还剩9页未读，
继续阅读
2023-2024学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（下）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=−i+1，则它在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={x|x2−4x−5≥0}，B={x|a−3A. {a|a>1}B. {a|13.已知向量a=(x,1)，b=(2,4)，若a//b，则x=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
4.如图，已知A′C′//y′轴，A′B′//x′轴，△A′B′C′是用斜二测画法画出的△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 钝角三角形
5.设函数f(x)=2sin(2x−π3)+34，则下列叙述正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的图象关于直线x=π12对称
C. f(x)在[π2,π]上的最小值为− 3+34D. f(x)的图象关于点(2π3,34)对称
6.已知a=20.2，b=lg0.50.2，c=lg0.20.4，则( )
A. b>a>cB. b>c>aC. a>b>cD. a>c>b
7.为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB=60°，则铁塔OT的高度为米( )
A. 30 21
B. 25 21
C. 30 3
D. 25 3
8.已知圆锥的轴截面为△PAB，P为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若∠APB=60°，则该圆锥的体积为( )
A. 9 3πB. 12 3πC. 18 3πD. 27 3π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).图中的曲池，AA1垂直于底面，AA1=5，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD=2，则下列说法正确的是( )
A. 弧AD长度为3π2
B. 曲池的体积为10π3
C. 曲池的表面积为10+14π
D. 三棱锥A−CC1D的体积为5
10.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z1=z2−，则z1−=z2B. 若|z1−z2|=|z1+z2|，则z1z2=0
C. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−D. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
11.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，CD=2，AD=4，AB=5，E，F分别在线段AD，AB上，且线段DE与线段BF的长度相等，则( )
A. CE⋅CF的最小值为−4B. CE⋅CF的最大值为18
C. CE⋅EF的最大值为−1D. △CEF的面积的最大值为418
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=sinx+csx+2sinxcsx+2的值域是______．
13.已知平面向量a=(sinθ,1),b=(−2,csθ)，若a⊥b，则tanθ= ______．
14.函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，方程f(x)=k(k<0)有3个实数解，则k的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinC=csin(A+π3)．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2，c=3，D是边BC的中点，求AD的长．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−2ax+5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a]，求实数a的值；
(2)若g(x)=x2+x−1x+1，且对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．
(1)求该正三棱柱的体积；
(2)求三棱锥D−A1B1C的体积；
(3)设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；已知bsinA=acs(B−π6).
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC外接圆的半径为2，求△ABC面积的最大值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，GA+GB+GC=0．
(1)证明：G为△ABC的重心．
(2)若AG=4，BC=6，求BG+ 3CG的最大值，并求此时AB的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：z=−i+1=1−i，
则它在复平面内对应的点(1,−1)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵x2−4x−5≥0，∴x≤−1或x≥5，
∴A={x|x≤−1或x≥5}，
又A∪B=R，
∴a−3≤−1a+4≥5，解得1≤a≤2．
故选：D．
先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于a的不等式组，解之即得．
本题主要考查了集合的并集运算及包含关系的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知向量a=(x,1)，b=(2,4)，
故由a//b，得4x−2=0，∴x=12．
故选：B．
