新教材(广西专版)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件

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知识梳理1.圆的定义及方程
微思考写出圆x2+y2+Dx+Ey+F=0和两坐标轴都相切的条件.
2.点与圆的位置关系已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆内. 
常用结论1.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.(　　)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(　　)
2.设甲:实数a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0是圆,则甲是乙的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,
3.半径为3,圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为　　　　　　　　　　　　. 
答案 (x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9　解析 由题意可设圆心坐标为(a,a),则圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=9,且|a|=r=3,得a=±3.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9或(x+3)2+(y+3)2=9.
例1.(1)以直线ax-y-3-a=0(a∈R)过的定点为圆心,2为半径的圆的方程是(　　)A.x2+y2-2x+6y+6=0B.x2+y2+2x-6y+6=0C.x2+y2+6x-2y+6=0D.x2+y2-6x+2y+6=0(2)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A,圆心在直线y=2x上.若点A在直线x-y-4=0的左上方且到该直线的距离等于 ,则圆C的标准方程为(　　)A.(x-2)2+(y+4)2=4B.(x+2)2+(y+4)2=16C.(x-2)2+(y-4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=16
答案 (1)A　(2)D
解析 (1)因为直线方程为ax-y-3-a=0(a∈R),即a(x-1)-y-3=0(a∈R),所以直线过定点(1,-3),所以圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=4,即x2+y2-2x+6y+6=0.故选A.(2)因为圆C的圆心在直线y=2x上,所以可设C(a,2a).因为圆C与x轴正半轴相切于点A,所以a>0,且圆C的半径r=2a,A(a,0).
所以A(2,0)或A(6,0).因为A在直线x-y-4=0的左上方,所以A(2,0),所以C(2,4),r=4,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=16.故选D.
方法总结求圆的方程的两种方法
对点训练1(1)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　. (2)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　. 
即圆心M的坐标为(1,-1).设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法2)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)(方法1)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1,
(方法2)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其中三点共有四种情况.若圆过A,B,C三点,则线段AB的垂直平分线方程为x=2,线段AC的垂直平
典例突破例2.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.
方法总结求与圆有关的轨迹问题的常用方法
对点训练2(1)若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为(　　)A.x2+y2=32 B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16D.x2+(y-1)2=16(2)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为　　　　　　　　　　　. 
考向1.借助目标函数的几何意义求最值典例突破
例3.(1)(2023安徽安庆模拟)已知点A(-4,1)在直线l:(2m+1)x-(m-1)y-m-5=0(m∈R)上的射影为点B,则点B到点P(3,-1)距离的最大值为(　　)
(2)(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
答案 (1)C　(2)C　
解析 (1)将直线l的方程整理得(2x-y-1)m+(x+y-5)=0,
直线l恒过点C(2,3).由点A(-4,1)在直线l:(2m+1)x-(m-1)y-m-5=0(m∈R)上的射影为点B,知AB⊥BC,则点B在以线段AC为直径的圆上,该圆的圆心坐标为D(-1,2),
(2)(方法1)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,
方法总结与圆有关的最值问题的三种几何转化法
对点训练3(2023北京顺义一模)已知点A,B在圆O:x2+y2=16上,且|AB|=4,P为圆O上任意一点,则 的最小值为(　　)A.0B.-12C.-18D.-24
考向2.利用对称性求最值典例突破例4.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,点N分别是圆C1,圆C2上的动点,点P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
解析 由题可知圆心C1(2,3),圆心C2(3,4).因为点P是x轴上任意一点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理,|PN|的最小值为|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3)(图略),
名师点析形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练4已知圆O:x2+y2=1,A(3,3),点P在直线l:x-y=2上运动,则|PA|+|PO|的最小值为　　　　　. 
解析 点A与点O在直线l:x-y=2的同侧,设点O关于直线l:x-y=2的对称点为O'(x',y').∵kOO'=-1,OO'所在直线方程为y=-x.
考向3.建立函数关系求最值典例突破
例5.设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则 的最大值为　 . 
名师点析利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.
对点训练5设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则| |的最大值为　　　　　.