2023-2024学年甘肃省白银市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省白银市高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x2≤16}，B={x|3x>6}，则A∩B=( )
A. (2,16]B. (2,4]C. [−4,2)D. [−4,+∞)
2.复数i+7i2的实部与虚部之和为( )
A. −8B. −6C. 8D. 6
3.若向量a=(2,5)，b=(1−x,2−x)，a//b，则x=( )
A. 13B. −13C. 17D. −17
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a>2b”是“sinA>2sin(A+C)”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数f(x)=1+2cs(2x−π3)，则( )
A. f(x)在(0,π3)上单调递减B. f(x)的图象关于直线x=−π6对称
C. f(x)在(0,π3)上单调递增D. f(x)的图象关于点(−π12,1)对称
6.若a=，b=lg1000.05，c=−lg5，则( )
A. b>a>cB. b>c>aC. a>b>cD. a>c>b
7.新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑.如图，某同学为测量观光塔的高度OP，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处(O,Q,N三点共线且在同一水平面上)测得建筑物MN的顶部M的仰角为π6，测得观光塔的顶部P的仰角为π4，在建筑物MN的顶部M处测得观光塔的顶部P的仰角为π12，则观光塔的高OP为( )
A. 40 2米B. 80米C. 80 2米D. 40 3米
8.若sin(α+β)+ 3cs(α+β)=4sin(α+π3)csβ，则( )
A. tan(α+β)=− 3B. tan(α+β)= 3
C. tan(α−β)=− 3D. tan(α−β)= 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某市2017年到2022年常住人口(单位：万)变化图如图所示，则( )
A. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B. 该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
10.若z1=1−i，z2=2−2i，z3=2+2i，z4在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D.若四边形ABCD为平行四边形，则( )
A. z4=1+3iB. |z1+z4|=2 2C. z2−=−2−2iD. z3z1为纯虚数
11.若△ABC的内心与外心分别为N，O，且AB=4，BC=5，AC=6，则( )
A. OA=16 77
B. 点N到AB的距离为 72
C. 向量BA在向量BC上的投影向量为110BC
D. ∠ABC=2∠BCA
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若tanα2=4.则tanα= ______．
13.已知向量a，b的夹角为θ，|a|=1，|b|=4 3，a⋅b=−6，a⊥(a+xb)，则θ= ______，x= ______．
14.若函数f(x)=|2x−3|−1−m有2个零点，则m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)的图象．
(1)求f(x)的解析式与最小正周期；
(2)若f(α)=35，α∈(π2,π)，求sin2α，cs(α−π4)的值．
16.(本小题15分)
人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表.”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)，[95,105](单位：秒)这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该用户红灯等待时间的中位数(结果精确到0.1)；
(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg2(x2−1)−lg2(x−1)．
(1)证明：f(x)的定义域与值域相同．
(2)若∀x∈[3,+∞)，∀t∈(0,+∞)，f(x)+1t2−4t>m，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AE=λAC，BP=34BE，其中λ∈(0,1)，CP的延长线与AB交于点F.已知|AB|=4，|AC|=3，∠BAC=π3．
(1)若λ=13，请用向量AB，AC表示向量AP，并求|AP|的值；
(2)若AF=μAB，μ∈(0,1)，证明：3λ+1μ=4．
19.(本小题17分)