根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由A′C′//y′轴，A′B′//x′轴，知AB⊥AC，
所以△ABC是直角三角形．
故选：B．
由A′C′//y′轴，A′B′//x′轴，知AB⊥AC，进而判断△ABC的形状即可．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A，f(x)的最小正周期T=2π2=π，故A错误；
对于B，∵sin(2×π12−π3)=−12≠±1，∴直线x=π12不是f(x)的图象的对称轴，故B错误；
对于C，x∈[π2,π]时，2x−π3∈[2π3,5π3]，
∴sin(2x−π3)∈[−1, 32]，∴2sin(2x−π3)+34∈[−54, 3+34]，
∴f(x)在[π2,π]上的最小值为−54，故C错误；
对于D，∵sin(2×2π3−π3)=0，2sin(2×2π3−π3)+34=34，
∴f(x)的图象关于点(2π3,34)对称，故D正确．
故选：D．
根据正弦型函数的周期性、对称性、值域逐项判断即可得结论．
本题考查正弦型函数的性质的应用，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：∵1，c=lg0.20.4<，
∴b>a>c．
故选：A．
分别利用函数单调性判断出a、b、c的范围，即可得到答案．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设铁塔OT的高度为h米，
由题意可得：OA= 3h,OB= 33h，
在△OAB中，由余弦定理AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cs∠AOB，
即2102=3h2+13h2−2 3h× 33h×12，解得h=30 21．
故选：A．
设铁塔OT的高度为h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．
本题考查了余弦定理的应用，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，如图，圆锥的轴截面为△PAB，设内切球O与PA相切于点E，内切球的半径为r，
因为∠APB=60°，所以∠OPA=30°．
由内切球的表面积为12π，则有S=4πr2=12π，
解可得：r= 3，则OP=2r=2 3，
故圆锥的高为3 3，圆锥的底面半径为3，
所以该圆锥的体积V=13π×9×3 3=9 3π．
故选：A．
根据题意，作出圆锥的轴截面图，设内切球O与PA相切于点E，内切球的半径为r，由球的表面积公式求出r的值，进而由球的体积公式计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥与球的位置关系，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，
因为弧AD长度是弧BC长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为π2，
所以π2R=3×π2r，即R=3r，
所以CD=R−r=2r=2，解得r=1，R=3，
所以弧AD长度为32π，选项A正确；
该曲池的体积为V=(14πR2−14πr2)⋅AA1=(9π4−π4)×5=10π，选项B错误；
曲池的表面积为S=(14×2πR+14×2πr)⋅AA1+2×CD⋅AA1+2×14π(R2−r2)=π2×(3+1)×5+2×2×5+π2×8=20+14π，选项C错误；
三棱锥A−CC1D的体积为VA−CC1D=13S△CD1D⋅R=13×12×2×5×3=5，选项D正确．
故选：AD．
设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，根据题意列方程组求出R、r，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了简单几何体的结构特征应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：若z1=z2−，故z1−=z2，故A正确；
若z1=1，z2=i，则|z1−z2|=|z1+z2|，而z1z2=i≠0，故B错误；
|z1|=|z2|，
则z1⋅z1−=|z1|2，z2⋅z2−=|z2|2，
故z1⋅z1−=z2⋅z2−，故C正确；
若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，而z12=1≠z22=−1，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设DE=BF=x(0≤x≤4)，
则A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，E(0,4−x)，F(5−x,0)，
所以CE=(−2,−x),CF=(3−x,−4),EF=(5−x,x−4)，
对于A，B：CE⋅CF=2x−6+4x=6x−6∈[−6,18]，故A错误，B正确；
对于C：CE⋅EF=2x−10−x2+4x=−x2+6x−10=−(x−3)2−1，
当x=3时，CE⋅EF取得最大值，且最大值为−1，故C正确．
对于D：S△CEF=2+52×4−2x2−4x2−(4−x)(5−x)2=−12x2+32x+4=−12(x−32)2+418，
当x=32时，S取得最大值，且最大值为418，故D正确．
故选：BCD．
建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算及函数的值域求法即可判断ABC；由三角形的面积公式及二次函数的最值即可判断D．
本题考查平面向量的数量积运算，三角形的面积公式，涉及二次函数的值域，属于中档题．
12.【答案】[34,3+ 2]
【解析】解：令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)∈[− 2, 2]，
t2=1+2sinxcsx，
所以y=t+t2−1+2=t2+t+1，t∈[− 2, 2]，
对称轴t=−12，
所以y∈[34,3+ 2]，
即函数y=sinx+csx+2sinxcsx+2的值域是[34,3+ 2].
