2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知i是虚数单位，若z=1+i，则|z−|=( )
A. 1B. 0C. 2D. 2
2.若向量AB=(0,1),CD=(m,−2),AB//CD，则m=( )
A. −1B. 2C. 1D. 0
3.已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若AB=(2,1)，AC=(3,−6)，则△ABC的面积为( )
A. 15B. 12C. 152D. 6
4.曲线y=f(x)与曲线y=csx关于x轴对称，则( )
A. f(x)=sinxB. f(x)=−sinxC. f(x)=csxD. f(x)=−csx
5.若复数z满足z=i(1+2i)，则z在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.若函数f(x)=cs(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=13对称，则φ=( )
A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为π，若sinα+f(α)=13，则sin2α−cs2α+11+tanα的值为( )
A. 49B. −89C. 59D. −59
8.课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角ΔABC中，过点A作与AC垂直的单位向量j，因为AC+CB=AB，所以j⋅(AC+CB)=j⋅AB由分配律，得j⋅AC+j⋅CB=j⋅AB，即|j||AC|csπ2+|j||CB|cs(π2−C)=|j||AB|cs(π2−A)也即asinC=csinA．
请用上述向量方法探究，如图2直线l与ΔABC的边AB，AC分别相交于点D，E.设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ.则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为( )
A. acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθB. acs(B+θ)+bcs(A−θ)=ccsθ
C. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθD. asin(B+θ)+bsin(A−θ)=csinθ
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，同时满足：①在(0,π4)上是增函数；②为偶函数的是( )
A. y=|sinx|B. y=|tanx|C. y=cs|x|D. y=sin|x|
10.下列命题中正确的是( )
A. 若向量a，b满足|a⋅b|=|a||b|，则a//b
B. 若非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|，则a⊥b
C. 若a，b，c为平面向量，则(a⋅b)c=a(b⋅c)
D. 若a，b，c为非零向量，且满足a⋅b=a⋅c，则b=c
11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为 34(a2+c2−b2)，则下列说法正确的是( )
A. csAcsC的取值范围是(−12,14]
B. 若D为边AC的中点，且BD=1，则△ABC的面积的最大值为2 33
C. 若△ABC是锐角三角形，则ac的取值范围是(12,2)
D. 若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE= 3，则1a+1c等于2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a,b均为单位向量，且|a+b|=1，则向量a与b的夹角为______．
13.若sin(θ−π6)=45，则cs(2θ+2π3)= ______．
14.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为点P.设|AB|=6，|AC|=8，∠BAC=π3，AP=xAB+yAC，则x2−2yx的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
m为何实数时，复数z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)满足下列要求：
(1)z是纯虚数；
(2)z在复平面内对应的点在第二象限．
16.(本小题15分)
已知A(2,3)，B(4,−3)，点M在直线AB上，且|AM|=2|AB|，求点M的坐标．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<π2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间．
18.(本小题17分)
如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得M，N的俯角分别为α1=75°，β1=30°，在B点测得M，N的俯角分别为α2=45°，β2=60°，同时测得AB=10 6km．
(1)求BN和AM的长度；
(2)求M，N之间的距离．
19.(本小题17分)
对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为x1的像．
