江西省寻乌中学2022-2023学年高二下学期4月期中数学试卷(含答案)

这是一份江西省寻乌中学2022-2023学年高二下学期4月期中数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数,则( )
A.-2B.C.D.2
2．已知三角形中三边长为a,b,c,若,,成等差数列,则直线与直线的位置关系为( )
A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合
3．函数在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
4．设数列的前n项和为,当时,,,成等差数列,若,且,则n的最大值为( )
A.63B.64C.65D.66
5．若点P是函数图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为,则的最小值是( )
A.B.C.D.
6．已知使得不等式成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．已知数列各项均不为零,且（且）,若,则( )
A.19B.20C.22D.23
8．已知函数,若经过点且与曲线相切的直线有三条,则( )
A.B.C.D.或
二、多项选择题
9．下列有关导数的说法,正确的是( )
A.就是曲线在点处的切线的斜率
B.与的意义是一样的
C.设是位移函数,则表示物体在时刻的瞬时速度
D.设是速度函数,则表示物体在时刻的瞬时加速度
10．下列各选项中,使数列为递增数列的是( )
A.B.
C.D.,
11．已知函数及其导函数的定义域都为R，对于任意的x,，都有成立，则下列说法正确的是( )
A.
B.若，则
C.为偶函数
D.若，则
12．已知数列满足,,设,记数列的前项和为,数列的前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子,将它们叠成一叠,则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下,黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为_____________.
14．的展开式的各项系数和为32,则该展开式中的系数是_____________.
15．已知数列满足,,则数列的前n项和____________.
16．已知定义在上的函数的导函数是连续不断的,若方程无解,且,,设,,,则a,b,c的大小关系是________.
四、解答题
17．对于的展开式,若所有二项式系数的和为512
(1)求n;
(2)展开式的常数项是第几项;
(3)求展开式有多少个有理项？并写出升幂排列的第二个有理项.
18．用种不同的颜色给如图所示的A,B,C,D四个区域涂色,要求相邻区域不能用同一种颜色.
（1）当时,图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（2）若图③有180种不同的涂色方案,求n的值.
19．数列的前n项和为,,满足,设,数列的前n项和为.
（1）求;
（2）设,数列的前n项和为,求证：.
20．已知函数（其中e是自然对数的底数）,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若在上恒成立,求m的取值范围.
21．已知数列满足,,__________,.从①,②这两个条件中任选一个填在横线上,并完成下面问题.
(1)写出、,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
22．已知函数
（1）若时在上的最小值是,求a;
（2）若,且,是的两个极值点,证明：（其中e为自然对数的底数）
参考答案
1．答案：A
解析：,,
.
故选：A.
2．答案：D
解析：因为,,成等差数列,所以,即,
对于直线与直线,满足,
所以直线与直线重合.
故选:D
3．答案：C
解析：,则,
,,故切线方程为,
化简得到.
故选：C.
4．答案：A
解析：由,,成等差数列,可得,
则,,,
可得数列中,每隔两项求和是首项为3,公差为4的等差数列.
则,
,
则n的最大值可能为63.
由,,可得.
因为,,,即,所以,
则,当且仅当时,,符合题意,
故n的最大值为63.
故选：A.
5．答案：B
解析： ,,
,当且仅当时取等号,
即,因为
即倾斜角的最小值.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而,,
所以当时,,所以在单调递增,
所以,所以,
所以在上单调递增,因为,所以,
故实数a的取值范围为.
故选：A.
7．答案：A
解析：由,令,
则数列是公差为1,首项为的等差数列,
所以,所以.
所以,
当时也符合上式,所以;
所以,解得,所以,
所以.
故选：A.
8．答案：A
解析：,设经过点且与曲线相切的切点为,则.又切线经过,故由题意有3个解.
化简有,即有3个解.
设,则,令有或,故当时,,单调递减;当时,,单调递增;当时,,单调递减.
又,,且,,故要有3个解,则.