换元法，令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)∈[− 2, 2]，把函数换元成二次函数，利用二次函数求得值域．
本题考查三角函数求最大值和最小值，属于中档题目．
13.【答案】12
【解析】解：平面向量a=(sinθ,1),b=(−2,csθ)，a⊥b，
则−2sinθ+csθ=0，即2sinθ=csθ，
故tanθ=12．
故答案为：12．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】(−4,−3]
【解析】解：方程f(x)=k有3个实数解，等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个公共点，因当x≤0时，f(x)在(−∞,−1]上单调递减，在[−1,0]上单调递增，f(−1)=−4，f(0)=−3，
当x>0时，f(x)单调递增，f(x)取一切实数，
在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象及直线y=k，如图：
由图象可知，当−4所以k的取值范围为(−4,−3]．
故答案为：(−4,−3]．
根据给定条件将方程f(x)=k的实数解问题转化为函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点问题，再利用数形结合思想即可作答．
本题考查了学生数形结合思想，将原题转化为函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个公共点，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由于asinC=csin(A+π3)，利用正弦定理sinAsinC=sinCsin(A+π3)，
sinA=12sinA+ 32csA，
故tanA= 3，由于A∈(0,π)，
故A=π3．
(2)由于D为BC的中点，利用AD=12(AB+AC)，
故|AD|2=14(AB+AC)2=14×(4+9+2×2×3×12)=194，
故AD= 192．
【解析】(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果；
(2)利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点，三角函数的关系式的变换，正弦定理，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2，则f(x)的开口向上，对称轴为x=a，
所以f(x)在(−∞,a]上单调递减，且a>1，所以f(x)在[1,a]上单调递减，
则f(1)=1−2a+5=af(a)=a2−2a2+5=1，解得a=2．
(2)g(x)=x2+x−1x+1=x−1x+1，又y=x,y=−1x+1在[0,1]上单调递增，
则y=g(x)在[0,1]上单调递增，且g(0)=−1,g(1)=12，
所以当x∈[0,1]时，g(x)∈[−1,12]，
又因为f(x)在[0,1]上单调递减，且f(0)=5，f(a)=6−2a，
所以当x∈[0,1]时，f(x)∈[6−2a,5]，
因为对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立，
则[−1,12]⊆[6−2a,5]，所以6−2a≤−1，解得a≥72，
所以实数a的取值范围为[72,+∞)．
【解析】(1)先确定单调性，根据单调性列方程组求解；
(2)求出函数g(x)和f(x)的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，再列不等式求解．
本题考查了函数定义域和值域的求法，函数恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．
所以S△ABC= 34×2×2= 3，
即VA1B1C1−ABC=S△ABC⋅AA1= 3×2=2 3．
(2)因为VA1−ACD=VB1−BCD=13×12S△ABC⋅AA1= 33，VC−A1B1C1=13×S△ABC⋅AA1=2 33，
所以VD−A1B1C=VA1B1C1−ABC−VA1−ACD−VB1−BCD−VC−A1B1C1=2 33．
(3)将侧面BBC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，
E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，
如图所示．
当A，F，E三点共线时，AF+EF取得最小值，
且最小值为 22+(2+1)2= 13．
【解析】(1)直接利用柱体体积公式即可求解；
(2)利用割补法求锥体体积即可；
(3)将侧面BBC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，当A，F，E三点共线时，AF+EF取得最小值．
本题考查柱体，锥体的体积计算以及利用展开思想求线段的最值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，得bsinA=asinB，
又bsinA=acs(B−π6).∴asinB=acs(B−π6)，
即sinB=cs(B−π6)=csBcsπ6+sinBsinπ6= 32csB+12sinB，
∴tanB= 3，又B∈(0,π)，∴B=π3．
(2)结合(1)由正弦定理可知b=2RsinB=2×2×sinπ3=2 3，
由余弦定理可知b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac≥ac，
所以ac≤12当且仅当a=c时等号成立，
所以S△ABC=12acsinB≤12×12× 32=3 3，
所以△ABC面积的最大值为3 3．
【解析】(1)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解即可．
(2)通过正弦定理求解b，然后利用余弦定理以及基本不等式求出a=c，然后求解三角形的面积．
本题考查正弦定理以及余弦定理以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．
19.【答案】(1)证明：设BC的中点为E，则GB+GC=2GE，
