小学人教版圆锥的体积学案

这是一份小学人教版圆锥的体积学案，共17页。学案主要包含了选择题，填空题，判断题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分
知识清单
第二部分
典型例题
例1：一个圆锥的高缩小到原来的，底面半径扩大到原来的3倍，则体积（ ）。
A．不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的D．扩大到原来的9倍
答案：B
分析：根据圆锥的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几”可知：
一个圆锥的高缩小到原来的，则体积除以3；底面半径扩大到原来的3倍，即底面积扩大到原来的3×3＝9倍，则体积乘9；最终圆锥的体积÷3×9，体积扩大到原来的3倍，据此举例说明。
详解：设原来圆锥的底面半径是1，高是3；
原来圆锥的体积：×π×12×3＝π
现在圆锥的底面半径是：1×3＝3
现在圆锥的高是：3÷3＝1
现在圆锥的体积：
×π×32×1
＝×π×9×1
＝3π
3π÷π＝3
即体积扩大到原来的3倍。
故答案为：B
例2：一根体积为120立方分米的圆柱体木料，要把它削成最大的圆锥，需要削去（ ）立方分米的木料。
A．40B．60C．80
答案：C
分析：削成最大的圆锥的体积应是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，削去的部分是圆柱体积的（），要求需要削去多少立方分米，也就是求120的（）是多少，用120乘（）计算，据此解答。
详解：
（立方分米）
因此要削成最大的圆锥，需要削去80立方分米的木料。
故答案为：C
例3：如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水( )升。
答案：35
分析：圆锥体积＝ ，当装有5升水时，高度是，水面形成圆的半径是，此时水的体积＝，用圆锥体积÷水的体积×5升，得到的结果再减去5升即可。据此解答。
详解：
＝
＝
＝
（）÷（）×5
＝（）÷（）÷×5
＝1÷×5
＝1×8×5
＝40（升）
圆锥体总共能装40升水。
40－5＝35（升）
即，这个容器还能装35升水。
例4：如图，一个立体图形从正面看到的图形是A，从上面看到的图形是B，这个立体图形的体积是( )立方厘米；如果用一个长方体盒子包装它，这个盒子的容积至少是( )立方厘米。
答案： 12.56 48
分析：（1）根据图片分析，此物体是圆锥体，它的底面是半径为2厘米的圆，高为3厘米。根据圆锥体积＝，代入数据计算即可。
（2）长方体体积＝长×宽×高，要用一个长方体盒子包装它，圆锥竖直放的时候长方体的长宽跟圆的直径长度一样为2×2＝4厘米，高度为圆锥的高度3厘米，求出此时长方体体积即可。
详解：（1）
＝
＝3.14×
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
（2）长方体体积；
（2×2）×（2×2）×3
＝4×4×3
＝16×3
＝48（立方厘米）
长方体体积48立方厘米，则它的容积为48立方厘米。
即，一个立体图形从正面看到的图形是A，从上面看到的图形是B，这个立体图形的体积是12.56立方厘米；如果用一个长方体盒子包装它，这个盒子的容积至少是48立方厘米。
：基础过关练
一、选择题
1．一个四柱形杯子的容积为36升，盛满水后，把一个与它等底等高的实心圆锥倒放入杯中，杯中还有（ ）升水。
A．12B．18C．24D．30
2．一个圆锥和一个圆柱的体积比是，底面积比是，如果圆锥的高是18厘米，那么圆柱的高是（ ）厘米。
A．20B．15C．10D．5
3．36个铁圆锥，可以熔铸成等底等高的圆柱的个数是（ ）。
A．18个B．12个C．48个D．108个
4．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积就扩大到原来的（ ）倍。
A．3B．6C．9D．12
5．如图，瓶子的底面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满（ ）杯。
A．6B．4C．3D．2
二、填空题
6．把一块底面积是6.28平方厘米，高是12厘米的圆锥形钢坯，铸造成一块圆柱形钢坯，铸造成的圆柱形钢坯的底面半径是2厘米，则它的高是( )厘米。
7．下图的下边为轴，旋转一周，形成的图形是( )，新图形的体积是( )。
8．一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个( )体，它的体积是( )立方厘米。
9．一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，若圆锥的高是72厘米，则圆柱的高为( )厘米；若圆柱的高是72厘米，则圆锥的高是( )厘米。
10．一个圆锥的体积是6.28m3，底面半径是2m，它的高是( )dm。
三、判断题
11．一个圆锥的底面半径和高都是3cm，它的体积是28.26cm3。( )
