故答案为：32.
【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息.
14. 已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望即可.
【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
时，分两种情况：
①三个数中只有一个1，有种；
②三个数中有两个1，有种，
所以时，，
时，也分两种情况：
①三个数中只有一个2，有种；
②三个数中有两个2，有种，
所以时，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知甲箱中有厚度相同的2本文学小说和3本散文集，乙箱中有厚度相同的3本文学小说和2本散文集.
（1）若从甲箱中取出2本书，求在2本书中有一本是文学小说的条件下，另一本是散文集的概率；
（2）若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1本书，求取到一本文学小说的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式进行求解即可；
（2）根据全概率公式进行求解即可.
小问1详解】
设两本书中至少有一本是文学小说，两本书中有一本是散文集，
；
【小问2详解】
设取到的书来自甲箱，取到一本文学小说，
.
16. 记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
小问2详解】
因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
17. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.
【答案】（1）
（2）当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值
【解析】
【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；
（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.
【小问1详解】
解：令，则关于的线性回归方程为，
由题意可得，
，则，
所以，关于回归方程为.
【小问2详解】
解：由可得，
年利润
，
当时，年利润取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.
18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式：
（2）设的前项和为，证明：；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过等比数列的基本量运算求出，再求出，进而通过等差数列的基本量运算求出；
（2）由作差法以及等比数列求和公式即可得证；
（3）结合（1），通过错位相减法求得答案.
【小问1详解】
设的公差为d，的公比为q，则，所以，
则，即，
所以
【小问2详解】
因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
从而，即.
【小问3详解】
由（1），记的前n项和为，
所以①
则②，
①-②，得：，
所以.
19. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望．
附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】（1）；
（2）（i）1587；（ii）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；
（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正泰分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.
【小问1详解】
由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．
从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，
因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为．
【小问2详解】
由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值
，
则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布．
（ⅰ）因为，所以．
故参赛学生中成绩超过79分的学生数为．
（ⅱ）由，得，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为．
所以随机变量服从二项分布，
所以，，
，．
所以随机变量的分布列为：
均值．
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
2
2.4
3
3.6
4
喜欢天宫课堂
不喜欢天宫课堂
男生
80
20
女生
70
30
0
1
2
3
P