（19题结构）2024高考数学模拟卷03-（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某射击运动员连续射击10次，命中环数如下表：
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．4，4B．3.5，4C．8.5，9D．9，9
2．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A．B．1C．3D．4
3．在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（ ）
A．5.4B．6.3C．7.2D．13.5
4．已知圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，若是弧BC的中点，是线段AB的中点，则（ ）
A．四点不共面B．四点共面
C．为直角三角形D．为直角三角形
5．过点的直线与圆相切于点，则（ ）
A．4B．16C．D．17
6．已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．
7．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A．180B．150C．120D．210
8．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数（为虚数单位），则
B．若复数满足，则
C．若，则或
D．若复数满足，则复数对应点的集合是以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则函数的对称中心为
C．若函数在内单调递增，则的取值范围为
D．若函数在内没有最值，则的取值范围为
11．已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，若，则实数的取值范围为 .
13．一个三棱锥形木料，其中是边长为的等边三角形，底面，二面角的大小为，则点A到平面PBC的距离为 ．若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为 ．
14．已知，若对于任意的 ，不等式 立，则 的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列的前n项和为，满足（且），．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列满足，证明：．
16．（15分）在四棱锥中，平面底面，．

(1)是否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由；
(2)若是正三角形，且是正三棱锥，，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
18．（17分）已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．
(1)求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．
19．（17分）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．
(3)证明：当时，有．
命中球数
7
8
9
10
频数
2
3
4
1
测试指标
元件数（件）
12
18
36
30
4