2023-2024学年福建省福州十八中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州十八中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数属于无理数的是( )
A. 12B. 4C. πD. 0.3
2.在平面直角坐标系中，点(−3,3)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列运算正确的是( )
A. −32=9B. |−3|=−3C. − 9=−3D. 9=±3
4.二元一次方程x+3y=10的正整数解的个数有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.由方程组x+m=4y−m=3可得出x与y的关系是( )
A. x+y=1B. x+y=−1C. x+y=7D. x+y=−7
6.m为任意实数，下列不等式中一定成立的是( )
A. m3−mD. 5m>3m
7.如果15a2b3与−14ax+1bx+y是同类项，则x，y的值是( )
A. x=1y=3B. x=2y=2C. x=1y=2D. x=2y=3
8.为加强拔尖创新人才的培养，某校面向对口小学招募对数学有兴趣的拔尖学生开展贯通式培养，入选同学要在该校组织的数学测试中得分不低于80分，测试共有25道题，每道题选对得4分，不选或选错扣2分，则入选同学至少要选对( )
A. 23道B. 22道C. 21道D. 20道
9.已知不等式组2x−13>1x>m的解集为x>2，则( )
A. m>2B. m<2C. m=2D. m≤2
10.如图，在平面直角坐标系上有点A(1,0)，点A第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次向右跳动3个单位至点A2(2,1)，第三次跳动至点A3(−2,2)，第四次向右跳动5个单位至点A4(3,2)，…，以此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是( )
A. (1013,1012)B. (1012,1011)C. (1010,1009)D. (1011,1010)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.−8的立方根是______．
12.P(4,−3)，则P点到x轴的距离是______．
13.不等式x−23<1的解集是______．
14.若不等式(m−2025)x>m−2025的解集为x<1，则m的取值范围是______．
15.已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=−a+1x−3y=4a+6(a是常数)，若不论a取什么实数，代数式kx−2y(k是常数)的值始终不变，则k= ______．
16.已知有理数x，y满足2x−3y=4，并且x≥−1，y<2，现有k=x−y，则k的最小值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算： 81+3−27+ (−2)2+| 3−2|
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解方程组：
(1)y=2x−33x+2y=8；
(2)2x+y=23x−2y=10．
19.(本小题8分)
解不等式组：x−12≤1x−2<4(x+1)，并把其解集表示在数轴上．
20.(本小题8分)
如图：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1．
(1)在图中画出△A1B1C1；
(2)平移后△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1(______)、B1(______)、C1(______)；
(3)若y轴有一点P，使△PBC与△ABC面积相等，则P点的坐标为______．
21.(本小题8分)
已知4a−11的平方根是±3，3a+b−9的立方根是2，c是 8的整数部分，求a+b+c的平方根．
22.(本小题8分)
已知关于x，y的方程组3x+2y=42x+y=m−1的解满足x+y=5，求m的值？
23.(本小题12分)
为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？
(3)在(2)的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，在投入资金最少的情况下该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具(可以只购买一种)，求再次购买农机具的方案有哪几种？
24.(本小题12分)
新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>2x+2<7的解集为32x+2<7的“关联方程”．
(1)在方程①3(x+1)−x=9；②4x−8=0；③x−12+1=x中，关于x的不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4的“关联方程”是______；(填序号)
(2)若关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+1≥2xx−12≥2x+13−2的“关联方程”求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x+72=3m是关于x的不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围．
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−a,a)，点B的坐标(c,b)，且a、b、c满足3a−b+2c=8a−2b−c=−4．