12．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm，4cm，分别以两条直角边为轴将这个三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积相等。( )
13．一个圆柱与一个圆锥的高相等，若底面积的比是2∶3，则体积的比也是2∶3。( )
14．若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱一定等底等高。( )
15．把一段圆柱形的木材削成一个最大的圆锥，削掉的部分是18dm，圆柱形木材的体积是27dm。( )
：培优提升练
四、计算题
16．求下面立体图形的体积。（单位：cm）
（1） （2）
五、解答题
17．修一条8米宽的公路，要铺15厘米厚的碎石作为路基。一个圆锥形的碎石堆，底面周长是18.84米，高2米，能铺多少米长的路基？
18．一堆煤呈圆锥形，高3米，底面周长为12.56米，已知每立方米的煤约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？
19．一个圆锥形沙堆，其底面积是9平方米，高2米。将这堆沙铺在长30米宽4米的路面上，能铺几厘米厚？
20．一堆煤堆成圆锥形，底面半径是4.2米，高是5米，如果每立方米的煤的质量约为1.4吨，这堆煤约有多少吨？（结果保留整数）
21．小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为1.5米，底面直径约为4米。她通过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重650千克，她家这堆稻谷大约重多少千克？
22．在一个直径是30厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径为6厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.4厘米（无水溢出）。圆锥形铁块的高是多少厘米？
1．C
分析：由条件“一个与它等底等高的圆锥”可知，圆锥的体积是圆柱体积的，也就是36升的；把圆锥倒放入水中后会排出与它等体积的水，所以杯中剩下的水的体积就是圆柱体积的（1－），也就是36升的（1－），可用乘法列式求得。
详解：36×（1－）
＝36×
＝24（升）
则杯中还有24升水。
故答案为：C
2．D
分析：由题意可知，一个圆锥和一个圆柱的体积比是，底面积比是，则假设圆锥的体积为4，底面积为2；圆柱的体积为5，底面积为3，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，据此求出圆柱和圆锥的高，进而求出圆锥和圆柱的高的比，又因为圆锥的高是18厘米，据此求出1份表示的长度，进而求出圆柱的高。
详解：圆锥的高：
3×4÷2
＝12÷2
＝6
圆柱的高：
5÷3＝
6∶
＝（6×3）∶（×3）
＝18∶5
18÷18×5
＝1×5
＝5（厘米）
则圆柱的高是5厘米。
故答案为：D
3．B
分析：圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍，即要3个这样的圆锥才能熔铸成1个等底等高的圆柱，故36里面有几个3就有几个这样的圆柱，据此得解。
详解：36÷3＝12（个）
故答案为：B
4．C
分析：圆锥体积=，其中r表示底面半径，h表示圆锥的高；它的底面半径扩大3倍，高不变，体积就扩大半径的9倍，据此可得出答案。
详解：圆锥体积=，底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积变为：，即它的体积扩大到原来的9倍。
故答案为：C
5．A
分析：根据题意知道瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，设瓶底的面积为S，瓶子内水的高度为2h，则锥形杯子的高度为h，先根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出圆柱形瓶内水的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，算出圆锥形杯子的体积，最后用除法解答即可得出答案。
详解：圆柱形瓶内水的体积：S×2h＝2Sh
圆锥形杯子的体积：Sh
倒满杯子的杯数：2Sh÷Sh＝6（杯）
即瓶子的底面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满6杯。
故答案为：A
6．2
分析：由题意可知：把圆锥形钢坯锻造成圆柱形零件体积不变，首先根据圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出钢坯的体积，然后根据圆柱的底面积S＝πr2，求出圆柱的底面积，最后用钢坯的体积除以圆柱的底面积即可求出圆柱的高。
详解：6.28×12×
＝75.36×
