2023-2024学年四川省成都市实外高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市实外高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在数列1，−2，4，−8，16，…中，这个数列的7项是( )
A. −64B. 64C. 128D. −128
2.已知an+1−an−3=0，则数列{an}是( )
A. 等差数列B. 等比数列
C. 摆动数列D. 既等差数列又等比数列
3.已知数列{an}满足an+1=1−1an，a1=2(n∈N*)，则a2024=( )
A. 2B. 12C. −1D. 2023
4.函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A. f′(1)B. f′(2)C. f′(1)D. f(2)−f(1)5.在等差数列{an}中，若a7，a9是方程x2−6x+5=0的两根，则a8=( )
A. ± 5B. 5C. ±3D. 3
6.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)图象如图所示，则导函图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.“m=3”是“1，m，9成等比数列”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.定义：nP1+P2+⋯+Pn(n∈N*)为n个正数P1，P2，…，Pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为13n−1，则数列{an}的通项公式为( )
A. an=3n−1B. an=6n−2C. an=6n−4D. an=6n−5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B. 数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
C. 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
D. 数列的通项公式是唯一的
10.曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线平行于直线y=11x−1，则点P的坐标可能为( )
A. (2,9)B. (2,21)C. (−2,−23)D. (−2,−3)
11.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，下列说法正确的是( )
A. 若{an}是等差数列，a15+a16>0，a15+a17<0，则使Sn>0的最大正整数n的值为15
B. 若{an}是等比数列，Sn=5n+c(c为常数)，则必有c=−1
C. 若{an}是等差数列，S5，S10−S5，S15−S10必为等差数列
D. 若an+4Sn−1Sn=0(n≥2)，a1=14，则数列{1Sn}为递增等差数列
12.已知数列{an}满足a1=13，an+1=an2+an，n∈N*，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[−0.4]=−1，则( )
A. [a2]=0
B. {an}是单调递增数列
C. [1a1+1+1a2+1+1a3+1]=1
D. n≥4时，[1a1+1+1a2+1+⋯+1an+1]=2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=a x−1x在x=1处的导数f′(1)=2，则a的值为______．
14.函数f(x)=x2+csx，x∈(0,π2)的单调增区间是______．
15.为推动全民健身，宣传四川的特点.成都马拉松赛于2023年10月29日如期举行.如图①，②，③，④分别包含1个、5个、13个、25个成都马拉松赛的LOGO“熊猫”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含an个“熊猫”，an+1−an= ______，a10= ______．
16.设数列{an}满足an+1=2(|an|−1)，n∈N*，若存在常数M>0，使得对于任意的n∈N*，恒有|an|≤M，则a1的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=3，S3=15，n∈N*．
(1)求公差d及{an}的通项公式；
(2)求Sn．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinx+ex，g(x)=x2+bx+1，f(x)、g(x)在点P(0,1)处有公切线l．
(1)求公切线l的方程；
(2)求g(x)的解析式．
19.(本小题12分)
已知数列{an}中a1=1，a2=3，且满足an+2=3an+1−2an，设bn=an+1−an，n∈N*．
(1)求b1，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求bn及数列{bn}的前n项和Sn．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2+ax−2a2lnx．
(1)写出函数的定义域，求当a=1时f(x)的单调区间；
(2)若a>0，f(x)在区间(0,2)上为减函数，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn=3an−2n，n∈N*．
(1)求a1及数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2×3nanan+1，{bn}前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=xe4x，记f1(x)=f′(x)，且fn+1(x)=fn′(x)，n∈N*．
(1)求f1(x)，f2(x)；
(2)设fn(x)=(anx+bn)e4x，n∈N*，
(ⅰ)证明：数列{bn4n}是等差数列；
(ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn≤19+λ⋅6n，求λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，数列1，−2，4，−8，16，…，其通项公式为an=(−1)n+1×2n−1，
则其第7项a7=(−1)8×26=64．
故选：B．
根据题意，归纳数列的通项公式，进而计算可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意知，an+1−an−3=0，则an+1−an=3，
∴数列{an}是以3为公差的等差数列，
故选：A．
将an+1−an−3=0化为：an+1−an=3，利用等差数列的定义判断即可．