(1)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈R；g(x)=3cs(3x+π6)，x∈R，判断f(x)与g(x)是否具有关系M(−6)，并说明理由；
(2)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,π3]；g(x)=3 3cs(3x+π6)，x∈[0,π]，且f(x)与g(x)具有关系M(5 32)，求x1=π6的像；
(3)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[−π4,π6]；g(x)=−2sin2x+asinx+2，x∈R，且f(x)与g(x)具有关系M(5)，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的模，考查了共轭复数的概念，是基础题；
由共轭复数的定义知，|z−|=|z|，从而求解．
【解答】
解：|z−|=|z|= 12+12= 2，
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：依题意得m×1=0×(−2)，即m=0．
故选：D．
利用向量平行的坐标表示直接求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为AB=(2,1)，AC=(3,−6)，
所以AB⋅AC=2×3+1×(−6)=0，可得AB⊥AC，即∠BAC=90°
又因为|AB|= 22+12= 5，|AC|= 32+(−6)2=3 5，
所以△ABC的面积S=12× 5×3 5=152．
故选：C．
根据题意利用数量积的运算性质，判断出∠BAC=90°，然后求出AB,AC的长度，利用三角形的面积公式算出答案．
本题主要考查平面向量的数量积及其性质、三角形的面积公式等知识，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：曲线y=f(x)与曲线y=csx关于x轴对称，
则f(x)=−csx．
故选：D．
根据已知条件，结合函数关于x轴的性质，即可求解．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：z=i(1+2i)=−2+i，
则z在复平面上所对应的点(−2,1)位于第二象限．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=cs(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=13对称，
所以π3+φ=kπ(k∈Z)，得φ=−π3+kπ(k∈Z)，
因为0<φ<π，所以φ=2π3．
故选：C．
由余弦函数的对称性直接求解．
本题主要考查余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得，T=2π，
所以ω=1，f(x)=sin(x+φ)，
因为f(x)为偶函数，所以φ=π2+kπ，k∈Z，
因为0≤φ≤π，
所以φ=π2，f(x)=csx，
若sinα+f(α)=13，则sinα+csα=13，
两边平方得，1+2sinαcsα=19，即2sinαcsα=−89，
sin2α−cs2α+11+tanα=2sinαcsα+2sin2α1+sinαcsα=2sinαcsα=−89．
故选：B．
由已知先求出周期，进而可求ω，再由偶函数定义求出φ，结合已知及二倍角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，还考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数的性质，涉及到向量的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
设m=DE|DE|，则|m|=1，然后可得m⋅AC+m⋅CB=m⋅AB，再根据向量的数量积的运算性质化简即可求解．
【解答】
解：设m=DE|DE|，则|m|=1，
因为AC+CB=AB，所以m⋅(AC+CB)=m⋅AB，
即m⋅AC+m⋅CB=m⋅AB，
即|m||AC|cs(π−(θ+A))+|m||CB|cs(π−(B−θ))=|m||AB|cs(π−θ)，
所以−bcs(A+θ)−acs(B−θ)=−ccsθ，
即bcs(A+θ)+acs(B−θ)=ccsθ．
故答案选：A．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据正弦函数图象的变换可知，y=|sinx|为偶函数且在(0,π4)上是增函数，A正确；
y=|tanx|为偶函数且在(0,π4)上是增函数，B正确；
y=cs|x|在(0,π4)上是减函数，C错误；
y=sin|x|为偶函数且在(0,π4)上是增函数，D正确．
故选：ABD．
由已知结合基本初等函数的图象变换及函数的单调性及奇偶性检验各选项即可．
本题主要考查了三角函数图象的变换及函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于选项A，若向量a，b满足|a⋅b|=|a||b|，
当a，b至少有一个为0时，
则a//b，
当a，b均不为0时，
则cs=±1，
即=0或π，
即a//b，
即选项A正确；
对于选项B，若非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|，