因为GA+GB+GC=0，所以GA+2GE=0，可得GA=−2GE，
由此可得A、G、E三点共线，即点G在△ABC的中线AE上．
设AC的中点为F，AB的中点为H，同理可证点G在△ABC的中线BF、CH上，
所以点G为△ABC三条中线的交点，即G为△ABC的重心．
(2)解：由(1)知GA=−2GE，因为AG=4，所以EG=2．
因为BC=6，所以BE=CE=3，
设∠CEG=α，则∠BEG=π−α，cs∠BEG=−csα，
由余弦定理，得CG2=22+32−2×2×3csα，BG2=22+32+2×2×3csα，
则BG2+CG2=2(22+32)=26．
设BG= 26csθ,CG= 26sinθ,θ∈(0,π2)，
可得BG+ 3CG= 26(csθ+ 3sinθ)=2 26sin(θ+π6)，
当θ+π6=π2，即θ=π3时，BG+ 3CG取得最大值，且最大值为2 26，
此时BG= 26csπ3= 13+12csα，解得csα=−1324，
所以AB= BE2+AE2−2BE⋅AEcs∠BEG= 32+62−36×1324= 512= 1022．
【解析】(1)设E、F、H分别为BC、AC、AB的中点，利用向量的加法与三角形中线的性质，证出GA+2GE=0，可得GA=−2GE，所以点G在△ABC的中线AE上，同理证出点G在另外两条中线上，进而可得点G是三条中线的交点，证出结论；
(2)分别在△CEG与△BEG中利用余弦定理，证出BG2+CG2=26，从而设BG= 26csθ，CG= 26sinθ，θ∈(0,π2)，利用两角和的正弦公式化简得到用θ表示BG+ 3CG的式子，进而根据正弦函数的性质算出BG+ 3CG的最大值，然后在△ABE中利用余弦定理求出AB的长．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、余弦定理及其应用、三角恒等变换公式与正弦函数的最值等知识，属于中档题．
1.若复数z=−i+1，则它在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={x|x2−4x−5≥0}，B={x|a−3
A. −12B. 12C. −2D. 2
4.如图，已知A′C′//y′轴，A′B′//x′轴，△A′B′C′是用斜二测画法画出的△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 钝角三角形
5.设函数f(x)=2sin(2x−π3)+34，则下列叙述正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的图象关于直线x=π12对称
C. f(x)在[π2,π]上的最小值为− 3+34D. f(x)的图象关于点(2π3,34)对称
6.已知a=20.2，b=lg0.50.2，c=lg0.20.4，则( )
A. b>a>cB. b>c>aC. a>b>cD. a>c>b
7.为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB=60°，则铁塔OT的高度为米( )
A. 30 21
B. 25 21
C. 30 3
D. 25 3
8.已知圆锥的轴截面为△PAB，P为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若∠APB=60°，则该圆锥的体积为( )
A. 9 3πB. 12 3πC. 18 3πD. 27 3π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).图中的曲池，AA1垂直于底面，AA1=5，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD=2，则下列说法正确的是( )
A. 弧AD长度为3π2
B. 曲池的体积为10π3
C. 曲池的表面积为10+14π
D. 三棱锥A−CC1D的体积为5
10.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z1=z2−，则z1−=z2B. 若|z1−z2|=|z1+z2|，则z1z2=0
C. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−D. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
11.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，CD=2，AD=4，AB=5，E，F分别在线段AD，AB上，且线段DE与线段BF的长度相等，则( )
A. CE⋅CF的最小值为−4B. CE⋅CF的最大值为18
C. CE⋅EF的最大值为−1D. △CEF的面积的最大值为418
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=sinx+csx+2sinxcsx+2的值域是______．
13.已知平面向量a=(sinθ,1),b=(−2,csθ)，若a⊥b，则tanθ= ______．
14.函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，方程f(x)=k(k<0)有3个实数解，则k的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinC=csin(A+π3)．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2，c=3，D是边BC的中点，求AD的长．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−2ax+5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a]，求实数a的值；
(2)若g(x)=x2+x−1x+1，且对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．
(1)求该正三棱柱的体积；
(2)求三棱锥D−A1B1C的体积；
(3)设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；已知bsinA=acs(B−π6).
