广西名校2024年中考联考押题数学试卷（解析版）

这是一份广西名校2024年中考联考押题数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米．将9500000000000千米用科学记数法表示为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
【答案】D
【解析】9500000000000千米千米；
故选D．
2. 如图1，一个2×2的平台上已经放了三个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2所示，平台上至少还需再放这样的正方体（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】只需要在①和②两个正方体上方各加一个小正方体即可，
∴至少放2块正方体，
故选：B．
3. 下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、因为，4的指数不是1，故本选项不符合题意；
B、被开方数的指数为1，故本选项符合题意；
C、的指数为2，故本选项不符合题意；
D、的指数为5，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵不等式的解集为，
∴，∴，
故选D．
5. 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏东的方向上，海岛在它北偏东方向上．则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
故选：B．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图可得：，且，
∴A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵点，，，
∴，
∴这个函数图象可能是反比例函数，
故选：．
9. 一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，

由题意得：，，
，，．
故选：D．
10. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】一次函数经过点，函数值随的增大而减小，；
令，则，；
解关于的不等式，移项得：；
两边同时除以，，．
故选：C
11. 我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A. 100步B. 120步C. 140步D. 160步
【答案】B
【解析】如图所示，连接，，，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
设步，则步，步，
∵，，是的切线，
∴步，步，
∵步，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
12. 若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A. 44B. 55C. 66D. 77
【答案】D
【解析】，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．把答案填在答题卡上的横线上．）
13. 赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为______m．
【答案】
【解析】设所在圆的圆心为O，半径为，如图，由已知得，．在中，由勾股定理得，
即，解得，
∴拱桥的半径为．
14. 式子有意义，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】∵式子有意义，∴，∴，
故答案为：．
15. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】．
16. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】甲组：、、、、，平均数，
，
乙组：、、、、．平均数，
，
∴．
故答案为：．
17. 如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为__________°．
【答案】35
【解析】∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：25．
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数5324，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为_____；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是_____．
【答案】5138 9174
【解析】①为“差中数”，
，
，
∴这个数为5138；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
解：
．
20. 解方程组．
解：，
①+②，可得，
解得，
把代入①，可得：，解得，
∴原方程组的解是．
21. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
22. “二十四节气”是中国古代用来指导农事历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，他们准备了印有“A：立春”“B：夏至”“C：立秋”“D：冬至”四张节气图案的卡片，这些卡片除图案外无其他差别．两人将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A：立春”的概率是 ；
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C：立秋”的概率．
解：（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．立春”的结果只有1种，
∴小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．立春”的概率是，
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C：立秋”的有6种，
∴两人都没有抽到“C：立秋”的概率为．
23. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形C的圆心角度数为 度；
（3）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．
解：（1）调查学生总数为（人，
选择“．数学园地设计”的有（人，
补全统计图如下：
（2）图②中扇形C的圆心角度数为，
（3）在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有2种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
24. 在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形纸片顶点A在x，轴的正半轴上，点B在第一象限，已知，，．
（1）填空：如图①，点A的坐标是______，点B的坐标是______；
（2）点P是线段上的一个动点（点P不与点O，A重合）过点P作直线l交直线于点O，且，将直角三角形纸片沿直线l向上翻折，点O的对应点为C，折叠后与直角三角形重合部分的面积为S，设．
①如图②，当边，分别与相交于点E，F，且折叠后重叠部分为四边形时，试用含有m的式子表示S，并直接写出m的取值范围；
②当时，求m的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（1）如图，作于C，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
故答案为：，.
（2）①∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由直角三角形纸片沿直线1向上翻折，可得，
∴是等边三角形．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∶ ．
∴
在，，．
∴，
∴．
如图，当点C在上时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
当直线l经过点B时m取得最大值4，
∴m 的取值范围为．
②当在内部时，，
当时，，
解得（负值舍去）．
当重叠部分是四边形时，
对于，
当取得最大值．
如图，当点Q在的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，，
解得，（舍去）．
∴当时，m的取值范围是．
25. 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
（1）【理解应用】如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标；
（2）【规律初探】如图2，正方形的边长为a，点E在边上，点F在边上，点G在边上，点H在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围；
（3）【综合探究】如图3，已知抛物线与x轴交于M，N两点，点M在点N的左侧，P，Q两点在该抛物线上．若以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，求m的值．
解：（1）如图1，过点B作轴于点K，
则，
∵，
∴，
∵四边形是垂等四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点B的坐标为；
（2）如图2，当四边形的顶点分别与正方形的顶点重合时，最大，，
当四边形的顶点E、F无限趋近B或E、H无限趋近A，G、H无限趋近D或F、G无限趋近C时，最小，无限趋近于0，∴；
（3）把代入，得，
解得，，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
∵以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且，
∴，且，
若点P，Q在x轴上方，
设与交于点K，过点K作轴，垂足为L，如图3，
由二次函数的对称性，且，，
得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点K的坐标为，
设直线的解析式为，
代入，，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得，（点M的坐标，舍去），
∴m的值为2；
若点P，Q在x轴下方，如图4，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得，（点M的坐标，舍去），
∴m的值为4；
综上所述，m的值为2或4．
26. 根据以下素材，探索完成任务．
解：任务1：设笔记本的单价为元，根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的根，这时．
笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据题意，得，
解得，可购买钢笔30支，笔记本20本.
任务3：当有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得，整理得，
，且，均为正整数，
经尝试检验得，
文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．——
——
——
——
——
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
求奖品购买方案
购买钢笔和笔记本数量的方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式．