故选:A
9．答案：ACD
解析：表示曲线在点处的切线的斜率,故A正确;
表示对函数值求导,因为是常函数,所以,
与的意义不一样,故B错误;C,D易知正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：对选项A：,是递增数列,正确;
对选项B：,是递增数列,正确;
对选项C：,则,,不是递增数列,错误;
对选项D：,是递增数列,正确;
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：令，则，解得或，故A错误；
令，，所以，
令，，则，解得，故B正确；
当时，令，则有，
所以，，
当，令，则有，
所以，所以，所以为奇函数，
综上，为奇函数，故C错误；
令，则，
所以，故D正确.
故选：BD.
12．答案：ACD
解析：对A,,,,则,故A正确;
对B,由题意,,
当时,,
所以,则是以1为公差,为首项的等差数列.
则,则,故B错误,
对C,,即,
所以,
两式相减得
,
所以,故C正确;
对D,
,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A,“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B,
则黄色杯子和绿色杯子相邻,有种;
黄色杯子和绿色杯子相邻,且黄色杯子和红色杯子也相邻,有种;
所以.
故答案为：.
14．答案：5
解析：,取得到,故.
的展开式的通项式为：,
分别取和得到系数为：.
故答案为：5.
15．答案：
解析：因为数列满足,,
所以数列为公差的等差数列,所以,
所以
所以
.
故答案为：.
16．答案：
解析：由于定义在上的函数的导函数是连续不断的,方程无解,所以或恒成立,所以是单调函数.依题意,,由于是上的单调函数,所以为定值,令,则,所以是增函数,又因为,所以.
故答案为：.
17．答案：（1）9
（2）第7项
（3）5个,
解析：（1）由已知得,所以.
（2）因为的展开式的通项为：,其中,,
由,得,即时为常数项,常数项为第7项.
（3）由二项展开式的通项公式,
当或2或4或6或8时,展开式的项为有理项,共5个,
x升幂排列的第二个有理项为.
18．答案：（1）600,480;
（2）5
解析：（1）题图①：第一步,涂A,有6种不同的涂法;
第二步,涂B,与A的颜色不相同,有5种不同的涂法;
第三步,涂C,与A,的颜色都不相同,有4种不同的涂法;
第四步,涂D,只需与C的颜色不相同,有5种不同的涂法.
所以共有种不同的涂色方案.
题图②：第一步,涂A,有6种不同的涂法;
第二步,涂B,与A的颜色不相同,有5种不同的涂法;
第三步,涂D,与A,B的颜色都不相同,有4种不同的涂法;
第四步,涂C,与B,D的颜色都不相同,有4种不同的涂法
所以共有种不同的涂色方案.
（2）前三步与题图①的涂法类似,分别有n,,种不同的涂法,
第四步,涂D,与C,A的颜色都不相同,有种不同的涂法,
所以共有种不同的涂色方案,
所以,,所以.
19．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）得,
,
所以,可得为等比数列,
所以.
由,可得
.
（2）因为,
由（1）代入可得,则,
,
则
所以.
20．答案：（1）见解析
（2）.
解析：（1）由题意得,的定义域为.
由得.
当时,恒成立,即在上单调递增.
当时,令解得.
所以当时,解得;当时,解得;
所以在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
（2）因为在上恒成立,
即在上恒成立,
所以.
令,
当且仅当时,等号成立.
所以.
因为当时,,当时,;
所以存在,使得.
所以.
21．答案：（1）条件选择见解析,,,
（2）
解析：（1）若选①,,
且,故数列是首项为,公比为的等比数列,,
故;
若选②,,所以,,
且,故数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以,,故,
所以,,故,.
（2）由（1）可知,则,
所以,.
当n为偶数时,
;
当n为奇数时,
.
综上所述,.
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）定义域是,.
令,对称轴
因为,,所以当时,,即
所以在上单调递增.
解得.
（2）由有两个极值点,,则在有2个不等的实根
即在有2个不等的实根,则,解得.
,,
当时,
令,
令
,当时,,所以在单调递减.
所以
即
所以在单调递减
所以所以原式成立.
即.