四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设平面向量,,则( )
A.B.C.D.
2．己知复数,则z的虚部为( )
A.2B.2iC.-2D.
3．在所在平面内,D是BC延长线上一点且,E是AB的中点,设,,则( )
A.B.C.D.
4．若,,则( )
A.B.C.D.
5．已知,,,则向量,的夹角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
6．在中,,P是直线BD上的一点,若则实数t的值为( )
A.B.C.D.
7．在中,若,则是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
8．已知函数在区间上单调递增,则下列选项中错误的是( )
A.函数两个零点的最小距离为,则
B.若,则
C.若,则
D.若,且函数在区间有唯一零点,则
二、多项选择题
9．计算下列各式,结果为的是( )
A.
B.
C.
D.
10．已知向量，，则( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D.若，则向量在向量上的投影向量为
11．函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A.的表达式可以写成
B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C.的对称中心,
D.若方程在上有且只有6个根,则
12．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,则下列说法正确是( )
A.若,则面积的最大值为
B.若,且只有一解,则b的取值范围为
C.若,且为锐角三角形,则周长的取值范围为
D.若为锐角三角形,,则AC边上的高的取值范围为
三、填空题
13．在中,已知,则角__________.
14．函数,的最大值是____________.
15．如图,风景秀美的内江六中有一颗高大的银杏树,某研究小组为测量树的高度,在地面上选取了A,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为和,且A,B两点间的距离为20m,则这颗银杏树的高度为____________m.
16．已知向量,,满足,,,,则的最大值等于__________.
四、解答题
17．设复数,其中.
(1)若z是纯虚数,求a的值；
(2)z所对应的点在复平面的第四象限内,求a的取值范围.
18．已知函数.
（1）把化为的形式,并求的最小正周期;
（2）求的单调递增区间以及对称中心.
19．在中,,,边AB,BC上的点M,N满足,,P为AC中点.
（1）设,求实数,的值;
（2）若,求边AC的长.
20．在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算,以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”,“×乘”）.向量与的向量积记作：.其中的运算结果是一个向量,其方向垂直于向量与所在平面,它的长度.现在我们定义一种运算规则“”.设平面内两个非零向量而,元的夹角为,规定示.试求解下列问题：
（1）已知向量,满足,,,求的值;
（2）已知向量,,,求的最小值.
21．为了丰富同学们的课外实践活动,某中学拟对生物实践基地（区域）进行分区改造.区域为蔬菜种植区,区域规划为水果种植区,蔬菜和水果种植区由专人统一管理,区域规划为学生自主栽培区.的周围将筑起护栏.已知,,,,设.
（1）若,求护栏的长度（的周长）;
（2）试用表示的面积,并研究的面积是否有最小值？若有,请求出其最小值;若没有,请说明理由.
22．在锐角中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.
（1）求证：;
（2）若,求a边的范围;
（3）求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：,
2．答案：C
解析：复数的虛部为-2.
3．答案：C
解析：在所在平面内,D在BC延长线上,且,则,
又E是AB的中点,
所以.
4．答案：D
解析：.
5．答案：C
解析：由题意,向量向,,,
可得,解得,
又由,可得.
6．答案：B
解析：因为,所以,
又P是直线BD上的一点,所以,
又,所以,
所以.
7．答案：A
解析：在中,由,得,
则,
所以,即,
则,又,,则,
所以,即,
所以为等腰三角形,但无法判断C是不是直角.
8．答案：C
解析：函数在区间上单调递增,
所以该函数的最小正周期T满足,所以,
当时,成立,所以的最大值为2,A正确;
对于选项B：因为在区间上单调递增,
故有：,
当时,,所以,
所以,
所以,又,故,可得.故B正确;
由于,故当时,,故C错误;D正确.
9．答案：AC
解析：对于A,
,故A正确;
对于B,因,
可得,
所以,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D错误.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：若，则，解得，故A正确.若，则，解得，故B错误.若，则.又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C正确.若，则.又，所以向量在向量上的投影向量为，故D错误.选AC.
11．答案：ABC
解析：由,得,即,
又,所以,又的图象过点,
则,即,
所以,即得,,又,所以,
所以,故A正确;
向右平移个单位后得,为奇函数,故B正确;
对于C,,
令得,
所以对称中心,,故C正确;
对于D,由,得,解得或,,
方程即,
因为,所以,
又在上有6个根,则根从小到大为,
而第7个根为,,故D错误.
12．答案：AC
解析：对于A,由正弦定理可得,
因为,所以,所以,若,
由余弦定理得,
由,,可得,
即,当且仅当时等号成立,
则面积,所以面积的最大值为,故A正确;
对于B,若,且,由正弦定理得,
所以,
当时,即,时有一解,故B错误;
对于C,故C正确;
对于D,由于为锐角三角形,,,
所,故AC边上的高为,故D错误.
13．答案：
解析：因为,所以,
又,所以.
14．答案：2
解析：,
又,
,.
的最大为2.
15．答案：
解析：在中,,,,,
由正弦定理得,,
在中,
16．答案：
解析：设,,,
因为,,,
所以,
又,所以,所以点A,O,B,C共圆,
要使的最大,即为直径,
在中,,
又由正弦定理,即的最大值等,
17．答案：(1)-2
(2)
解析：(1)z是纯虚数,只需,解得.
(2)由题意知,
解得,
故当时,z所对应的点在复平面的第四象限内.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）
,
所以最小正周期为.
（2）由,,
解得,,
所以的增区间为,.
对称中心为.
19．答案：（1）
（2）8
解析：（1）
,则,;
（2）,
所以即
解得,负值舍去,即边AC的长为8.
20．答案：（1）2
（2）9
解析：（1）由己知,得,
所以,即,
又,所以,
所以;
（2）法一：设,,则,,
所以,
,
所以,
故,
,
当且仅当,即时等号成立.
所以的最小值的最小是9.
法二：,故.故.
故
,
当且仅当,即时等号成立.
所以的最小值的最小是9.
21．答案：（1）
（2）学生自主栽培区的面积有最小值,理由见解析
解析：（1）依题意,在中,,,,
所以,则,
,即,
所以,又,故,
所以是正三角形,则m,m,
所以护栏的长度为.
（2）学生自主栽培区的面积有最小值,理由如下：
设,在△ANC中,,
则,
由正弦定理得,得,
在△ACM中,,
由正弦定理得,得,
所以
,
所以当且仅当,即时,
的面积取得最小值为.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为所以,
由正弦定理可得,
又因为,
代入可得,
即,
因为,,则,故,
所以或,即或（舍去）,
所以.
法二：由正弦定理可得：
则
则
又,故
因为,,则,故,
所以或,即或（舍去）,
（2）因为为锐角三角形,,所以,
由,解得,
又故.
（3）由（2）知.
由
,
令,则在上单调递增,所以,
所以的取值范围为.