(1)若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由．
(2)连AB、OA、OB，若△OAB的面积大于5而小于8，求a的取值范围；
(3)若两个动点M(2m,3m−5)，N(n−1,−2n−3)，请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段MN//AB，且MN=AB.若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、12是分数，属于有理数，不符合题意；
B、 4=2，是有理数，不符合题意；
C、π是无理数，符合题意；
D、0.3是有理数，不符合题意；
故选：C．
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可，
本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
2.【答案】B
【解析】解：∵点(−3,3)的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴点在平面直角坐标系的第二象限，
故选B．
根据象限的特点，判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】C
【解析】解：A：−32=−9，故A错误；
B、|−3|=3，故B错误；
C、− 9=−3，故C正确；
D、一个正数的算术平方根只有一个，故D错误．
故选：C．
根据乘方，可判断A，根据绝对值的意义，可判断B，根据开方运算，可判断C，D．
本题考查了算术平方根，注意一个正数有两个平方根，一个正数只有一个算术平方根．
4.【答案】C
【解析】解：∵x+3y=10，
∴y=10−x3，
∵x，y是正整数，
∴x=1y=3，x=4y=2，x=7y=1．
故选：C．
根据题意，可得y=10−x3，根据x，y是正整数，则10−x是3的倍数，可得y=1，2，3，据此即可求解．
本题考查了二元一次方程的解，理解题意得出y=1，2，3是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：x+m=4 ①y−m=3 ②，
①+②得：x+y=7．
故选：C．
方程组消去m得到x与y的关系即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6.【答案】B
【解析】解：A、C、D、当m=0时，不成立，故错误；
B、一个数减去一个正数，一定小于加上一个正数，正确；
C、D都不知道m的正负．
故选B．
数可以是任意数，代入后看所给等式是否成立．
代入特殊值进行比较可简化运算．
7.【答案】C
【解析】解：∵15a2b3与−14ax+1bx+y是同类项，
∴x+1=2x+y=3，
解得x=1y=2．
故选：C．
首先根据同类项的定义，即相同字母的指数相同列出方程组，然后解出方程组就是所求的答案．
本题是同类项与二元一次方程组的一道综合试题，求解时要注意正确列出方程组，然后求解．
8.【答案】B
【解析】解：设选对x道题，则不选或错选(25−x)道题，依题意得：
4x−2(25−x)≥80，
解得：x=653，
∵x为正整数，
∴至少应选对22道题，
故选：B．
设选对x道题，则不选或错选(25−x)道题，根据题意即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由2x−13>1x>m得，x>2x>m，
∵不等式组2x−13>1x>m的解集为x>2，
∴m≤2，
故选：D．
根据不等式组2x−13>1x>m的解集为x>2，可以求得m的取值范围，从而可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确一元一次不等式组的解答方法．
10.【答案】A
【解析】解：∵A(1,0)，A2(2,1)，
A3(−2,2)，A4(3,2)，
A5(−3,3)，A6(4,3)，
A7(−4,4)，A8(5,4)，
…，
∴A2n−1(−n,n)，A2n(n+1,n)(n为正整数)，
∴2n=2024，
∴n=1012，
∴A2024(1013,1012)，
故选：A．
根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解，
本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．
11.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查了立方根的定义，属于基础题．
根据立方根的定义进行选择即可．
【解答】
解：∵−23=−8，
∴−8的立方根是−2，
故答案为−2．
12.【答案】3
【解析】解：∵|−3|=3，
∴P点到x轴的距离是3，
故答案为3．
求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离．
考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
13.【答案】x<5
【解析】解：∵x−23<1，
∴x−2<3，
则x<3+2，
即x<5，
故答案为：x<5．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
14.【答案】m<2025
【解析】解：关于x的不等式(m−2025)x>m−2025的解集为x<1，
∴m−2025<0，
∴m<2025，
故答案为：m<2025．
根据不等式的基本性质3求解可得．
本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质3求解即可，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
