2023-2024学年河南省商丘市二十校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市二十校联考高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有( )
A. 8种B. 15种C. 35种D. 53种
2.已知随机变量X的分布列为
则p=( )
A. 13B. −13C. 12D. 12或−13
3.若Am−12=6Cm4，则m=( )
A. 7B. 6C. 5D. 4
4.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中不放回地依次取2个数，记“第一次取到的是偶数”为事件A，“第二次取到的是奇数”为事件B，则P(B|A)=( )
A. 15B. 25C. 59D. 58
5.五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有( )
A. 240种B. 192种C. 144种D. 48种
6.已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=43,D(X)=89，则P(X=1)=( )
A. 23B. 3281C. 13D. 481
7.在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，x3项的系数为( )
A. 252B. 210C. 126D. 120
8.数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为( )
A. 147B. 112C. 65D. 50
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量X的数学期望E(X)=4，则E(2X−1)=7
B. 若随机变量Y的方差D(Y)=3，则D(2Y+5)=6
C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布
10.已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是( )
A. P(B|A)+P(B|A)=P(A)
B. P(B|A)+P(B|A)=1
C. 若A，B独立，则P(A|B)=P(A)
D. 若A，B互斥，则P(A|B)=P(B|A)
11.随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是( )
A. 随机变量X的取值为1，2，3B. P(X=2)=964
C. P(X=3)=164D. E(X)=8164
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x+3x3)8的展开式中的常数项为______．
13.已知随机变量X～N(2,σ2)，且P(X≤−2)=P(X≥a)，则函数y=11+x+1a−x(014.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕.大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务.大运村共有两个餐厅：餐厅A、餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且Cn2=Cn8．
(1)求n与a0的值；
(2)求a2+a4+a6+a8+a10的值．
16.(本小题15分)
某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布N(60,100)，规定：分数高于80分为优秀．
(1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在(50,80]内的学生人数.参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ17.(本小题15分)
某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会.(用数字作答)
(1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
(2)若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数；
(3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数．
18.(本小题17分)
在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为45；对于第4道题，答对的概率为12.记该学生的总得分为X．
(1)求该学生前3道题至少答对2道题的概率；
(2)求X的分布列及数学期望．
19.(本小题17分)
冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同、相对独立配置的设计.冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域、核安全领域、航空领域、煤矿等领域.某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0(1)若p=34，求p2；
(2)已知升级后的设备控制系统原有2n(n∈N*)个元件，现再增加2个相同的元件，若对∀n∈N*都有pn+1>pn，求p的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有3×5=15种．
故选：B．
利用分步乘法计数原理进行求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：随机变量X的分布列为：
则由离散型随机变量X的分布列的性质，得：
b2+56+52−2p6+p06=1，
即(2p−1)(3p+1)=0，
解得p=12或p=−13，
当p=−13时，b6<0，不符合分布列的性质，
所以p=12．
故选：C．
利用随机变量X的分布列的性质求解．
本题考查随机变量X的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为Am−12=6Cm4，
所以(m−1)(m−2)=6×m⋅(m−1)⋅(m−2)⋅(m−3)4×3×2×1，且m≥4，
解得m=4或m=−1(舍去)．
故选：D．
根据组合数、排列数公式得到方程，解得即可．
本题考查了组合数、排列数公式，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：在事件A发生后，只有9个数字，其中有5个奇数，所以P(B|A)=59．
故选：C．
根据实际情况缩小样本空间，利用古典概型求概率公式得到条件概率．