养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖.如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘(记为菱形ABCD)进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米.某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成ABD，DEFB，CEF三块区域，图中BD，EF是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边DC上(点E与D，C均不重合)，F在鱼塘岸边BC上(点F与B，C均不重合).其中△ECF的面积与四边形DEFB的面积相等，△DAB为等边三角形．
(1)若测得EC的长为80米，求CF的长．
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？(安装费忽略不计，取 2=1.414)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为x2≤16，所以−4≤x≤4，
因为A=[−4,4]，B=(2,+∞)，所以A∩B=(2,4]．
故选：B．
分别求出集合A，B，由交集的定义求解即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为i+7i2=−7+i，
所以i+7i2的实部与虚部之和为−7+1=−6．
故选：B．
化简复数，由复数的定义即可得出答案．
本题主要考查复数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a//b，
所以2(2−x)−5(1−x)=0，解得x=13．
故选：A．
由平行向量的坐标表示求解即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由a>2b及正弦定理，得sinA>2sinB，
因为sinB=sin(π−B)=sin(A+C)，
所以sinA>2sin(A+C)．
反之亦成立，所以“a>2b”是“sinA>2sin(A+C)”的充要条件．
故选：A．
由正弦定理以及诱导公式即可求解．
本题考查正弦定理及三角形内角和定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于AC，当x∈(0,π3)时，2x−π3∈(−π3,π3)，则函数f(x)在(0,π3)上先增后减，A，C错误；
对于B，而f(−π6)−1=2cs(−2π3)≠±2，则f(x)的图象不关于直线x=−π6对称，B错误；
对于D，f(−π12)−1=2cs(−π2)=0，则f(x)的图象关于点(−π12,1)对称，D正确．
故选：D．
由x∈(0,π3)求出2x−π3的范围，结合余弦函数单调性判断AC；代入验证确定对称性判断BD．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：因为a=>0，b=lg1000.05<0，c=−lg5<0，
又b=lg1000.05>lg1000.04=lg125lg100=lg15=−lg5=c，所以a>b>c．
故选：C．
依题意可得a>0，b<0，c<0，再由对数函数的性质及对数的运算法则判断b>c．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得MN=40米，∠MQN=π6，∠PQO=π4，∠PMQ=π12+π6=π4，
可得∠PQM=7π12，
所以∠MPQ=π−∠PMQ−∠PQM=π−π4−7π12=π6，
在△MNQ中，可得MQ=MNsin∠MQN=40sinπ6=80，
在△PQM中，由正弦定理PQsin∠PMQ=MQsin∠MPQ，可得PQsinπ4=80sinπ6，解得PQ=80 2，
在△PQO中，可得PO=PQsin∠PQO=80 2×sinπ4=80米．
故选：B．
由题意可求得∠PQM=7π12，∠MPQ=π6，在△MNQ中，可得MQ=MNsin∠MQN=80，在△PQM中，由正弦定理可得PQ的值，在△PQO中，可得PO=PQsin∠PQO的值．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由sin(α+β)+ 3cs(α+β)=4sin(α+π3)csβ，
可得2sin(α+β+π3)=4sin(α+π3)csβ，
即sin(α+β+π3)=sin(α+π3)csβ+cs(α+π3)sinβ=2sin(α+π3)csβ，
化简可得cs(α+π3)sinβ=sin(α+π3)csβ，
即sin(α+π3−β)=0，
所以，k∈Z，
即α−β=−π3+kπ，k∈Z，
可得tan(α−β)=− 3．
故选：C．
利用辅助角及两角和与差的正弦公式化简，可得sin(α+π3−β)=0，进而求解．
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式的应用，考查了辅助角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：
698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，
则极差为736−698.12≈38万，故A正确；