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC外接圆的半径为2，求△ABC面积的最大值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，GA+GB+GC=0．
(1)证明：G为△ABC的重心．
(2)若AG=4，BC=6，求BG+ 3CG的最大值，并求此时AB的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：z=−i+1=1−i，
则它在复平面内对应的点(1,−1)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵x2−4x−5≥0，∴x≤−1或x≥5，
∴A={x|x≤−1或x≥5}，
又A∪B=R，
∴a−3≤−1a+4≥5，解得1≤a≤2．
故选：D．
先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于a的不等式组，解之即得．
本题主要考查了集合的并集运算及包含关系的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知向量a=(x,1)，b=(2,4)，
故由a//b，得4x−2=0，∴x=12．
故选：B．
根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由A′C′//y′轴，A′B′//x′轴，知AB⊥AC，
所以△ABC是直角三角形．
故选：B．
由A′C′//y′轴，A′B′//x′轴，知AB⊥AC，进而判断△ABC的形状即可．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A，f(x)的最小正周期T=2π2=π，故A错误；
对于B，∵sin(2×π12−π3)=−12≠±1，∴直线x=π12不是f(x)的图象的对称轴，故B错误；
对于C，x∈[π2,π]时，2x−π3∈[2π3,5π3]，
∴sin(2x−π3)∈[−1, 32]，∴2sin(2x−π3)+34∈[−54, 3+34]，
∴f(x)在[π2,π]上的最小值为−54，故C错误；
对于D，∵sin(2×2π3−π3)=0，2sin(2×2π3−π3)+34=34，
∴f(x)的图象关于点(2π3,34)对称，故D正确．
故选：D．
根据正弦型函数的周期性、对称性、值域逐项判断即可得结论．
本题考查正弦型函数的性质的应用，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：∵1
∴b>a>c．
故选：A．
分别利用函数单调性判断出a、b、c的范围，即可得到答案．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设铁塔OT的高度为h米，
由题意可得：OA= 3h,OB= 33h，
在△OAB中，由余弦定理AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cs∠AOB，
即2102=3h2+13h2−2 3h× 33h×12，解得h=30 21．
故选：A．
设铁塔OT的高度为h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．
本题考查了余弦定理的应用，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，如图，圆锥的轴截面为△PAB，设内切球O与PA相切于点E，内切球的半径为r，
因为∠APB=60°，所以∠OPA=30°．
由内切球的表面积为12π，则有S=4πr2=12π，
解可得：r= 3，则OP=2r=2 3，
故圆锥的高为3 3，圆锥的底面半径为3，
所以该圆锥的体积V=13π×9×3 3=9 3π．
故选：A．
根据题意，作出圆锥的轴截面图，设内切球O与PA相切于点E，内切球的半径为r，由球的表面积公式求出r的值，进而由球的体积公式计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥与球的位置关系，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，
因为弧AD长度是弧BC长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为π2，
所以π2R=3×π2r，即R=3r，
所以CD=R−r=2r=2，解得r=1，R=3，
所以弧AD长度为32π，选项A正确；
该曲池的体积为V=(14πR2−14πr2)⋅AA1=(9π4−π4)×5=10π，选项B错误；
曲池的表面积为S=(14×2πR+14×2πr)⋅AA1+2×CD⋅AA1+2×14π(R2−r2)=π2×(3+1)×5+2×2×5+π2×8=20+14π，选项C错误；
三棱锥A−CC1D的体积为VA−CC1D=13S△CD1D⋅R=13×12×2×5×3=5，选项D正确．
故选：AD．
设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，根据题意列方程组求出R、r，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了简单几何体的结构特征应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：若z1=z2−，故z1−=z2，故A正确；