本题考查了等差数列的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由an+1=1−1an，a1=2，可得a2=1−12=12，a3=1−2=−1，
a4=1−(−1)=2=a1，a5=1−12=12=a2，…，
可得数列{an}是最小正周期为3的数列，
则a2024=a3×674+2=a2=12．
故选：B．
计算数列的前几项，推得数列{an}是最小正周期为3的数列，可得所求值．
本题考查数列中的项，求得数列的周期性是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设A(1,f(1))，B(2,f(2))，由图可得f′(1)而kAB=f(2)−f(1)2−1=f(2)−f(1)，
故f′(1)故选：C．
根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系．
本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：∵a7，a9是方程x2−6x+5=0的两根，∴a7+a9=6，
∵{an}是等差数列，∴a8=a7+a92=3．
故选：D．
利用韦达定理，结合等差数列的性质求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由图象得：
x<0时，f(x)递减，∴f′(x)<0，
x>0时，f(x)先递增再递减又递增，∴f′(x)先正再负又正，
故选：D．
由图象得出函数f(x)的单调性，从而得出f(x)的导函数的正负，进而得出答案．
本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查读图能力，是一道基础题．
7.【答案】B
【解析】解：1，m，9成等比数列，
则m2=1×9，解得m=±3，
故“m=3”是“1，m，9成等比数列”的充分不必要条件．
故选：B．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得na1+a2+...+an=13n−1，
即a1+a2+...+an=3n2−n，
当n=1时，a1=S1=2；
当n≥2时，an=3n2−n−3(n−1)2+n−1=6n−4，对n=1也成立，
所以an=6n−4，n∈N*．
故选：C．
由“均倒数”的定义，可得a1+a2+...+an=3n2−n，由数列的通项与前n项和的关系，可得所求通项公式．
本题考查“均倒数”的定义，以及数列的通项与前n项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，A错误；
对于B，数列2，5，2，5，…，2，5，…有无数项，是无穷数列，B正确；
对于C，由数列的函数特性，数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，C正确；
对于D，数列的通项公式是不唯一的，D错误．
故选：BC．
根据题意，由数列的定义分析A、B和D，由数列的函数特性分析C，综合可得答案．
本题考查数列的定义，涉及数列的表示方法，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：f′(x)=3x2−1，
令3x2−1=11，解得x=2或x=−2，
则点P的坐标为(2,f(2))或(−2,f(−2))，即(2,9)或(−2,−3)．
故选：AD．
对f(x)求导，根据题意令3x2−1=11，求得x的值，由此可得点P的坐标．
本题考查导数的几何意义以及两直线平行的条件，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：若{an}是等差数列，a15+a16>0，a15+a17<0，可得S30=12×30(a1+a30)=15(a15+a16)>0，
S31=12×31(a1+a31)=312(a15+a17)<0，
使Sn>0的最大正整数n的值为30，故A错误；
若{an}是等比数列，Sn=5n+c(c为常数)，可得a1=S1=5+c，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=4×5n−1，由于对n=1也成立，可得5+c=4，即有c=−1，故B正确；
若{an}是公差为d的等差数列，S5，S10−S5，S15−S10必为公差为25d的等差数列，故C正确；
若an+4Sn−1Sn=0(n≥2)，a1=14，可得an=Sn−Sn−1=−4Sn−1Sn，
即有1Sn−1Sn−1=4，则数列{1Sn}为递增等差数列，故D正确．
故选：BCD．
由等差数列的性质和求和公式，可判断A；由数列的通项与前n项和的关系，结合等比数列的性质，可判断B；由等差数列的定义可判断C；由数列的通项与前n项和的关系，结合等差数列的定义可判断D．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的通项与前n项和的关系，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由a1=13，an+1=an2+an，n∈N*，可得a2=19+13=49，[a2]=0，故A正确；
由题意可得an>0，an+1−an=an2>0，即an+1>an，则{an}是单调递增数列，故B正确；
由an+1=an(an+1)，可得1an+1=1an(an+1)=1an−1an+1，即有1an+1=1an−1an+1，
则1a1+1+1a2+1+...+1an+1=1a1−1a2+1a2−1a3+...+1an−1an+1=1a1−1an+1，
可得1a1+1+1a2+1+1a3+1=3−1a4=3−65616916∈(2,3)，则[1a1+1+1a2+1+1a3+1]=2，故C错误；
由{an}是单调递增数列，且a3=5281，a4=69166561>1，可得n≥4时，1a1−1an+1=3−1an+1∈(2,3)，
则[1a1+1+1a2+1+...+1an+1]=2，故D正确．
故选：ABD．
由数列的递推式，可得a2，结合[x]的定义，可判断A；由an+1−an=an2>0，可判断B；由数列的裂项相消法和不等式的性质、[x]的定义，可判断CD．
本题考查数列的递推式和数列的单调性、裂项相消法，以及[x]的定义，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：由f(x)=a x−1x，得f′(x)=a2 x+1x2，
则f′(1)=a2+1=2，解得a=2．
故答案为：2．
求出原函数的导函数，利用f′(1)=2列式求解a的值．
本题考查导数值的求法，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】(0,π6)
【解析】解：∵f′(x)=12−sinx，且x∈(0,π2)，
则当x∈(0,π6)时，f′(x)>0；
∴f(x)=x2+csx，x∈(0,π2)的单调增区间是(0,π6).