15.【答案】−2
【解析】解：关于x，y的二元一次方程组x+2y=−a+1①x−3y=4a+6②，
①×4+②得：5x+5y=10，
∴x+y=2，
∴−2x−2y=−4，
∵不论a取什么实数，代数式kx−2y(k是常数)的值始终不变，
∴k=−2，
故答案为：−2．
将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，
本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉a是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：∵2x−3y=4，
∴y=13(2x−4)，
∵y<2，
∴13(2x−4)<2，解得x<5，
又∵x≥−1，
∴−1≤x<5，
∵k=x−13(2x−4)=13x+43，
当x=−1时，k=13×(−1)+43=1；
当x=5时，k=13×5+43=3，
∴1≤k<3.，
∴k的最小值为1，
故答案为：1．
先把2x−3y=4变形得到y=13(2x−4)，由y<2得到13(2x−4)<2，解得x<5，所以x的取值范围为−1≤x<5，再用x变形k得到k=13x+43，然后利用一次函数的性质确定k的范围即可求得．
本题考查了解一元一次不等式和一次函数的性质，解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
17.【答案】解： 81+3−27+ (−2)2+| 3−2|
=9−3+2− 3+2
=10− 3．
【解析】本题主要考查了实数的综合运算能力，
本题涉及立方根、绝对值、算术平方根3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
18.【答案】解：(1)y=2x−3①3x+2y②，
把①代入②得：3x+2(2x−3)=8，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=1，
∴方程组的解为：x=2y=1．
(2)解：2x+y①3x−2y=10②，
①×2+②得：7x=14，
∴x=2，
把x=2代入①得：y=−2，
∴方程组的解为：x=2y=−2．
【解析】(1)利用代入消元法求解即可；
(2)利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法步骤是解题的关键．
19.【答案】解：由(1)得x≤3，
由(2)得，x>−2，
不等式组的解集是−2表示在数轴上：
【解析】先解组成不等式组的每个不等式，再取它们解集的公共部分．
此题主要考查一元一次不等式的解法及用数轴表示不等式组的解集的方法．
20.【答案】0，4 −1，1 3，1 (0,1)或(0,−5)
【解析】解：(1)由图象可知，A、B、C三点的坐标是：(−2,1)、(−3,−2)、(1,−2)，
向上平移3个单位得到：(−2,4)、(−3,1)、(1,1)，再各右平移2个单位得到：A1(0,4)、B1(−1,1)、C1(3,1)，
依次连接A1、B1、C1得到△A1B1C1，如图1：
则△A1B1C1就是所求的三角形．
(2)解：由(1)可知，A1、B1、C1三点的坐标是：A1(0,4)、B1(−1,1)、C1(3,1)，
故答案为：(0,4)、(−1,1)、(3,1)．
(3)解：如图2，过点A作AP/​/BC交y轴于点P，
∵AP/​/BC，
∴S△PBC=S△ABC，
∴点P(0,1)，
作点P关于直线BC的对称点P′，则点P′也满足条件，
∴点P′(0,−5)，
综上所述，满足条件的点P坐标为：(0,1)或(0,−5)，
故答案为：(0,1)或(0,−5)．
(1)根据点在坐标平面中的位置，找出根据平移要求，作出A、B、C 的对应点A1、B1、C1连接即可；
(2)根据平移要求，作出A、B、C 的对应点A1、B1、C1即可；
(3)如图，过点A作AP/​/BC交y轴于点P，由AP/​/BC，可得S△PBC=S△ABC，此时 P′(0,1).作点P关于直线BC的对称点P′，则点 P′也满足条件，此时P′(0,−5)．
本题考查四边形综合题、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，熟练掌握平面坐标系的有关知识．
21.【答案】解：∵4a−11的平方根是±3，
∴4a−11=32=9，
∴a=5，
∵3 a+b−9的立方根是2，
∴3a+b−9=23=8，
∴15+b−9=8，
∴b=2，
∵4<8<9，
∴2< 8<3，
∴c=2，
∴a+b+c=5+2+2=9，
∵9的平方根是±3，
∴a+b+c的平方根是±3．
【解析】根据题意可得4a−11=9，15+b−9=8，从而求出a、b的值，再估算出 8的值即可求解．
本题考查了平方根，立方根，估算无理数的大小，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键．
22.【答案】解：关于x，y的方程组3x+2y=42x+y=m−1，
解得：x=2m−6y=−3m+11，
∵x+y=5，
∴2m−6−3m+11=5，
解得：m=0．
【解析】先解方程组求出x，y的值，根据x+y=5，求解即．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设购买1件甲种农机具需x万元，购买1件乙种农机具需y万元，根据题意，得
2x+y−3.5x+3y−3，
解得：x=1.5y=0.5，
答：购买1件甲种农机具需1.5万元，购买1件乙种农机具需0.5万元．
(2)解：根据题意，得：
1.5m+0.5(10−m)≥+0.5(10−m)≤12，
解得：4.8≤m≤7．
∵m为整数，
∴m可取5，6，7，
∴有三种购买方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
(3)解：设总资金为w万元，则：
w=1.5m+0.5(10−m)=m+5，
