冲刺2024年高考数学-真题重组卷03（理）（全国甲卷、乙卷通用）（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
6．（2022·全国·统考高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A．B．AB与平面所成的角为
C．D．与平面所成的角为
7．（2020·全国·统考高考真题）执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
10．（2023·全国·统考高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
14．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
15．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
16．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（2021·天津·统考高考真题）（12分）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
18．（2023·全国·统考高考真题）（12分）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
19．（2020·全国·统考高考真题）（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=，≈1.414.
20．（2023·全国·统考高考真题）（12分）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
21．（2023·全国·统考高考真题）（12分）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（2021·全国·统考高考真题）（10分）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
23．（2022·全国·统考高考真题）（10分）已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2).