故答案为(0,π6).
f′(x)=12−sinx，令f′(x)>0，求解不等式，可得增区间．
本题考查了利用导数求函数的单调性，属于基础题．
15.【答案】4n 181
【解析】解：由题意可知，a2−a1=4，a3−a2=8=4×2，a4−a3=12=4×3，…，
所以an+1−an=4n，
因为a2−a1=4，a3−a2=8=4×2，a4−a3=12=4×3，…，an−an−1=4(n−1)，
累加得，an−a1=4[1+2+…+(n−1)]=4×(n−1)(1+n−1)2=2n(n−1)，
所以an=a1+2n(n−1)=1+2n(n−1)，
所以a10=1+2×10×(10−1)=181．
故答案为：4n；181．
归纳可得an+1−an=4n，再利用累加法求出an，进而求出a10．
本题主要考查了归纳推理，考查了累加法求数列的通项公式，属于中档题．
16.【答案】[−2,2]
【解析】【分析】
本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
由题意，存在常数M>0，使得对于任意的n∈N*，恒有|an|≤M，可得−M≤an≤M，得−M≤an+1≤M，即可得出结果．
【解答】
解：由题意，存在常数M>0，使得对于任意的n∈N*，恒有|an|≤M，
所以−M≤an≤M，①
∴|an+1|≤M，
∴得−M≤an+1≤M，
又an+1=2(|an|−1)
所以−M≤2(|an|−1)≤M；
即−M2+1≤an≤M2+1，②
由①②，可得：M=2，
又|a1|≤M
所以a1的取值范围是[−2,2]．
故答案为：[−2,2]．
17.【答案】解：(1)因为等差数列{an}中，a1=3，S3=15=3×3+3d，
所以公差d=2，an=3+2(n−1)=2n+1；
(2)Sn=3n+n(n−1)2×2=n2+2n．
【解析】(1)由已知结合等差数列的求和公式即可求解d，然后结合等差数列的通项公式即可求解；
(2)结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由f(x)=2sinx+ex，g(x)=x2+bx+1，
得f′(x)=2csx+ex，g′(x)=2x+b，
∵f(x)、g(x)在点P(0,1)处有公切线，
∴f′(0)=2cs0+e0=g′(0)=b，得b=3．
即公切线l的斜率为3，则公切线l的方程为y=3x+1；
(2)由(1)知b=3，则g(x)=x2+3x+1．
【解析】(1)求出两函数的导函数，利用两函数在x=0处的导数值相等列式求b，进一步可得切线l的方程；
(2)直接把(1)中求解的b代入即可得到g(x)的解析式．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
19.【答案】解：(1)由数列{an}中a1=1，a2=3，且满足an+2=3an+1−2an，设bn=an+1−an，
可得b1=a2−a1=2；
证明：由an+2=3an+1−2an，可得an+2−an+1=2(an+1−an)，即bn+1=2bn，
则数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列；
(2)由(1)可得bn=2n，Sn=2(1−2n)1−2=2n+1−2．
【解析】(1)直接代入计算可得b1，由等比数列的定义可得证明；
(2)由等比数列的通项公式、求和公式，计算可得所求．
本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可得函数的定义域为(0,+∞)，
当a=1时，f(x)=12x2+x−2lnx，定义域为(0,+∞)，
∴f′(x)=x+1−2x=x2+x−2x=(x+2)(x−1)x=0，解得x=1或x=−2(舍去)，
∴当01时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
(2)f(x)=12x2+ax−2a2lnx，定义域为(0,+∞)，
f′(x)=x+a−2a2x，
∵f(x)在区间(0,2)上为减函数，
∴f′(x)=x+a−2a2x≤0在区间(0,2)上恒成立，
即x2+ax−2a2≤0在区间(0,2)上恒成立，
