浙江省丽水市五校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省丽水市五校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，集合，则集合( )
A.B.C.RD.
2．截至目前，联合国共设5个常任理事国，10个非常任理事国，现从这15个国家中选取3个国家，且至少包含一个常任理事国，则共有的选法种数为( )
A.120B.410C.335D.455
3．已知直线，，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．函数在的图象大致为( )
A.B.C.D.
5．的展开式中常数项是( )
A.-225B.-252C.252D.225
6．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率( )
C.0.5
7．已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则( )
A.B.C.D.
8．函数，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题中，正确的是( )
A.已知随机变量X服从正态分布，若，则
B.已知随机变量X的分布列为，则
C.用X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则
D.已知随机变量X的分布列为，则
10．已知直线l过抛物线的焦点，且与该抛物线交于M，N两点.若线段的长是20，中点到y轴的距离是8，O为坐标原点，则( )
A.抛物线C的焦点是B.抛物线C的离心率为
C.直线l的斜率为D.的面积为
11．已知函数定义域均为R，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．圆心为，且与直线相切，则圆的方程为_____.
13．已知数列的前n项和，当取最小值时，______.
14．已知中，，，Q是边上的动点.若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为______.
四、解答题
15．浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数.
参考数据：，，.
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
16．设数列为等差数列，前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设的前n项和为，证明：.
17．如图，在直三棱柱中，点D是的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与平面的所成角的余弦值.
18．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
19．已知椭圆，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.当轴时，，椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线过定点，并求定点坐标；
（3）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：或，
，
所以，即.
故选：A
2．答案：C
解析：15个国家中选取3个国家，有种选法，其中没有常任理事国的选法有种，
所以从这15个国家中选取3个国家，至少包含一个常任理事国，共有种选法.
故选：C.
3．答案：B
解析：当时，，即，解得，
当时，，，此时；
当时，即，
，即，此时；
故“”是“”的充要条件，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
4．答案：D
解析：因为，所以，
从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误，
又时，，，所以时，，所以选项B错误，选项D正确，
故选：D.
5．答案：B
解析：二项式的展开式通项为：，
令，解得，
所以展开式的常数项为.
故选：B
6．答案：C
解析：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得
，
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5.
故选：C.
7．答案：D
解析：设，则，
因，故得，即在R上为减函数.
对于A项，因，则，即，即，故A错误；
对于B项，因，则，即，即得，故B错误；
对于C项，因，则，即，即得，故C错误；
对于D项，因，则，即，即得，故D正确.
故选：D.
8．答案：A
解析：作出与的图象，
的图象为恒过定点的直线，如图：
当时，设与相切于点，
则，解得，即，
所以，所以，
由图象可知，此时的图象与的图象有两个公共点，
当时，的图象与的图象有一个公共点，
当时，的图象与的图象有三个公共点，
当时，的图象与的图象有两个公共点，
综上，，的图象与的图象有三个公共点，
即方程恰有三个不相等的实数根，故实数m的取值范围是.
故选：A
9．答案：ACD
解析：对于A，依题意，，因此，A正确；
对于BD，，，解得，B错误，D正确；
对于C，依题意，，，，解得，C正确.
故选：ACD
10．答案：ABD
解析：记抛物线焦点为F，MN中点A，过M，N，A分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，T，
则，
又，所以，抛物线方程为，
故选项A，B正确；
显然直线l斜率存在且不为0，设直线l方程为与抛物线方程联立，消去y得：，
设，，则，
而，
所以，解得：，，故选项C不正确；
直线l方程为，可得原点O到直线l距离为，
所以的面积为，故选项D正确；
故选：ABD.
11．答案：AD
解析：因为满足，所以函数的图象关于点对称；又函数定义域为R，所以
又为偶函数，所以，所以的图象关于成轴对称，
两者结合即，用x代替得：
，所以，所以为周期函数，且.
因，结合偶函数性质知，故A正确；
因为，，所以，故D正确；
若满足题设，则，则，故B错误；
由上易知周期也为4，又，，，所以，故C错误.
故选：AD
12．答案：
解析：圆心到直线的距离，
由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即，
所以圆的方程为.
故答案为：
13．答案：5
解析：数列的前n项和，，则
当时，，
，当且仅当，即时取等号，又
所以当取最小值时，.
故答案为：5
14．答案：
解析：三棱锥中，平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为，又的最大值是，所以，解得，
即PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为，
如下图，直角三角形中，所以，又，
所以C，Q重合，则，则的外接圆圆心M为AB的中点，
又平面ABC，从而外接球的球心O为PB的中点，
外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析；
（2），预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人.
解析：（1）由，，
，
所以，
因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）
，，
所以y关于x的回归直线方程为.
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人
16．答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1），
由，
所以，，
所以.
（2）
所以
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：如图，记与的交点为点O，连接，，
因为三棱柱是直三棱柱，所以，
因为，所以四边形是正方形，故，
因为，，所以，又因为D是中点，所以，所以，
因为四边形是正方形，所以O是的中点，所以，又平面，，
所以平面.
（2）以中点E为原点如图建系，则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
即，令，则法向量.
则，故直线与平面的所成角的线面角的余弦值为.
18．答案：（1）见解析；
（2）.
解析：（1）的定义域为，，
(i)若，则，所以在单调递减.
(ii)若，则由得.
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
（2）(i)若，由（1）知，至多有一个零点.
(ii)若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，a的取值范围为.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析，；
（3）.
解析：（1）由题意可得，解得，，
则椭圆C的标准方程为.
（2）设直线，联立椭圆，
消去x得：，
由韦达定理得：，则中点，
由，所以以代替m可得，
所以，
，
化简得，
则过定点.
当m不存在时，为轴，轴，即是x轴过定点；
当时，取，，则过定点；
当时，取，，则过定点；
综上直线过定点.
（3）
，
由（2）知，
以代替m可得，
所以
当且仅当即时，.
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/千人
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5