∵k=1>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w最小，
w最小=(1.5−0.7)×5+(0.5−0.2)×5=5.5(万元)，
∴方案一需要的资金最少，最少资金是5.5万元，
∴节省的资金有：
0.7×5+0.2×5=4.5(万元)，
节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；
(1.5−0.7)×0+(0.5−0.2)×15=4.5(万元)，
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件：
(1.5−0.7)×3+(0.5−0.2)×7=4.5(万元)．
【解析】(1)设购进1件甲种农机具 x万元，购进1件种农机具 y 万元，根据购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列二元一次方程组，求解即可；
(2)根据投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列一元一次不等式组，求出m的取值范围，取正整数，即可确定有哪几种购买方案；
(3)设需要的资金为w万元，由题意得w=1.5m+0.5(10−m)=m+5，结合(2)的方案即可得出结果．
本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解，考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出不等式关系式，利用一次函数的性质解决最值问题．
24.【答案】①②
【解析】解：(1)①3(x+1)−x=9，解得x=3；
②4x−8=0，解得x=2；
③x−12+1=x，解得x=1；
解不等式2x−2>x−1得：x>1，
解不等式3(x−2)−x≤4得：x≤5，
∴2x−2>x−13(x−2)−x≤4的解集为1∵x=3，x=2在1∴不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4“关联方程”是①②；
故答案为：①②；
(2)解不等式3x+12>x得：x>−1，
解不等式x−12≥2x+13−2得：x≤7，
∴3x+12>xx−12≥2x+13−2的解集为−1关于x的方程2x−k=6的解为x=12k+3，
∵关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，
∴x=12k+3在−1∴−1<12k+3≤7，
解得−8(3)解不等式x+3m>3m得：x>0，
解不等式x−m≤2m+1得：x≤3m+1，
∴x+3m>3mx−m≤2m+1的解集为0∵此时不等式组有4个整数解，
∴4≤3m+1<5，
解得1≤m<43，
关于x的方程x+72−3m=0的解为x=6m−7，
∵关于x的方程x+72−3m=0是不等式组x+3m>3mx−m≤2m+1的“关联方程”，
∴x=6m−7在0∴0<6m−7≤3m+1，
解得76综上所述，76(1)先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
(2)先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x=12k+3，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
(3)先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出m的范围，然后求出方程的解为x=6m−7，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式，最后取公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键．
25.【答案】解：(1)点A在第四象限，
理由：∵a没有平方根，
∴a<0，
∴点A(−a,a)在第四象限；
(2)∵a，b，c满足3a−b+2c=8a−2b−c=−4，
∴b=ac=4−a，
∴B(4−a,a)，
∵A(−a,a)，
∴AB/​/x轴，
∴AB=4−a−(−a)=4，
∴S△AOB=12AB⋅|yA|=12×4⋅|a|=2|a|，
∵△OAB的面积大于5而小于8，
∴5<2|a|<8，
∴−4(3)存在，
理由：由(2)知，AB=4，AB/​/x轴，
∵MN/​/AB，
∴MN/​/x轴，
∴点M与点N的纵坐标相等，
∵M(2m,3m−5)，N(n−1,−2n−3)，
∴3m−5=−2n−3①，
∵AB=4，
∴|2m−n+1|=4②，
联立①②得，m=87n=−57或m=−87n=197，
当m=87n=−57时，2m=167,3m−5=87×3−5=−117,n−1=−127,−2n−3=−117，
∴M(167,−117),N(−127,−117)，
或m=−87n=197时，2m=−167,3m−5=−87×3−5=−597,n−1=127,−2n−3=−597，
∴M(−167,−597),N(127,−597)，
即：当线段MN//AB，且MN=AB时，M(167,−117),N(−127,−117)或M(−167,−597),N(127,−597)．
【解析】(1)先判断出a小于0，即可得出结论；
(2)先用a表示出b=a，c=4−a，进而得出AB=2，AB/​/x轴，即：S△AOB=2|a|，最后用△AOB的面积的范围建立关于|a|的不等式组，求解即可得出结论；
(3)先判断出MN/​/x轴，进而得出3m−5=−2n−3①，再用AB=4，得出|2m−n+1|=4②，联立①②建立方程组求解即可求出m，n的值，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了解方程组，三角形的面积公式，解绝对值不等式组，判断出AB/​/x轴，是解本题的关键．