本题主要考查条件概率，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：
第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；
第二步：相邻女生排在一起有A22种；
第三步：4名男生排在剩下的位置有A44种．
因此2名女生相邻且农场主站在中间共有4A22A44=192种站法．
故选：B．
农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解．
本题主要考查排列组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：随机变量X～B(n,p)，则有E(X)=np=43,D(X)=np(1−p)=89，
由D(X)E(X)=np(1−p)np=1−p=89÷43=23，解得p=13,n=4，
所以P(X=1)=C41×13×(23)3=3281．
故选：B．
由二项分布的期望和方差公式，解出n，p，由二项分布的概率公式求P(X=1)．
本题考查二项分布的期望和方差公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：(1+x)n的展开式的通项为Tr+1=Cnrxr，r=0，1，2，…，n，
则(1+x)n的展开式中x3项的系数为Cn3，
所以(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中x3项的系数为C33+C43+...+C93=c44+C43+...+C93=C54+C53+...+C93=+C93=210．
故选：B．
利用二项式系数的性质列式求解即可．
本题考查二项式定理，考查运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：
①三位数中“凸数”的百位是5时，
若其十位数字为7，个位数字都有6种情况，此时有6个“凸数”，
若其十位数字为8，个位数字都有7种情况，此时有7个“凸数”，
若其十位数字为9，个位数字都有8种情况，此时有8个“凸数”，
此时有6+7+8=21个“凸数”；
②三位数中“凸数”的百位是6时，
若其十位数字为7，个位数字都有6种情况，此时有6个“凸数”，
若其十位数字为8，个位数字都有7种情况，此时有7个“凸数”，
若其十位数字为9，个位数字都有8种情况，此时有8个“凸数”，
此时有6+7+8=21个“凸数”；
③三位数中“凸数”的百位是7时，
若其十位数字为8，个位数字都有7种情况，此时有7个“凸数”，
若其十位数字为9，个位数字都有8种情况，此时有8个“凸数”，
此时有7+8=15个“凸数”；
④三位数中“凸数”的百位是8时，
其十位数字只能为9，个位数字都有8种情况，此时有8个“凸数”，
此时有8个“凸数”；
综合可得：共有21+21+15+8=65个符合题意的“凸数”．
故选：C．
根据题意，按“凸数”的百位数字分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A：因为E(2X−1)=2E(X)−1=2×4−1=7，故A正确；
对于B：因为D(2Y+5)=4D(Y)=4×3=12，故B错误；
对于C：根据二项分布的概念可知随机变量X～B(3,12)，故C正确；
对于D：根据超几何分布的概念可知X服从超几何分布，故D正确．
故选：ACD．
利用离散型随机变量的期望的性质可判断A；利用离散型随机变量的方差的性质可判断B；利用二项分布的概念可判断C；利用超几何分布的概念可判断D．
本题考查了离散型随机变量的概率分布，期望和方差的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：选项A中：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故选项A错误，选项B正确；
选项C中：A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)，则P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故选项C正确；
选项D中：A，B互斥，则P(AB)=0，根据条件概率公式P(B|A)=P(A|B)=0，
故选项D正确．
故选：BCD．
结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断．
本题考查了条件概率的概率公式的应用，独立事件概率公式以及互斥事件概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=A4444=332，P(X=1)=C42A4344=916，
P(X=2)=C42C22A22A42+C43A4244=2164，P(X=3)=C4144=164，
所以E(X)=3×164+2×2164+1×916+0×332=8164，
故A，B错误，C，D正确．
故选：CD．
根据古典概型的概率公式，结合排列组合求解个数，即可求解分布列，进而结合选项即可逐一求解．
本题考查了离散型随机变量的概率分布及期望和方差的计算，属于中档题．
12.【答案】252
【解析】解：(x+3x3)8的展开式中的通项公式为Tk+1=C8kx8−k3kx−3k=C8k3kx8−4k，
令8−4k=0，
∴k=2，此时Tk+1=T3=252．
故答案为：252．
根据二项式定理展开式的通项公式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
13.【答案】47
【解析】解：因为随机变量X～N(2,σ2)，且P(X≤−2)=P(X≥a)，
所以−2+a2=2，解得a=6，
所以函数y=11+x+16−x(0因为1+x>0，6−x>0，
所以y=11+x+16−x=17[(1+x)+(6−x)](11+x+16−x)=17(2+1+x6−x+6−x1+x)≥17×(2+2 1+x6−x⋅6−x1+x)=47，
当且仅当1+x6−x=6−x1+x，即x=52时，等号成立，
所以该函数的最小值为47．
故答案为：47．
由正态分布曲线的对称性可知a=6，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
14.【答案】0.7
【解析】解：设A1=“第i天去A餐厅用餐”，B1=“第i天去B餐厅用餐”(i=1,2)，
则A1与B1互斥，根据题意得：
P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.8，P(A2|B1)=0.6，
则运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为：
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2B1)
=0.5×0.8+0.5×0.6=0.7．
故答案为：0.7．