则a⋅b=0，
则a⊥b，
即选项B正确；
对于选项C，若a，b，c为平面向量，
取a，b，c为非零向量，且a⊥b，b/​/c，
则(a⋅b)c=0，a(b⋅c)=λa，其中λ≠0，
此时(a⋅b)c≠a(b⋅c)，
即选项C错误；
对于选项D，若a，b，c为非零向量，且满足a⋅b=a⋅c，
则a⋅(b−c)=0，
则b=c或a⊥(b−c)，
即选项D错误．
故选：AB．
由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直的运算逐一判断．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为S= 34(a2+c2−b2)，由三角形面积公式及余弦定理可得12acsinB= 34×2accsB，
可得tanB= 3，B∈(0,π)，所以B=π3，
A中，可得csAcsC=−csAcs(A+π3)=−[12cs2A− 32sinAcsA]
=−(12⋅1+cs2A2− 34sin2A)=−12(12cs2A− 32sin2A)−14
=−12cs(2A+π3)−14，
因为A∈(0,2π3)，所以2A+π3∈(π3,5π3)，
所以cs(2A+π3)∈[−1,12)，所以csAcsC∈(−12,14]，所以A正确；
B中，D为边AC的中点，且BD=1，
可得2BD=BA+BC，所以4BD2=BA2+BC2+2BA⋅BC=c2+a2+2accsB≥2ac+ac，
所ac≤43×1，
则△ABC的面积的最大值为12×43× 32= 33，所以B不正确；
C中，△ABC为锐角三角形，可得0由正弦定理可得ac=sinAsinC=sin(π3+C)sinC= 32csC+12sinCsinC= 32tanC+12，
因为tanC> 33，所以0< 32tanC<32，
所以ac∈(12,2)，所以C正确；
D中，由等面积可得12(a+c)⋅BE⋅sinπ6=12acsinπ3，BE= 3，
可得a+c=ac，
所以1a+1c=a+cac=1，所以D不正确．
故选：AC．
由三角形面积公式及余弦定理可得tanB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，A中，可得csAcsC表达式，再由角A的范围，可得csAcsC的范围，判断出A的真假；B中，由中线的向量表示及基本不等式可得ac的范围，进而求出三角形的面积的最大值，判断出B的真假；C中，由正弦定理及锐角三角形中角C的范围，可得tanC的范围，进而可得ac的范围，判断出C的真假；D中，由三角形的面积相等可得a+c=ac，进而可得1a+1c的值，判断出D的真假．
本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
12.【答案】2π3
【解析】解：设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
平面向量a,b均为单位向量，且|a+b|=1，
则a2+2a⋅b+b2=1，即1+2×1×1×csθ+1=1，解得csθ=−12，
故θ=2π3．
故答案为：2π3．
根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
13.【答案】725
【解析】解：∵sin(θ−π6)=−sin(π6−θ)=45，
∴sin(π6−θ)=cs(π3+θ)=−45，
∴cs(2θ+2π3)=2cs2(π3+θ)−1=2×(−45)2−1=725．
故答案为：725．
利用诱导公式可求得cs(π3+θ)=−45，再利用二倍角的余弦公式计算可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数及二倍角的余弦公式，属于中档题．
14.【答案】−417
【解析】解：设∠PAC=θ(0<θ<π2)，
由于∠BAC=π3，则∠PBA=π3−θ，
因为AP⊥BD，且|AO|=12|AC|=4，
所以|AP|=|AO|csθ=|AB|cs(π3−θ)，
即|AP|=4csθ=6cs(π3−θ)，
所以2csθ=32csθ+3 32sinθ，得csθ=3 3sinθ，
又sin2θ+cs2θ=1，
解得sinθ= 714，csθ=3 2114，
所以|PO|=|AO|sinθ=4× 714=2 77，|BP|=|AB|sin(π3−θ)=|AB|⋅( 32csθ−12sinθ)=12 77，
所以|BO|=|BP|+|PO|=2 7，
则|PO||BO|=17，
所以PO=|PO||BO|⋅BO=17BO=17(12AC−AB)=114AC−17AB，
又因为AP=AO−PO=12AC−PO，
由AP=xAB+yAC可知x=17，y=37，
所以x2−2yx=149−6717=−417．
故答案为：−417．
由已知结合向量的线性运算及向量向量数量积的性质可求出x，y，代入即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)
=2m2+m2i−3mi−3m−2+2i
=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i．
(1)由2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0，得m=−12，
即m=−12时，z是纯虚数．
(2)由2m2−3m−2<0m2−3m+2>0，得−12即m∈(−12,1)时，z在复平面内对应的点在第二象限．
【解析】(1)利用复数的实部为0，虚部不为0，求解即可．
