苏科版1.2 全等三角形练习题

这是一份苏科版1.2 全等三角形练习题，文件包含第06讲等边三角形知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第06讲等边三角形知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。

1. 理解等边三角形的定义.
2. 探索并证明等边三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等边三角形的判定定理.
4. 通过探究掌握 30°角的直角三角形的性质与应用.
5. 经过应用等边三角形的性质与判定的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力.
6. 通过探究含 30°角的直角三角形的性质的过程；增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题，解决问题的能力.
知识点1 等边三角形的概念与性质
等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
知识点2 等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点3 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点4：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【题型1等边三角形的性质】
【典例1】（2022秋•峨边县期末）如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝1，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
故选：B．
【变式1-1】（2022春•漳州期中）在△ABC中，AB＝AC＝BC，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
故选：C．
【变式1-2】（2022秋•紫阳县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
【变式1-3】（2022春•海淀区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3B．6C．3D．3
【答案】D
【解答】解：在等边△ABC中，
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵等边三角形的边长为6，
∴AB＝6，BD＝3，
根据勾股定理，得AD＝＝3，
故选：D．
【典例2】（2022•金牛区校级模拟）如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l1、l2，则∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】D
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠CBA+∠BAC+∠2＝180°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA＝∠BAC＝60°，
∴∠1+∠2＝180°﹣（∠CBA+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，
故选：D．
【变式2-1】（2022•长安区一模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
过B作BM∥直线a，
∴∠ABM＝∠1＝40°，
∴∠MBC＝60°﹣∠ABM＝60°﹣40°＝20°，
∵直线a∥直线b，
∴直线b∥BM，
∴∠3＝∠MBC＝20°，
∵∠3+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣20°﹣60°＝100°，
故选：A．
【变式2-2】（2022•玉田县二模）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【答案】D
【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
【题型2 等边三角形的判定】
【典例3】（2022秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
【变式3-1】（2022秋•宽城区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
【解答】解：（1）∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°，∠EBC＝30°．
（2）证明：∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴BE垂直平分AC，
∴AB＝BC．
∵∠ECB＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
【变式3-2】（2022春•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
【解答】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
【典例4】（2022秋•石泉县期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
【变式4-1】（2022•大冶市模拟）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，
∵∠BAP+∠CAP＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【变式4-2】（2022秋•岳池县期末）如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．
说明：△ADE是等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
【变式4-3】（2022秋•东莞市期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC＝30°，AD＝DC，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵AD＝DC，
∴AD＝CE；
（2）AD＝CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，
∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，
在△BFD和△DCE中，
∴△BFD≌△DCE，
∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．
【题型3：等边三角形的判定与性质】
【典例5】（2022秋•红塔区校级期末）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE＝DF
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝60°，
∵∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD，
∵BE＝1，
∴BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长为12．
【变式5-1】（2022秋•永川区校级期中）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC
（2）证明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°
∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长＝4×3＝12，
【变式5-2】（2022秋•路北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝3，求DF的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝3，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝6
【题型4 ：含30°角的直角三角形的性质】
【典例6】（2022秋•阳江期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．
【变式6-1】（2022秋•槐荫区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8B．1C．2D．4
【答案】A
【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
【变式6-2】（2022春•碑林区校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则△PMN的周长是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】C
【解答】解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP＝×8＝4，
∴PD＝，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴PM＝，
∴△PMN的周长为：PM+PN+MN＝7+7+2＝16．
故选：C．
【变式6-3】（2022•兰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等边三角形，顶点A的坐标为A（4，0），则顶点B的坐标为（ ）
A．B．C．（2，4）D．
【答案】A
【解答】解：过点B作BC⊥AO，垂足为C，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵△OAB为等边三角形，
∴OB＝BA＝OA＝4，
∴OC＝OA＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴B（2，2），
故选：A
【题型5 ：直角三角形斜边上中线定理】
【典例7】（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5B．4C．8D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D．
【变式7-1】（2022秋•高新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，
故选：D．
【变式7-2】（2022秋•太原期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AC＝8，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5B．4C．8D．6