若z1=1，z2=i，则|z1−z2|=|z1+z2|，而z1z2=i≠0，故B错误；
|z1|=|z2|，
则z1⋅z1−=|z1|2，z2⋅z2−=|z2|2，
故z1⋅z1−=z2⋅z2−，故C正确；
若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，而z12=1≠z22=−1，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设DE=BF=x(0≤x≤4)，
则A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，E(0,4−x)，F(5−x,0)，
所以CE=(−2,−x),CF=(3−x,−4),EF=(5−x,x−4)，
对于A，B：CE⋅CF=2x−6+4x=6x−6∈[−6,18]，故A错误，B正确；
对于C：CE⋅EF=2x−10−x2+4x=−x2+6x−10=−(x−3)2−1，
当x=3时，CE⋅EF取得最大值，且最大值为−1，故C正确．
对于D：S△CEF=2+52×4−2x2−4x2−(4−x)(5−x)2=−12x2+32x+4=−12(x−32)2+418，
当x=32时，S取得最大值，且最大值为418，故D正确．
故选：BCD．
建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算及函数的值域求法即可判断ABC；由三角形的面积公式及二次函数的最值即可判断D．
本题考查平面向量的数量积运算，三角形的面积公式，涉及二次函数的值域，属于中档题．
12.【答案】[34,3+ 2]
【解析】解：令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)∈[− 2, 2]，
t2=1+2sinxcsx，
所以y=t+t2−1+2=t2+t+1，t∈[− 2, 2]，
对称轴t=−12，
所以y∈[34,3+ 2]，
即函数y=sinx+csx+2sinxcsx+2的值域是[34,3+ 2].
换元法，令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)∈[− 2, 2]，把函数换元成二次函数，利用二次函数求得值域．
本题考查三角函数求最大值和最小值，属于中档题目．
13.【答案】12
【解析】解：平面向量a=(sinθ,1),b=(−2,csθ)，a⊥b，
则−2sinθ+csθ=0，即2sinθ=csθ，
故tanθ=12．
故答案为：12．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】(−4,−3]
【解析】解：方程f(x)=k有3个实数解，等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个公共点，因当x≤0时，f(x)在(−∞,−1]上单调递减，在[−1,0]上单调递增，f(−1)=−4，f(0)=−3，
当x>0时，f(x)单调递增，f(x)取一切实数，
在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象及直线y=k，如图：
由图象可知，当−4
故答案为：(−4,−3]．
根据给定条件将方程f(x)=k的实数解问题转化为函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点问题，再利用数形结合思想即可作答．
本题考查了学生数形结合思想，将原题转化为函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个公共点，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由于asinC=csin(A+π3)，利用正弦定理sinAsinC=sinCsin(A+π3)，
sinA=12sinA+ 32csA，
故tanA= 3，由于A∈(0,π)，
故A=π3．
(2)由于D为BC的中点，利用AD=12(AB+AC)，
故|AD|2=14(AB+AC)2=14×(4+9+2×2×3×12)=194，
故AD= 192．
【解析】(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果；
(2)利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点，三角函数的关系式的变换，正弦定理，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2，则f(x)的开口向上，对称轴为x=a，
所以f(x)在(−∞,a]上单调递减，且a>1，所以f(x)在[1,a]上单调递减，
则f(1)=1−2a+5=af(a)=a2−2a2+5=1，解得a=2．
(2)g(x)=x2+x−1x+1=x−1x+1，又y=x,y=−1x+1在[0,1]上单调递增，
则y=g(x)在[0,1]上单调递增，且g(0)=−1,g(1)=12，
所以当x∈[0,1]时，g(x)∈[−1,12]，
又因为f(x)在[0,1]上单调递减，且f(0)=5，f(a)=6−2a，
所以当x∈[0,1]时，f(x)∈[6−2a,5]，
因为对任意的x∈[0,1]，都存在x0∈[0,1]，使得f(x0)=g(x)成立，
则[−1,12]⊆[6−2a,5]，所以6−2a≤−1，解得a≥72，
所以实数a的取值范围为[72,+∞)．