(2)利用复数的对应点在第二象限．列出不等式组求解即可．
本题考查复数的基本概念的应用，考查计算能力．
16.【答案】解：由点M在直线AB上，且|AM|=2|AB|，
可得AM=±2AB，设M(x,y)，
则AM=(x−2,y−3)，AB=(2,−6)，
则有x−2=4y−3=−12或x−2=−4y−3=12，
解得x=6y=−9或x=−2y=15，
则点P的坐标为(6,−9)或(−2,15)．
【解析】由向量共线的坐标表示，即可求得．
本题考查向量的坐标运算，属基础题．
17.【答案】解：(1)由图象可知，A+B=4−A+B=0，
所以A=B=2，
设f(x)的最小正周期为T，T4=14×2πω=5π12−π6=π4．
∴ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)+2，
又∵f(π6)=2sin(2×π6+φ)+2=4，且|φ|<π2，
∴2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z．
∴φ=π6.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6)+2；
(2)∵0≤x≤π，∴π6≤2x+π6≤13π6，
由π6≤2x+π6≤π2和3π2≤2x+π6≤13π6．
可得函数f(x)的单调递增区间为[0,π6]和[2π3,π]．
【解析】(1)由最值求出A，B，结合函数图象求出周期T，进而可求ω，代入特殊点的坐标求出φ，进而可求函数解析式；
(2)结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)+B的解析式的求解，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABM中，由题知AB=10 6，∠MAB=75°，∠ABM=45°，
所以∠AMB=180°−75°−45°=60°，
由正弦定理得AMsin∠ABM=ABsin∠AMB，所以AM=AB⋅sin∠ABMsin∠AMB=10 6⋅ 22 32=20，
在△ABN中，又因为∠BAN=30°，∠ABN=180°−60°=120°，∠ANB=180°−120°−30°=30°，
所以∠BAN=∠ANB，
所以BN=AB=10 6；
(2)在△ABN，由(1)∠ABN=120°，∠BAN=∠BNA=30°，AB=BN=10 6，
所以AN=2AB⋅cs30°=2×10 6× 32=30 2，
在△AMN中，AM=20，AN=30 2，∠MAN=75°−30°=45°，
由余弦定理得MN2=AM2+AN2−2AM⋅ANcs∠MAN=400+1800−2×20×30 2× 22=1000，
所以MN=10 10．

【解析】(1)在△ABM中，利用正弦定理即可求解出AM，再利用条件得到BN=AB；
(2)在△ABN中，利用条件和(1)中的结果，求出AN，在△AMN中，再利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)与g(x)不具有关系M(−6)，
理由如下：
x∈R时，f(x)=2sin(2x+π6)∈[−2,2]，g(x)=3cs(3x+π6)∈[−3,3]，
所以f(x1)+g(x2)∈[−5,5]，
−6∉[−6,6]，
即不存在x2∈R，使任取x1∈R，f(x1)+g(x2)=−6成立，
所以f(x)与g(x)不具有关系M(−6)；
(2)由题意可知f(x1)+g(x2)=2sin(2×π6+π3)+3 3cs(3x2+π6)= 3+3 3cs(3x2+π6)=5 32，
所以3 3cs(3x2+π6)=3 32，
即cs(3x2+π6)=12⇒3x2+π6=±π3+2kπ，
又x2∈[0,π]，所以3x2+π6∈[π6,19π6]，
所以k=0，1，
解得x2=π18或π2或13π18，
所以x1=π6的像为π18或π2或13π18；
(3)当x∈[−π4,π6]时，则2x+π3∈[−π6,2π3]，
所以f(x)=2sin(2x+π3)∈[−1,2]，
即∀x1∈[−π4,π6],f(x1)∈[−1,2]，
因为f(x)与g(x)具有关系M(5)，
所以要满足题意需∃x2∈R，使得f(x1)+g(x2)=5，
即f(x1)=5−g(x2)，
所以[−1,2]⊆5−g(x2).
令5−g(x)=2sin2x−asinx+3(x∈R)，
令t=sinx，则t∈[−1,1]，
设h(t)=2t2−at+3(t∈[−1,1])，则对称轴为t=a4，开口向上，
①若a4≤−1，即a≤−4时，h(t)∈[h(−1),h(1)]=[5+a,5−a]，
则5−a≥25+a≤−1⇒a≤−6，
②若a4≥1，即a≥4时，h(t)∈[h(1),h(−1)]=[5−a,5+a]，
则5+a≥25−a≤−1⇒a≥6，
③若−1则5−a≥23−a28≤−1⇒a≤3a≥4 2或a≤3a≤−4 2，显然无解，
④若0则5+a≥23−a28≤−1⇒a≥−3a≥4 2或a≥−3a≤−4 2，显然无解，
综上所述：a≥6或a≤−6．
实数a的取值范围为(−∞,−6]∪[6,+∞)．
【解析】(1)根据具有关系M(−6)的定义及三角函数的值域判断即可；
(2)根据具有关系M(5 32)及三角函数的性质计算即可；
(3)利用三角函数的性质先确定f(x1)∈[−1,2]，根据具有关系M(5)的定义得出5−g(x2)⊇[−1,2]，再根据二次函数的性质求解即可．
本题属于新概念题，考查了三角函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．