令h(x)=x2+ax−2a2，
则h(0)≤0h(2)≤0，
解得a≤−1或a≥2，
又a>0，
∴a的取值范围为[2,+∞)．
【解析】(1)由函数表达式即可得出函数定义域，求出函数f(x)的导数，利用导数的正负性即可判断单调性；
(2)由f(x)在区间(0,2)上为减函数，可得f′(x)=x+a−2a2x≤0在区间(0,2)上恒成立，构造函数h(x)=x2+ax−2a2在区间(0,2)上恒成立，建立不等式即可求得a的范围．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由2Sn=3an−2n，可得2S1=3a1−2，解得a1=2，
当n≥2时，由2Sn=3an−2n，可得2Sn−1=3an−1−2(n−1)，
两式相减可得2an=3an−3an−1−2，
化为an=3an−1+2，
即an+1=3(an−1+1)，
可得数列{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
则an+1=3n，即an=3n−1；
(2)由bn=2×3nanan+1=2×3n(3n−1)(3n+1−1)=13n−1−13n+1−1，
可得{bn}前n项和为Tn=12−18+18−126+...+13n−1−13n+1−1=12−13n+1−1，
由{Tn}递增，可得Tn≥T1=38，
又13n+1−1>0，可得Tn<12，
则Tn的取值范围为[38,12).
【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
(2)由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质和数列的单调性，可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=xe4x，可得f1(x)=f′(x)=(1+4x)e4x，
f2(x)=f1′(x)=(8+16x)e4x；
(2)(ⅰ)证明：由(1)可得a1=4，b1=1，
又fn(x)=(anx+bn)e4x，可得fn+1(x)=(an+1x+bn+1)e4x，
而fn+1(x)=fn′(x)=(4anx+an+4bn)e4x，
则an+1=4an，bn+1=an+4bn，
由an=4n，可得bn+1=4n+4bn，
即有bn+14n+1=bn4n+14，
可得数列{bn4n}是首项和公差均为14的等差数列；
(ⅱ)由(ⅰ)可得bn4n=14n，即bn=n⋅4n−1，
Sn=1⋅40+2⋅41+3⋅42+...+n⋅4n−1，
4Sn=1⋅4+2⋅42+3⋅43+...+n⋅4n，
上面两式相减可得−3Sn=1+41+42+...+4n−1−n⋅4n=1−4n1−4−n⋅4n=(1−3n)⋅4n−13，
则Sn=(3n−1)⋅4n+19，
又对任意的n∈N*，满足Sn≤19+λ⋅6n，
可得9λ≥(3n−1)⋅(23)n恒成立，
设cn=(3n−1)⋅(23)n，则cn+1−cn=(3n+2)⋅(23)n+1−(3n−1)⋅(23)n=(73−n)⋅(23)n，
当n=1，2时，cn+1−cn>0，即c3>c2>c1，
当n≥3时，cn+1−cn<0，即c3>c4>c5>...>cn，
可得cn的最大值为c3，且c3=6427，
所以9λ≥6427，即λ≥64243，
即λ的取值范围是[64243,+∞)．
【解析】(1)由导数的运算法则分别求得f1(x)，f2(x)；
(2)(ⅰ)由导数的运算和函数的解析式可得an+1=4an，bn+1=an+4bn，结合等比数列的通项公式和等差数列的定义，可得证明；
(ⅱ)由等差数列的通项公式可得bn，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得Sn，再由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查导数的运算，以及等差数列的定义和通项公式、数列的错位相减法求和、等比数列的求和公式、不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．