＝25.12（立方厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
25.12÷12.56＝2（厘米）
圆柱的高是2厘米。
7． 圆锥 18.84cm3/18.84立方厘米
分析：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。下边为轴，圆锥的底面半径3cm，高2cm，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。
详解：3.14×32×2÷3
＝3.14×9×2÷3
＝18.84（cm3）
形成的图形是圆锥，新图形的体积是18.84cm3。
8． 圆锥 188.4
分析：由题意可知，以直角三角形较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个底面半径为6厘米，高为5厘米的圆锥体，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
详解：一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱体；
×3.14×62×5
＝×3.14×36×5
＝×36×3.14×5
＝12×3.14×5
＝37.68×5
＝188.4（立方厘米）
则它的体积是188.4立方厘米。
9． 24 216
分析：圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，直接用圆锥的高÷3＝圆柱的高；圆柱的高×3＝圆锥的高，据此列式计算。
详解：72÷3＝24（厘米）
72×3＝216（厘米）
一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，若圆锥的高是72厘米，则圆柱的高为24厘米；若圆柱的高是72厘米，则圆锥的高是216厘米。
10．15
分析：由圆锥的体积公式可知：。把圆锥的体积、底面半径的数值代入计算即可求出圆锥的高是1.5m，再把1.5m换算成15dm。
详解：6.28÷÷（3.14×22）
＝6.28×3÷（3.14×4）
＝18.84÷12.56
＝1.5（m）
1.5m＝15dm
所以，它的高是15dm。
11．√
分析：根据公式：圆锥的体积＝πr2h，将数据代入公式，计算出圆锥的体积再判断。
详解：3×3×3.14×3×
＝3×3×3.14×（3×）
＝9×3.14
＝28.26（cm3）
一个圆锥的底面半径和高都是3cm，它的体积是28.26cm3；原题说法正确。
故答案为：√
点睛：此题考查了圆锥的体积计算，关键熟记公式。
12．×
分析：若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥；若以4cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算求出两个圆锥的体积，再进行对比即可。
详解：若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥。
×3.14×42×3
＝×3.14×16×3
＝×3×3.14×16
＝1×3.14×16
＝3.14×16
＝50.24（cm3）
若以4cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥。
×3.14×32×4
＝×3.14×9×4
＝×9×3.14×4
＝3×3.14×4
＝9.42×4
＝37.68（cm3）
则分别以两条直角边为轴将这个三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积不相等。原题干说法错误。
故答案为：×
点睛：本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
13．×
分析：已知圆柱和圆锥的高相等，它们的底面积比为2∶3，假设圆柱的和圆锥的高都为1，圆柱的底面积是2，圆锥的底面积是3；根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”、圆锥的体积计算公式“V＝Sh”，代入数据求解圆柱和圆锥的体积，再写出它们的比即可。
详解：假设圆柱的和圆锥的高都为1，圆柱的底面积是2，圆锥的底面积是3；
圆柱的体积：1×2＝2
圆锥的体积：1×3×＝1
则圆柱和圆锥的体积比是2∶1，原题干说法错误。
故答案为：×
点睛：本题主要考查了圆柱、圆锥的体积公式以及比的应用。
14．×
分析：假设圆锥的底面半径是1厘米，高9厘米；圆柱的底面半径是3厘米，高是1厘米，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别算出圆锥的体积：3.14×12×9×＝9.42（立方厘米），圆柱的体积：3.14×32×1＝28.26（立方厘米），9.42÷28.26＝，即可得出圆锥的体积等于圆柱体积的，但是圆锥和圆柱不一定等底等高，据此判断。