【解析】(1)先确定单调性，根据单调性列方程组求解；
(2)求出函数g(x)和f(x)的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，再列不等式求解．
本题考查了函数定义域和值域的求法，函数恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．
所以S△ABC= 34×2×2= 3，
即VA1B1C1−ABC=S△ABC⋅AA1= 3×2=2 3．
(2)因为VA1−ACD=VB1−BCD=13×12S△ABC⋅AA1= 33，VC−A1B1C1=13×S△ABC⋅AA1=2 33，
所以VD−A1B1C=VA1B1C1−ABC−VA1−ACD−VB1−BCD−VC−A1B1C1=2 33．
(3)将侧面BBC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，
E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，
如图所示．
当A，F，E三点共线时，AF+EF取得最小值，
且最小值为 22+(2+1)2= 13．
【解析】(1)直接利用柱体体积公式即可求解；
(2)利用割补法求锥体体积即可；
(3)将侧面BBC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，当A，F，E三点共线时，AF+EF取得最小值．
本题考查柱体，锥体的体积计算以及利用展开思想求线段的最值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，得bsinA=asinB，
又bsinA=acs(B−π6).∴asinB=acs(B−π6)，
即sinB=cs(B−π6)=csBcsπ6+sinBsinπ6= 32csB+12sinB，
∴tanB= 3，又B∈(0,π)，∴B=π3．
(2)结合(1)由正弦定理可知b=2RsinB=2×2×sinπ3=2 3，
由余弦定理可知b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac≥ac，
所以ac≤12当且仅当a=c时等号成立，
所以S△ABC=12acsinB≤12×12× 32=3 3，
所以△ABC面积的最大值为3 3．
【解析】(1)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解即可．
(2)通过正弦定理求解b，然后利用余弦定理以及基本不等式求出a=c，然后求解三角形的面积．
本题考查正弦定理以及余弦定理以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．
19.【答案】(1)证明：设BC的中点为E，则GB+GC=2GE，
因为GA+GB+GC=0，所以GA+2GE=0，可得GA=−2GE，
由此可得A、G、E三点共线，即点G在△ABC的中线AE上．
设AC的中点为F，AB的中点为H，同理可证点G在△ABC的中线BF、CH上，
所以点G为△ABC三条中线的交点，即G为△ABC的重心．
(2)解：由(1)知GA=−2GE，因为AG=4，所以EG=2．
因为BC=6，所以BE=CE=3，
设∠CEG=α，则∠BEG=π−α，cs∠BEG=−csα，
由余弦定理，得CG2=22+32−2×2×3csα，BG2=22+32+2×2×3csα，
则BG2+CG2=2(22+32)=26．
设BG= 26csθ,CG= 26sinθ,θ∈(0,π2)，
可得BG+ 3CG= 26(csθ+ 3sinθ)=2 26sin(θ+π6)，
当θ+π6=π2，即θ=π3时，BG+ 3CG取得最大值，且最大值为2 26，
此时BG= 26csπ3= 13+12csα，解得csα=−1324，
所以AB= BE2+AE2−2BE⋅AEcs∠BEG= 32+62−36×1324= 512= 1022．
【解析】(1)设E、F、H分别为BC、AC、AB的中点，利用向量的加法与三角形中线的性质，证出GA+2GE=0，可得GA=−2GE，所以点G在△ABC的中线AE上，同理证出点G在另外两条中线上，进而可得点G是三条中线的交点，证出结论；
(2)分别在△CEG与△BEG中利用余弦定理，证出BG2+CG2=26，从而设BG= 26csθ，CG= 26sinθ，θ∈(0,π2)，利用两角和的正弦公式化简得到用θ表示BG+ 3CG的式子，进而根据正弦函数的性质算出BG+ 3CG的最大值，然后在△ABE中利用余弦定理求出AB的长．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、余弦定理及其应用、三角恒等变换公式与正弦函数的最值等知识，属于中档题．
相关试卷
2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）开学数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）开学数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省岳阳一中高一（下）入学数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年湖南省岳阳一中高一（下）入学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