对于B，由图可知该市2017年到2022年这6年的常住人口有增有减，故B错误；
对于C，6×0.6=3.6，∴第60百分数位为730.50万，故C正确；
对于D，平均数为16(698.12+703.54+730.51+703.09+732.20+736)≈717.24万，故D错误．
故选：AC．
由百分位数，极差和平均数的定义对选项一一判断即可得出答案．
本题考查百分位数、极差、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：如图，由题意得A(1,−1)，B(2,−2)，C(2,2)，
由于AD=BC=(0,4)，则D(1,3)，z4=1+3i，A正确．
|z1+z4|=|2+2i|= 4+4=2 2，B正确．
z2−=2+2i，C错误．
z3z1=2+2i1−i=2(1+i)2(1−i)(1+i)=2(1+2i+i2)2=2i，D正确．
故选：ABD．
根据复数的几何意义可得对应的点，即可根据向量相等得D(1,3)，进而可判断A，根据复数模长公式即可求解B，根据共轭即可求解C，根据复数的除法运算即可求解D．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，设△ABC的外接圆与内切圆的半径分别为R与r．
由csB=42+52−622×4×5=18，且B∈(0,π)，可得sinB=3 78，所以2R=bsinB=16 77，可得OA=R=8 77，故A项错误；
对于B，因为△ABC的面积S=12acsinB=15 74，
而S=S△NAB+S△NAC+S△NBC=12(AB+AC+BC)r，所以r=2SAB+BC+AC= 72，点N到AB的距离为 72，故B项正确；
对于C，向量BA在向量BC上的投影向量为BA⋅BC|BC|⋅BC|BC|=4×5×1852BC=110BC，故C项正确；
对于D，因为csC=62+52−422×6×5=34，所以cs2C=2cs2C−1=18=csB，
结合csC=34>0，可知C∈(0,π2)，所以2C∈(0,π)，
因为B∈(0,π)，且y=csx在(0,π)上递减，所以2C=B，即∠ABC=2∠BCA，D正确．
故选：BCD．
根据题意，利用余弦定理求出csB，结合同角三角函数的关系求出sinB，然后根据正弦定理判断出A的正误；根据面积相等，利用三角形的面积公式判断出B项的正误；根据投影向量的定义判断C项的正误；根据余弦定理求出csC，结合二倍角公式算出cs2C，进而判断出D项的正误．
本题主要考查正弦定理与余弦定理、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
12.【答案】−815
【解析】解：若tanα2=4，
则tanα=tan(2×α2)=2tanα21−tan2α2=2×41−42=−815．
故答案为：−815．
由二倍角的正切公式求解即可．
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
13.【答案】5π6 16
【解析】解：因为|a|=1，|b|=4 3，a⋅b=−6，
所以csθ=a⋅b|a|⋅|b|=− 32，
因为θ∈[0,π]，所以θ=5π6；
又因为a⊥(a+xb)，所以a⋅(a+xb)=a2+xa⋅b=1−6x=0，
解得x=16．
故答案为：5π6；16．
根据题中数据代入向量夹角公式运算求解即可得向量夹角；由a⊥(a+xb)可得a⋅(a+xb)=0，结合数量积的运算律分析求解．
本题考查平面向量的数量积与夹角，向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】(−1,2)
【解析】解：由f(x)=|2x−3|−1−m=0，得|2x−3|−1=m．
设函数g(x)=|2x−3|−1=2−2x,x函数f(x)=|2x−3|−1−m有2个零点，即函数g(x)与函数y=m的图象有两个交点，
由图可知，m的取值范围是(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
构造函数g(x)=|2x−3|−1，去绝对值作出g(x)的大致图象，将零点个数转化为图象交点个数可得答案．
本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)=sinx的图象，
可得f(x)=sinx的最小正周期为T=2π；
(2)若f(α)=sinα=35，α∈(π2,π)，
可得csα=− 1−sin2α=−45，
所以sin2α=2sinαcsα=2×35×(−45)=−2425，
cs(α−π4)= 22csα+ 22sinα= 22×(−45)+ 22×35=− 210．
【解析】(1)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求解函数解析式，利用周期公式可求函数周期；
(2)由题意利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，利用二倍角公式可求sin2α的值，利用两角差的余弦公式可求cs(α−π4)的值．
本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的周期公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为各组频率之和为1，组距为10，