详解：假设圆锥的底面半径是1厘米，高9厘米；圆柱的底面半径是3厘米，高是1厘米，则：
圆锥的体积：3.14×12×9×
＝3.14×9×
＝28.26×
＝9.42（立方厘米）
圆柱的体积：3.14×32×1
＝3.14×9
＝28.26（立方厘米）
9.42÷28.26＝
因此圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。
故答案为：×
点睛：理解并掌握等底等高圆柱与圆锥体之间的关系是解题的关键。
15．√
分析：把一个圆柱体木料削成一个最大的圆锥体，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，根据等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，得出削去部分的体积是圆柱的（1－），则对应的数量是18 dm，由此利用分数除法的意义即可解答。
详解：
＝27（dm）
所以，圆柱形木材的体积是27 dm。原题说法正确。
故答案为：√
点睛：解答此题的关键是知道把一段圆柱体切削成一个最大的圆锥，得出削成的圆锥与圆柱的关系，进而得出削去部分的体积与圆柱的关系。
16．（1）100.48cm3；（2）235.5cm3
分析：（1）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解；
（2）组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
详解：（1）×3.14×（8÷2）2×6
＝×3.14×16×6
＝100.48（cm3）
圆锥的体积是100.48cm3。
（2）3.14×（6÷2）2×6＋×3.14×（6÷2）2×7
＝3.14×9×6＋×3.14×9×7
＝169.56＋65.94
＝235.5（cm3）
图形的体积是235.5cm3。
17．15.7米
分析：已知圆锥形碎石堆的底面周长是18.84米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出碎石堆的体积；
要把这个碎石堆铺在一条宽8米、厚15厘米的公路上，那么碎石堆的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的长＝体积÷宽÷高，据此求出能铺路基的长度。注意单位的换算：1米＝100厘米。
详解：15厘米＝0.15米
圆锥的底面半径：
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
碎石堆的体积：
×3.14×32×2
＝×3.14×9×2
＝18.84（立方米）
路基的长度：
18.84÷8÷0.15
＝2.355÷0.15
＝15.7（米）
答：能铺15.7米长的路基。
18．18.84吨
分析：此题需要先利用圆的周长公式求出这堆煤的底面半径，再利用圆锥的体积V＝Sh，求出这堆煤的体积，进而用这堆煤的体积乘每立方米的煤的重量，就是这堆煤的总重量。
详解：12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
3.14×22×3××1.5
＝3.14×4×3××1.5
＝12.56×3××1.5
＝37.68××1.5
＝12.56×1.5
＝18.84（吨）
答：这堆煤大约重18.84吨。
19．5厘米
分析：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆柱形沙堆的体积，路面的体积是一个长方体，由于体积不变，圆柱形沙堆的体积等于长方体的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。
详解：9×2×÷（30×4）
＝18×÷120
＝6÷120
＝0.05（米）
0.05米＝5厘米
答：能铺5厘米厚。
20．129吨
分析：圆锥的体积等于乘底面积乘高，用圆锥的体积乘每立方米的煤的质量，就可以求出这堆煤的质量。
详解：
（吨）
答：这堆煤约有129吨。
21．4082千克
分析：圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此求出圆锥形稻谷堆的体积，再乘每立方米稻谷的质量，即可求出她家这堆稻谷大约重多少千克。
详解：
＝3.14×4×0.5×650
＝6.28×650
＝4082（千克）
答：她家这堆稻谷大约重4082千克。
22．7.5厘米
分析：圆锥形铁块全部浸没在水中时，水面上升部分的体积，就是圆锥形铁块的体积。水面上升部分的体积用圆柱的体积公式计算：体积＝底面积×高。再根据圆锥的体积＝×底面积×高，即可求出圆锥形铁块的高。
详解：（30÷2）2×3.14×0.4
＝152×3.14×0.4
＝225×3.14×0.4
＝706.5×0.4
＝282.6（立方厘米）
282.6÷（3.14×62×）
＝282.6÷（3.14×36×）
＝282.6÷（113.04×）
＝282.6÷37.68
＝7.5（厘米）
答：圆锥形铁块的高是7.5厘米。