设A1=“第i天去A餐厅用餐”，B1=“第i天去B餐厅用餐”(i=1,2)，则A1与B1互斥，利用全概率公式能求出运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)由Cn2=Cn8，得n=2+8=10，
令x=0，得a0=1；
(2)由(1)可知(1−x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
令x=1，得a0+a1+a2+…+a10=0，①
令x=−1，得a0−a1+a2−…+a10=1024，②
①+②，得2(a0+a2+a+a6+a8+a10)=1024，
所以a0+a2+a4+a6+a8+a10=512，
所以a2+a4+a6+a8+a10=511．
【解析】(1)结合二项式系数的性质即可求解n，然后令x=0可求a0；
(2)利用赋值法，结合二项式系数的性质可求．
本题主要考查了二项式系数及系数的性质的应用，赋值法的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)设学生的物理得分为随机变量X，则X～N(60,100)，所以μ=60，σ=10，
所以P(40≤X≤80)=P(μ−2σ X≤μ+2σ)=0.9544，
P(X>80)=1−P(40≤X≤80)2=0.0228，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为2.28%．
(2)由题意，得P(μ−σ≤X≤μ+a)=0.6826，P(μ−2a≤X≤μ+2a)=0.9544，
即P(50≤X≤70)=0.6826，P(40≤X≤80)=0.9544，
所以P(50≤X≤60)=12P(50=12×0.6826=0.3413,P(60≤X≤80)=12P(40%=12×0.9544=0.4772,
所以P(50≤X≤80)=P(50≤X≤60)+P(60≤X≤80)=0.3413+0.4772=0.8185．
又40000×0.8185=32740，所以全市物理成绩在(50,80]内的学生人数估计为32740人．
【解析】(1)由P(40≤X≤80)=P(μ−2σ X≤μ+2σ)=0.9544计算可得；(2)P(50≤X≤80)=P(50≤X≤60)+P(60≤X≤80)，由此计算可得．
本题考查正态分布的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)方法一(分类讨论法)：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共有C21⋅C125+C22⋅C121=2079种．
方法二(总体剔除法)：至少有一名组长可以采用排除法，有C146−C126=2079种．
(2)根据题意可知，至多有3名女团员含有四种情况：①有3名女团员，②有2名女团员，③有1名女团员，④没有女团员，
故共有C63C83+C62C84+C61C85+C60C86=2534种．
(3)根据题意可知，既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男团员，5名女团员中选5人，其中至少选择1名女团员，有C125−C75种；
第二类：女组长当选，有C135种．
故共有C135+C125−C75=2058种．
【解析】(1)采用分类讨论或总体剔除法计算即可；
(2)采用分类讨论计算即可；
(3)采用分类讨论计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设事件A表示“该学生前3道题至少答对2道题”，
则P(A)=C32×(45)2×15+(45)3=112125；
(2)由题意可知，X的取值可能为0，5，10，15，20，
则P(X=0)=(15)3×12=1250，P(X=5)=C31×45×(15)2×12+(15)3×12=13250，P(X=10)=C31×45×(15)2×12+C32×(45)2×15×12=625，P(X=15)=(45)3×12+C32×(45)2×15×12=56125，
P(X=20)=(45)3×12=32125，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×1250+5×13250+10×625+15×56125+20×32125=14.5．
【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；
(2)由题意可知，X的取值可能为0，5，10，15，20，再利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为n=2，
所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，4，
因为各元件之间相互独立，且正常工作的概率均为p=34，
所以X～B(4,34)，
p2=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=C42(34)2(14)2+C43(34)3(14)+C44(34)4=243256；
(2)若控制系统增加2个元件，则现在有2n+2个元件，至少要有n+1个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为ξ，
第一类：原系统中至少有n+1个元件正常工作，
其概率为P(ξ≥n+1)=pn−C2nn⋅pn⋅(1−p)n，
第二类：原系统中恰好有n个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为P(ξ=n)=C2nn⋅pn⋅(1−p)n⋅[1−(1−p)2]=C2nn⋅pn+1⋅(1−p)n⋅(2−p)，
第三类：原系统中恰好有n−1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为P(ξ=n−1)=C2nn−1⋅pn−1⋅(1−p)n+1⋅p2=C2nn−1⋅pn+1⋅(1−p)n+1，
所以pn+1−pn=−C2nn⋅pn⋅(1−p)n+C2nn⋅pn+1⋅(1−p)n⋅(2−p)+C2nn−1⋅pn+1⋅(1−p)n+1
=C2nnpn(1−p)n+1[nn+1p−(1−p)]
因为对∀n∈N*，都有pn+1>pn，所以nn+1p−(1−p)>0对∀n∈N*恒成立，
即p>n+12n+1=12+14n+2对∀n∈N*恒成立．
由n∈N*，当n=1时(12+14n+2)max=23，所以p>23，
所以p的取值范围是(23,1)．
【解析】(1)正常工作的元件个数X服从于二项分布，利用概率公式求p2；
(2)分情况讨论原系统中正常工作的元件个数，计算pn+1，由pn+1>pn求p的取值范围．
本题主要考查了二项分布的概率公式，考查了概率的应用，属于中档题．X
5
10
15
P
p2+56
5p2−2p6
p6
X
5
10
15
P
p2+56
5p2−2p6
p6
X
0
5
10
15
20
P
1250
13250
625
56125
32125