所以10×(0.01+0.025+a+0.02+0.01)=1，
解得a=0.035．
(2)因为10×(0.01+0.025)=0.35<0.5，10×(0.01+0.025+0.035)=0.7>0.5
所以中位数位于第三组[75,85)中，
设中位数为x，则0.1+0.25+0.035(x−75)=0.5，
解得x=75+≈79.3，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3．
(3)由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.1+0.25+0.35=0.7，
故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为10×0.7=7次．
【解析】(1)根据频率之和为1以及直方图数据即可求解．
(2)先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可．
(3)根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解．
本题考查频率分布直方图、中位数、频率、频数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)证明：由x2−1>0x−1>0，得x>1，
所以f(x)的定义域为(1,+∞)．
f(x)=lg2x2−1x−1=lg2(x+1)，
因为f(x)=lg2(x+1)在(1,+∞)上单调递增．
所以f(x)>f(1)=lg22=1，
所以f(x)的值域为(1,+∞)，
所以f(x)的定义域与值域相同．
(2)由(1)知f(x)=lg2(x+1)在(3,+∞)上单调递增，
所以当x∈[3,+∞)时，f(x)min=f(3)=2．
设g(t)=1t2−4t=(1t−2)2−4，
当1t=2，即t=12时，g(t)取得最小值，且最小值为−4．
因为∀x∈[3,+∞)，∀t∈(0,+∞)，f(x)+1t2−4t>m，
所以m即m的取值范围为(−∞,−2)．
【解析】(1)由具体函数的定义域可得x2−1>0x−1>0，解不等式即可求出f(x)的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出f(x)的值域．
(2)设g(t)=1t2−4t=(1t−2)2−4，则m本题考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为AP=AB+BP=AB+34BE=AB+34(AE−AB)=14AB+34AE=14AB+14AC，
所以|AP|2=(14AB+14AC)2=116AB2+18AB⋅AC+116AC2，
因为|AB|=4，|AC|=3，∠BAC=π3，
所以|AP|2=116×16+18×4×3×csπ3+116×9=3716，
所以|AP|= 374；
证明：(2)由C，P，F三点共线，可设CP=kCF，k∈(0,1)，
因为AE=λAC，λ∈(0,1)，
所以AP=AC+CP=AC+kCF=AC+k(AF−AC)=kAF+(1−k)AC=kμAB+(1−k)⋅1λAE，
由(1)得AP=14AB+34AE，所以kμ=14(1−k)⋅1λ=34，
所以1μ=4k3λ=4(1−k)，则3λ+1μ=4．
【解析】(1)利用向量的线性运算可得AP=14AB+14AC，然后两边同时平方求模；
(2)由C，P，F三点共线，可设CP=kCF，k∈(0,1)，然后用AB,AE表示AP，然后结合AP=14AB+34AE，利用平面向量基本定理列方程求解．
本题考查了向量的线性运算和平面向量基本定理，属于中档题．
19.【答案】解：(1)依题意得S△ECF=12S△DBC=12×12×100×100×sinπ3=1250 3平方米，
由EC=80米，得S△ECF=12×80⋅CF⋅sinπ3=1250 3平方米，
解得CF=62.5米，即CF的长为62.5米；
(2)设EF=y米，EC=x米，x∈(0,100)，y∈(0,100)，
在△ECF中，由余弦定理可得y2=x2+CF2−2x⋅CF⋅csπ3，
因为S△ECF=12x⋅CF⋅sinπ3=1250 3平方米，所以CF=5000x米，
所以y2=x2+(5000x)2−5000，
则y= x2+(5000x)2−5000≥ 2×5000−5000=50 2=70.7，
当且仅当x2=(5000x)2，即x=50 2=70.7时，等号成立，
故当E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米时，EF最短，此时购买的不锈钢网面积最小，花费最小，
当x=y=70.7时，不锈钢网的面积为70.7×2+100×2=341.4平方米，
所需的花费最少为341.4×20=6828元．
【解析】(1)由S△EFC=12S△DBC，结合三角形的面积公式求解即可；
(2)设EF=y米，EC=x米，x∈(0,100)，y∈(0,100)，由余弦定理和三角形的面积公式可求出y2=x2+(5000x)2−5000，再由基本不等式求解即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．