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CD＝AB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D
1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．
2．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
3．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
4．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°,
∵E是AB的中点,AB＝4，
∴CE＝BE＝,
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝,
故选：A．
5．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
6．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
7．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故答案为：3．
1．（2023春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，若BD＝2，则AC的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC＝2BD，
∵BD＝2，
∴AC＝4，
故选：C．
2．（2023•清江浦区一模）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为​​（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
3．（2023春•青秀区期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD＝1，则DE的长为（ ）
A．1.5B．2C．D．
【答案】C
【解答】解：∵CE＝CD＝1，
∴∠E＝∠CDE，
∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠BDC＝90°，
∴BC＝2CD＝2，
∴BD＝＝＝，
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠DBE＝∠E＝30°，
∴DE＝DB＝．
故选：C．
4．（2023春•靖江市校级月考）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若∠3＝60°，则∠1+∠2＝（ ）
A．120°B．180°C．90°D．130°
【答案】C
【解答】解：如图：
由题意可得，∠4＝90°，∠5＝∠6＝60°，
∵∠3＝60°，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠3﹣∠4﹣∠5﹣∠6
＝360°﹣60°﹣90°﹣60°﹣60°
＝90°．
故选：C．
5．（2022秋•白云区期末）在△ABC中，若AB＝BC，则△ABC是（ ）
A．不等边三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，若AB＝BC，则△ABC是等腰 三角形．
故选：D．
6．（2022秋•裕华区校级期末）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【答案】D
【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（2023春•牡丹区校级月考）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ）
A．9 cmB．16 cmC．18 cmD．20 cm
【答案】C
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故选：C．
8．（2023春•舞钢市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AC＝12，则AD的长是（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】B
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴，
∴，
∵AC＝12，
∴．
故选：B．
9．（2023春•涧西区期中）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（ ）
A．2B．2C．4D．4
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝3，
∵AE＝BE＝7，
∴ED⊥AD，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，
故选：B．
10．（2023春•安达市校级月考）若等边△ABC的边长为4，那么△ABC的面积为（ ）
A．B．C．8D．4
【答案】B
【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D，如图，
因为△ABC是等边三角形，
所以BD＝CD＝BC＝2，
在Rt△ABD中，由勾股定理可知AD＝，
所以．
故选：B．
11．（2023春•贵阳期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：过P作PC⊥ON，
∵∠AOB＝60°，PC⊥ON，
∴∠OPC＝90°﹣60°＝30°，
∵OP＝12，
∴OC＝OP＝6，
∵PC⊥ON，PM＝PN，MN＝2，
∴MC＝MN＝1，
∴OM＝OC﹣MC＝6﹣1＝5，
故选：C．
12．（2023•香洲区校级一模）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝4，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝2，
故选：B．
13．（2023春•麒麟区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，若DE＝2.5，则AB的长为（ ）
A．2.5B．5C．7.5D．10
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵E是AB的中点，
∴CE＝BE＝AB，
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB，DE＝2.5，
∴BE＝2DE＝5，
∴AB＝2BE＝10，
故选：D．
14．（2023•济南模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2BC＝4，以点B为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点D．则线段CD的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解答】解：作BH⊥CD于H，
∴CH＝HD，
令CH＝x，
∵AB＝AC＝2BC＝4，
∴BC＝2，AH＝4﹣x，
∵BH2＝BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，
∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，
∴x＝，
∴CD＝2CH＝1，
故选：B．
15．（2023春•薛城区月考）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，
则AD＝CD＝1，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，
则BD＝，
故AB＝AD+BD＝+1．
故选：D．
16．（2022秋•丛台区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【答案】（1）30°；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∴∠C＝30°；
（2）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△AED为等边三角形．
17．（2023•岳麓区校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
【答案】见解答．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
18．（2023•襄州区开学）如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM＝∠BAM＝90°．
∴∠ABM＝90°﹣∠ABC＝30°．
∴∠M＝90°﹣∠ABM＝60°．
同理：∠N＝∠G＝60°．
∴△MNG为等边三角形．
19．（2023春•市北区期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠F＝ 30 度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）30，证明见解析．
【解答】（1）证明：∵CD＝CF，
∴∠F＝∠CDF，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠F＝∠ADE，
∵DE⊥AB，
∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：当∠F＝30度时，△ABC是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠F＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
由（1）知△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：30．
20．（2023春•龙岗区期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DE的长．
【答案】（1）∠F＝30°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠B＝∠EDC＝∠ACD＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACD＝60°，
∴△EDC为等边三角形．
∴CE＝DC＝DE．
∵DC＝2，
∴DE＝2．
21．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，

∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