2024湖北省宜荆荆随恩高二下学期5月联考数学试题含解析

这是一份2024湖北省宜荆荆随恩高二下学期5月联考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，几何学史上有一个著名的米勒问题，若存在正实数满足，数列的前项和为，已知，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在的展开式中常数项是（ ）
A．1120B．160C．D．
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的离心率为2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点在上，且满足，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若随机变量满足，则
6．“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ）
A．26B．28C．29D．30
7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xy中，给定两点，点在轴上移动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．若存在正实数满足：，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．数列的前项和为，已知，则（ ）
A．对于，数列均为递减数列B．，使为等差数列
C．对于，都有D．若，则，都有
10．随着毕业季的临近，包含小王和小张的4位同学准备互相送礼物．他们每人准备了一份礼物，这四份礼物收齐后，每人从中随机抽取一份作为毕业留念，则（ ）
A．小王和小张恰好互换了礼物的概率为
B．已知小王抽到小张准备的礼物的条件下，小张抽到小王的礼物的概率为
C．恰有一个人抽到自己准备的礼物的概率为
D．每个人抽到的礼物都不是自己准备的礼物的概率为
11．已知空间直角坐标系中的四个点分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为B．三棱锥的外接球表面积为
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是______．
13．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是______．
14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，则______．若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）设函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
16．（15分）如图，在四面体中，平面是中点，，点在线段上，且．
（1）若平面，求的值；
（2）若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）已知数列满足
（1）记，写出，并求数列的通项公式；
（2）求的前100项和．
18．（17分）已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点．
①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求面积的最小值．
19．（17分）某高中学校有室内、室外两个运动场．假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场．若同学们每次锻炼选择去室内、室外运动场的概率均为0.5，每次选择相互独立．设同学三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中）
（1）记事件表示同学三天内去运动场锻炼次；事件表示同学在这三天内去室内运动场锻炼的次数大于去室外运动场锻炼的次数．当时，试根据全概率公式求的值；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由；
（3）记表示事件“室外运动场举办集体锻炼活动”，表示事件“王同学去室外运动场锻炼”，．已知同学在室外运动场举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率，比不举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率大，试比较与的大小，并证明之．
2024年宜荆荆随恩高二5月联考
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解析】．
2．【解析】，当时，，故切线方程为，即．
3．【解析】因为曲线为双曲线，所以，故，所以．
4．【解析】如图，，因为，
所以．
5．【解析】已知随机变量，所以，故A成立；因为，所以，故C成立；若，则，故B成立；对于D答案；随机变量满足，则，故D错误．
6．【解析】满足的自然数有四组，分别是：；；；；那么有序数组有：个．
7．【解析】设圆心坐标为，则，圆的方程为
因为两点在圆上，所以，解得或，
当时，为劣弧所对角，故舍去．所以，
所以，，，故为等腰直角三角形，所以．
8．【解析】正实数满足，则，
所以令，则，设，，，易知在上单调递减，在上单调递增，故，所以，即，又因为，故，所以，所以，则，则，令，，，易知在上单调递增，在上单调递减，所以故的最小值为．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．【解析】数列的前项和，则
因为，当时，，故A正确；
又因为所以不为等差数列，故B错误；
因为，所以，又因为数列均为递减数列，所以都有，故C正确；
因为，所以，因为，有函数性质可知：的最大值为或，所以，故D正确．
10．【解析】对于，四个人每人从中随机抽取一份共有种抽法，其中小王和小张恰好互换了礼物的抽法有种，故小王和小张恰好互换了礼物的概率为，故错误；
对于，设小王抽到的是小张准备的礼物为事件，则，小张抽到小王准备的礼物为事件，则已知小王抽到的是小张准备的礼物的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为，故B正确；
对于，恰有一个人抽到自己准备的礼物的抽法有种，故恰有一个人抽到自己准备的礼物的概率为，故C正确：
对于，每个人抽到的礼物都不是自己准备的抽法共有种，
故每个人抽到的礼物都不是自己写的概率为，故D错误．
11．【解析】空间中四个点，
所以，，，，，
对于，因为，所以，所以，设平面法向量为，则，取，则，所以，
则点到平面的距离为：，所以，故A正确；
对于，因为，所以，又，所以，所以外接球球心为中点，设中点球心，则，所以外接球表面积为，故B正确；
对于C，分别为线段上的动点，所以的最小值为异面直线之间的距离，设为垂直于的向量，，取，则，所以，则在上投影长为，故C正确；
对于D，的最小值即为直线与平面所成角的最小值，设平面法向量为，取，则所以则，所以的最小值为，故D错误．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．【答案】
【解析】直线与轴交点的斜率，所以边上的高的斜率，所以所在直线方程为．
13．【答案】
【解析】函数的定义域为
，令可得：或（舍）
所以在上单调递减，在上单调递增，又因为函数在内有最小值，故，所以的取值范围是．
14．【答案】① ②
【详解】由椭圆的离心率为，
可得，所以，
如图所示，连接，设的内切圆半径为，
则，即，
所以，所以，
因为，所以，所以．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
【解析】（1），令，则
当时，，故，所以在上单调递增；
又因为，所以当时，当时，
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为
所以，有极小值，无极大值
（2）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，
令，所以
由（1）可知当时，，，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以
16．（15分）
【解析】（1）如图，取中点，连接，
因为为中点，为中点，所以，
又因为，所以，故，
平面，平面，故平面，
因为平面，且，，平面，
所以平面平面，
又因为平面，故平面，
平面，平面平面，所以，
为的中点，所以为的中点，因为，所以；
（2）如图，取中点，连接，则，因为平面，故平面，连接，由于是正三角形，故，
以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
由于，故，则，，，
设平面的法向量，
则，，令，则，
而平面的法向量可取为，
设平面与平面的夹角为，，所以．
17．（15分）
【解析】（1）由题意知：，又且，所以
，所以，所以
因为，所以
所以，数列是以0为首项，以为公差的等差数列，所以，
（2）当为奇数时，为偶数，则，两式相减得：
因为，所以
当为偶数时，为奇数，则，两式相减得：
因为，所以，所以：；
所以
18．（17分）
【解析】（1）由题可知，点到点的距离与到的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为．
（2）①设，
由题可知斜率不为0，设，
联立曲线方程并消去可得，
显然，
，联立曲线方程并消去可得
则是方程的两根，，
所以，同理
因为，所以，所以．
（2）由①知的方程为：
令，，所以过定点．
，
当且仅当时，面积最小，最小值为．
19．（17分）
【解析】（1）当时，，，，，则，解得．
由题意，得，，．
由全概率公式，得．
又，所以．
（2）由，得．
假设存在，使．
将上述两式相乘，得，化简得：．
设，则．
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以不存在使得．即不存在值，使得．
（3）证明：由题知，所以，
所以，
所以，
即，所以，即．
0
1
2
3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
B
A
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
ABC